imported>Fan-vom-Wiki: /* Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4 */ Leerzeichen entfernt

2026-04-14T12:12:15Z

Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4: Leerzeichen entfernt

Neue Seite

Ein '''Blockplan''' (auch '''Block-Design''' oder '''kombinatorisches Design''') ist eine aus [[Endliche Menge|endlichen Mengen]] bestehende [[Inzidenzstruktur]] mit speziellen Eigenschaften. Solche [[mathematische Struktur]]en sind insbesondere in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]], in der [[Kombinatorik]] und nicht zuletzt in der [[Statistische Versuchsplanung|statistischen Versuchsplanung]] von Bedeutung. Blockpläne sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der endlichen [[Affine Ebene|affinen Ebenen]] und der endlichen [[Projektive Ebene|projektiven Ebenen]].

Wichtige Methoden zur Charakterisierung von Blockplänen und zur Konstruktion neuer Blockpläne aus bekannten sind die [[Auflösung (Blockplan)|Auflösung]] und die [[taktische Zerlegung]] eines Blockplanes. Die ''Auflösung'' verallgemeinert das Konzept des ''Parallelismus eines Blockplanes'', wie es dieser Artikel beschreibt, und ist selbst ein Spezialfall der ''taktischen Zerlegung''.

== Definitionen und Schreibweisen ==
Sei <math> \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) </math> eine Inzidenzstruktur, bei der die Elemente von <math>\mathfrak{p}</math> als ''Punkte'' und die Elemente von <math>\mathfrak{B}</math> als ''Blöcke'' bezeichnet werden. Des Weiteren seien <math> t,v,k,\lambda \in \N </math> [[natürliche Zahl]]en, dann wird die Inzidenzstruktur <math> \mathcal{I}</math> als <math> t\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan bezeichnet, wenn die folgenden Axiome gelten:<ref>Beutelspacher (1982)</ref><ref>Die in Klammern angegebenen ''zusätzlichen'' Parameternamen sind die allgemein für die [[Inzidenzstruktur#Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, Punkt- und Blockgrad|Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur]] üblichen.</ref>

* (B1) <math>\mathcal{I}</math> hat genau <math>v </math> Punkte, also <math>|\mathfrak{p}|=v_0=v </math>,
* (B2) jeder Block von <math>\mathcal{I}</math> inzidiert mit genau <math>k</math> Punkten, also <math>v_1=k</math>,
* (B3) für jede Punktmenge <math> T \subseteq \mathfrak{p}</math> mit <math> t </math> verschiedenen Punkten existieren genau <math> \lambda </math> verschiedene Blöcke, die jeweils mit allen Punkten von <math> T </math> inzidieren, also <math>b_t=\lambda</math> und
* (B4) <math> 2 \leq k \leq v-2 </math>, das heißt, <math>\mathcal{I}</math> ist eine ''nichtausgeartete'' oder ''echte'' Inzidenzstruktur.

Als alternative Bezeichnung für einen <math> t\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan wird auch <math> S_\lambda(t,k;v) </math> verwendet. Im Falle von <math>\lambda=1</math> schreibt man auch einfach <math> S(t,k;v) </math> und spricht von einem ''Steinersystem'' (nach [[Jakob Steiner]]). Ein <math> 2\text{-}(v,3,1)</math>-Blockplan (<math> S(2,3;v) </math>) wird auch als ''Steiner-Tripel-System'' bezeichnet.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Definition I.3.1</ref> Teilweise wird ein Blockdesign auch als <math>\mathcal{I}(v,b,r,k,\lambda)</math> geschrieben, der zusätzliche Parameter <math>r</math> wird weiter unten erläutert.

Einen <math> t\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan bezeichnet man oft kurz auch <math>t</math>-Blockplan und einen <math> 2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan einfach als Blockplan, da <math>t=2</math> der am meisten verwendete Fall ist.

Die konstante Anzahl aller Blöcke <math>B\in\mathfrak{B}</math> von <math>\mathcal{I}</math> durch einen Punkt <math>p\in\mathfrak{p}</math> von <math>\mathcal{I}</math> wird mit <math> r </math> bezeichnet und die Anzahl aller Blöcke von <math>\mathcal{I} </math> mit <math> b_0=b = |\mathcal{B}|</math>.

In Anlehnung an bestimmte geometrische Modelle für einen Blockplan werden seine Blöcke gelegentlich auch als ''Geraden'', ''Kreise'', ''Ebenen'' oder Ähnliches bezeichnet. Wenn ein Punkt <math>p</math> mit einem Block <math>B</math> inzidiert, also <math>(p,B)\in I</math>, so sind auch die folgen Sprechweisen üblich: ''<math>p</math> liegt auf <math>B</math>'' oder ''<math>B</math> geht durch <math>p</math>''. Inzidiert ein Punkt mit mehreren Blöcken, so sagt man auch, dass die ''Blöcke sich in <math>p</math> schneiden''.

Blockpläne, bei denen ein Block mit allen Punkten inzidiert, oder bei denen die <math>k</math>-elementigen Teilmengen der Punktmenge genau den Blöcken entsprechen, werden als '''triviale''' Blockpläne bezeichnet.

Ein Block <math>B</math> muss formal von der mit ihm inzidierenden Punktmenge <math>(B)</math> unterschieden werden, allerdings ist es in der Praxis meist möglich, einen Block mit seiner inzidierenden Punktmenge zu identifizieren und die Inzidenzrelation als mengentheoretisches Enthaltensein zu interpretieren. Solche Blockpläne werden auch als ''einfach'' bezeichnet (vgl. die [[Inzidenzstruktur#Beispiele|Beispiele]] im Artikel „Inzidenzstruktur“).

== Eigenschaften ==
Für die Anzahl der Blöcke eines <math> t\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplans gilt:
: <math> b=\lambda\cdot{v \choose t}\cdot {k \choose t}^{-1}</math>.

Mit <math>b_i</math> für <math> i=1,\ldots,t </math> bezeichnet man die Anzahl der Blöcke, die mit allen Punkten einer beliebigen Punktmenge <math>M</math> mit <math>i</math> Punkten inzidieren, also <math> M \subset \mathfrak{p},\,|M|=i</math>, für diese gilt:
: <math> b_i=\lambda\cdot {v-i \choose t-i}\cdot{k-i \choose t-i}^{-1}</math>.
Ein Blockplan mit gegebenen Parametern kann nur dann existieren, wenn diese <math>b_i</math> ganze Zahlen sind. Dies nennt man die ''Teilbarkeitsbedingungen'' für die Existenz von Blockplänen.

Für <math> 2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockpläne ergibt sich aus den beiden Formeln unter Berücksichtigung von <math>b_1=r</math>:
: <math>b\cdot k=v\cdot r \quad \text{und} \quad \lambda \cdot (v-1)=r\cdot(k-1)</math>.

Außerdem gelten für die <math> 2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockpläne die folgenden beiden [[Ungleichung]]en:<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Corollary I.8.6</ref>
:
:<math> b\geq v </math> (''[[Ungleichung von Fisher]]'')
:
und
:
:<math>r\geq k</math>.<ref group="H">Die beiden Ungleichungen sind insofern gleichwertig, als wegen <math>0 < b \cdot k = v \cdot r </math> jede der beiden die jeweils andere impliziert.</ref>

Neben den unten bei den Beispielen erwähnten, endlichen projektiven und affinen Räumen stehen Blockpläne in Wechselbeziehungen zu vielen anderen Strukturen der Kombinatorik. So ist zum Beispiel die Existenz eines <math>2\text{-}(4n-1,2n-1,n-1)</math>-Blockplans mit <math> n\in \mathbb{N}, n\geq 2 </math> äquivalent zur Existenz einer [[Hadamard-Matrix]] der Ordnung <math>4n</math>. Aus diesem Grund werden solche Blockpläne auch als [[Hadamard-Blockplan|Hadamard-Blockpläne]] bezeichnet. Den Zusammenhang zwischen [[Kodierungstheorie|Codes]] und Blockplänen beschreibt der [[Satz von Assmus-Mattson]].

Eine zentrale Frage in der Theorie der Blockpläne ist, für welche Werte der Parameter <math>t, v, k,\lambda </math> überhaupt ein Blockplan existiert. Ein bahnbrechendes Ergebnis von [[Peter Keevash]] (2014) zeigt, dass die Teilbarkeitsbedingungen für die Existenz hinreichend sind, wenn die Zahl <math>v</math> der Punkte genügend groß ist.<ref>{{cite web |author=Peter Keevash |url=https://arxiv.org/pdf/1401.3665.pdf |title=The existence of designs |date=2014 |publisher=arXiv| language=en}}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.quantamagazine.org/20150609-a-design-dilemma-solved-minus-designs/ |title=A Design Dilemma Solved, Minus Designs |publisher=Quanta Magazine |date=2015-06-09 | language=en |accessdate=2015-06-27}}</ref><ref>{{cite web|last1=Kalai|first1=Gil|title=Designs exist!|url=http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1100.pdf|work=bourbaki.ens.fr| language=en|publisher=Séminaire BOURBAKI}}</ref><ref>[[Timothy Gowers]]: [https://www.ams.org/journals/bull/2017-54-01/S0273-0979-2016-01553-9/S0273-0979-2016-01553-9.pdf ''PROBABILISTIC COMBINATORICS AND THE RECENT WORK OF PETER KEEVASH'']. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, Band 54, Nr. 1, Januar 2017, S. 107–116, [[doi:10.1090/bull/1553]].</ref>

Außerdem gibt es eine Reihe von ''notwendigen'' Kriterien für die Existenz bestimmter Blockpläne, mit denen man viele Parameterkombinationen ausschließen kann. Solche Kriterien liefern zum Beispiel die ''verallgemeinerte Fisher-Ungleichung'' (auch [[Ungleichung von Ray-Chaudhuri-Wilson]] genannt) und der [[Satz von Bruck-Ryser-Chowla]].

== Symmetrische Blockpläne ==
{{Hauptartikel|Symmetrischer Blockplan}}
Ein Blockplan, der genauso viele Blöcke wie Punkte besitzt <math>(v=b)</math>, wird als ''symmetrisch'' oder ''projektiv'' bezeichnet. Symmetrische Blockpläne können unter den 2-Blockplänen durch verschiedene, gleichwertige Aussagen charakterisiert werden:
Sei <math> \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) </math> ein <math>2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan, sei <math>b=b_0</math> die Gesamtzahl seiner Blöcke und sei <math>A</math> eine [[Inzidenzstruktur#Inzidenzmatrix|Inzidenzmatrix]] dieses Blockplanes. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:<ref>Beutelspacher 1.4.4.</ref>

# Die Anzahl der Punkte ist gleich der Anzahl der Blöcke <math>(v=b)</math> und damit gilt auch <math>r=k</math>, das heißt <math>\mathcal{I}</math> ist symmetrisch. Es gilt <math>\lambda \cdot (v-1)=k\cdot(k-1) </math>
# Die Zahl der Blöcke, mit denen ein beliebiger Punkt inzidiert, ist gleich der Zahl der Punkte, mit denen ein beliebiger Block inzidiert <math>(v_1=b_1)</math>.
# <math>A\cdot A^T=(k-\lambda)\cdot E+\lambda\cdot J,</math> hierbei ist <math>E</math> die <math>v\times v</math>-[[Einheitsmatrix]], <math>J</math> die <math>v\times v</math>-[[Einsmatrix]]
# <math>A^T\cdot A=(k-\lambda)\cdot E+\lambda\cdot J,</math> hierbei ist <math>E</math> die <math>b\times b</math>-Einheitsmatrix, <math>J</math> die <math>b\times b</math>-Einsmatrix
# Je zwei verschiedene Blöcke schneiden sich in genau <math>\lambda</math> Punkten.
# Je zwei verschiedene Blöcke haben eine konstante, positive Anzahl von Punkten gemeinsam, das heißt, <math>\mathcal{I}</math> erfüllt die ''Regularitätsbedingung'' <math>(P_2)</math>. Siehe [[Inzidenzstruktur#Regularitätsbedingungen und Typen von endlichen Inzidenzstrukturen|Regularitätsbedingungen und Typen von endlichen Inzidenzstrukturen]].
# <math>\mathcal{I}</math> hat als Inzidenzstruktur den Typ <math>(2,2)</math>, das heißt, <math>\mathcal{I}</math> erfüllt die ''Regularitätsbedingungen'' <math>(P_1),(P_2),(B_1),(B_2)</math>.

Das [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], in dem die Anzahl <math>v</math> der Punkte (bzw. Blöcke) in Bezug auf die [[Symmetrischer Blockplan#Definitionen|Ordnung]]
<math>n = k - \lambda</math> eines symmetrischen <math>2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplans variiert, ergibt sich als <math>{4 \cdot n -1} \leq v \leq {n^2+n+1}</math>, sofern ein ''nicht trivialer Blockplan'' mit <math>2 < k < v-1</math> vorliegt. Der ''untere Extremalfall'' <math>v = {4 \cdot n -1}</math> ist gegeben für [[Hadamard-Blockplan|Hadamard-Blockpläne]] und der ''obere Extremalfall'' <math>v = n^2+n+1</math> für die [[Projektive Ebene#Projektive Ebenen als Inzidenzstruktur|endlichen projektiven Ebenen]].<ref>{{Literatur |Hrsg=Kenneth H. Rosen |Titel=Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics |Verlag=CRC Press |Datum=2000 |ISBN=0-8493-0149-1 |Seiten=771}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Tosiro Tsuzuku |Titel=Finite Groups and Finite Geometries |Reihe=Cambridge Tracts in Mathematics |BandReihe=78 |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge (u. a.) |Datum=1982 |ISBN=0-521-22242-7 |Seiten=62}}</ref>

== Parallelismen und affine Blockpläne ==
Ein ''Parallelismus'' eines Blockplans <math> \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) </math> ist eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge der Blöcke, für die das euklidische [[Parallelenpostulat]] gilt:

: Zu jedem Block <math> B \in \mathfrak{B}</math> und jedem Punkt <math> p \in \mathfrak{p} </math> gibt es genau einen Block <math>C </math> inzident mit <math> p </math> der zu <math> B </math> ''parallel'' ist.

Hierbei werden Blöcke als ''parallel'' (Schreibweise <math>B \parallel C</math>) bezeichnet, wenn sie in derselben Äquivalenzklasse liegen. Die Äquivalenzklassen selbst werden auch als ''Parallelenklassen'' oder '' Parallelenscharen'' bezeichnet. Für zwei parallele Blöcke <math> B, C\in\mathfrak{B}</math> gilt, dass sie (genauer: die mit ihnen inzidierenden Punktmengen) entweder identisch oder disjunkt sind:

:<math> B \parallel C \Rightarrow (B)=(C) \text{ oder } (B)\cap (C) = \emptyset </math>.

Ein Parallelismus eines Blockplans, bei dem zwei beliebige, nicht parallele Blöcke stets dieselbe Anzahl von Punkten gemeinsam haben, heißt ''affin'' und der zugehörige Blockplan wird als ''affiner Blockplan'' bezeichnet. Während im Allgemeinen ein Blockplan mehrere Parallelismen zulassen kann, ist in einem affinen Blockplan der Parallelismus eindeutig bestimmt und es gilt auch die Umkehrung der obigen Beziehung:

:<math> B \parallel C \Leftrightarrow (B)=(C) \text{ oder } (B)\cap (C) = \emptyset </math>.

Für Blockpläne mit Parallelismen gilt der [[Satz von Bose]], der für diesen Fall eine Verschärfung der Fisher-Ungleichung darstellt.

== Beispiele ==
Die [[Wittscher Blockplan|Wittschen Blockpläne]] (im engeren Sinn) sind einfache 5-Blockpläne, ihre Ableitungen, die oft auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, liefern Beispiele für nichttriviale einfache 4- und 3-Blockpläne.

=== Affine Geometrien als Blockpläne ===
Der [[Affiner Raum|affine Raum]] der Dimension <math>n\geq 2</math> über dem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit <math>q</math> Elementen <math>\mathbb{F}_q</math> wird als <math>AG(n,q)</math> notiert.<ref name="BJL1">Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), I.''Examples and basic definitions''</ref> Er wird zu einem Blockplan <math>AG_d(n,q)</math>, indem man die Punktmenge des affinen Raumes als Menge der Punkte und die <math>d</math>-dimensionalen affinen Teilräume <math>(1\leq d<n)</math> als Blöcke verwendet. Genauer handelt es sich bei <math>AG_d(n,q)</math> um einen <math>2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan. Der gewöhnliche Parallelismus der affinen Geometrie ist ein ''Parallelismus'' für den Blockplan und der Blockplan wird damit genau dann zu einem ''affinen'' Blockplan, wenn <math>d=n-1</math> gilt, also die Blöcke [[Hyperebene]]n des Raumes sind. Die Parameter des Blockplanes <math>AG_d(n,q)</math> lauten:

:<math> v=q^n, k=q^d, \lambda=\begin{bmatrix} n-1\\ d-1\end{bmatrix}_q</math>.

Hier steht <math>\textstyle \left[ {n \atop i} \right]_q</math> für den [[Gaußscher Binomialkoeffizient|Gaußschen Binomialkoeffizienten]],<ref name="BJL1" /> der durch die Formel

:<math>\begin{bmatrix} n\\ i\end{bmatrix}_q=\frac{(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{n-i+1}-1)}{(q^i-1)(q^{i-1}-1)\cdots(q-1)}</math>

für <math>0 < i \leq n</math> berechnet werden kann. Die Räume <math>AG_2(n,2)</math> sind für <math>n\geq 3</math> sogar 3-Blockpläne mit <math>\lambda=1</math>. Speziell ist <math>AG_2(3,2)</math> mit seinem geometrischen Parallelismus ein affiner <math>3\text{-}(8,4,1)</math>-Blockplan.

=== Projektive Geometrien als Blockpläne ===
Der [[Projektiver Raum|projektive Raum]] der Dimension <math>n\geq 2</math> über dem endlichen Körper <math>\mathbb{F}_q</math> wird als <math>PG(n,q)</math> notiert.<ref name="BJL1" /><ref>Bei symmetrischen Blockplänen verweist der Parameter <math>n</math> in der Regel auf die [[Symmetrischer Blockplan#Definitionen|Blockplanordnung]] <math>k - \lambda</math>. Die hier genannte Dimensionszahl <math>n</math> ist mit der Blockplanordnung im Allgemeinen nicht identisch.</ref> Der Blockplan <math>PG_d(n,q)</math> hat als Punktmenge die Menge der projektiven Punkte und als Blockmenge die Menge der <math>d</math>-dimensionalen projektiven Teilräume <math>(1\leq d<n)</math> des <math>PG(n,q)</math>.
Dies ist ein <math>2\text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockplan mit den Parametern

:<math> v=\begin{bmatrix} n+1\\ 1\end{bmatrix}_q=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}, k=\begin{bmatrix} d+1\\ 1\end{bmatrix}_q=\frac{q^{d+1}-1}{q-1}, \lambda=\begin{bmatrix} n-1\\ d-1\end{bmatrix}_q</math>.

Im Falle <math>d=n-1</math> also falls die Blöcke die Hyperebenen des Raumes sind, ist der Blockplan symmetrisch.

=== Anschauliche Beispiele ===
Als Spezialfälle der obengenannten klassischen geometrischen Räume kann man eine endliche [[projektive Ebene]] der Ordnung <math>q</math> als einen <math>2\text{-}(q^2+q+1,q+1,1)</math>-Blockplan und eine endliche [[affine Ebene]] der Ordnung <math>q</math> als einen <math>2\text{-}(q^2,q,1)</math>-Blockplan auffassen. Hierbei entsprechen die Punkte der Ebene den Punkten des Blockplans und die Geraden der Ebene den Blöcken des Blockplans. Allerdings wird die Existenz der entsprechenden Ebene der Ordnung <math>q</math> vorausgesetzt und diese ist nicht für alle <math> q\in \mathbb{N} </math> gegeben.

Kleine Ebenen, siehe auch die Abbildungen am Ende des Abschnitts:
* Die projektive Ebene der Ordnung 2, <math> PG_1(2,2)</math> (die [[Fano-Ebene]]) ist ein symmetrischer <math>2\text{-}(7,3,1)</math>-Blockplan zugleich ist sie „der“ kleinste Hadamard-Blockplan.
* Die affinen Ebenen der Ordnung 2 und 3 <math> AG_1(2,2) </math> und <math> AG_1(2,3) </math> bilden mit ihrer gewöhnlichen und einzig möglichen Parallelität einen affinen <math>2\text{-}(4,2,1)</math>-Blockplan bzw. <math>2\text{-}(9,3,1)</math>-Blockplan.

{| class="wikitable"
!<math>PG(2,2) </math>
!<math>AG(2,2) </math>
!<math>AG(2,3) </math>
|-
|style="width:150px"|
[[Datei:Fano Plane numbered.svg|220px]]
|style="width:150px"|
[[Datei:AG(2,2).png]]
|style="width:150px"|
[[Datei:AG(2,3).png|250px]]
|-
|7 Pkte, 7 Blöcke mit je 3 Pkten
|4 Pkte, 6 Blöcke mit je 2 Pkten
|9 Pkte, 12 Blöcke mit je 3 Pkten
|}

== Weitere (Gegen)beispiele einfacher Blockpläne ==
=== Nicht existierende einfache 2-Blockpläne ===
Für die in der folgenden Liste erscheinenden [[Parameter (Mathematik)|Parametertripel]] <math>(v,k,\lambda)</math> (im Bereich <math>3 \leq k \leq \frac{v}{2}, r = \frac{\lambda (v-1)}{k-1} \leq 15</math>) existieren '''keine''' einfachen <math>2 \text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockpläne, obwohl die üblichen [[#Eigenschaften|Parameterbedingungen]] erfüllt sind:<ref>{{Literatur |Autor=Rosen et al. |Titel=Handbook ... |Datum= |Seiten=764,773}}</ref>

: '''<math>\lambda= 1</math>'''
:<math>(v,k,\lambda) = (36,6,1)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (43,7,1)</math><ref>Also existiert auch nicht die [[projektive Ebene]] der Ordnung 6.</ref>
:<math>(v,k,\lambda) = (100,10,1)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (111,11,1)</math><ref>Also existiert auch nicht die [[projektive Ebene]] der Ordnung 10.</ref>
:<math>(v,k,\lambda) = (196,14,1)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (211,15,1)</math>

: '''<math>\lambda= 2</math>'''
:<math>(v,k,\lambda) = (15,5,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (21,6,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (22,7,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (29,8,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (36,8,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (46,10,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (55,10,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (67,12,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (78,12,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (91,13,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (92,14,2)</math>
:<math>(v,k,\lambda) = (106,15,2)</math>

: '''<math>\lambda= 3</math>'''
:<math>(v,k,\lambda) = (53,13,3)</math>

: '''<math>\lambda=4</math>'''
:<math>(v,k,\lambda) = (34,12,4)</math>

: '''<math>\lambda= 5</math>'''
:<math>(v,k,\lambda) = (43,15,5)</math>

=== Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4 ===
Konkrete Beispiele für einfache <math>t \text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockpläne mit <math>t \geq 4</math> waren lange nur vereinzelt bekannt.

So etwa:<ref name="ReferenceA">{{Literatur |Hrsg=Kenneth H. Rosen |Titel=Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics |Verlag=CRC Press |Datum=2000 |ISBN=0-8493-0149-1 |Seiten=767}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Daniel R. Hughes, Fred C. Piper |Titel=Design Theory |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge (u. a.) |Datum=1985 |ISBN=0-521-25754-9 |Seiten=144 ff.}}</ref>

:<math>t = 4</math> und <math>(v,k,\lambda) = (11,5,1)</math>
:<math>t = 4</math> und <math>(v,k,\lambda) = (23,7,1)</math>
:<math>t = 4</math> und <math>(v,k,\lambda) = (27,6,1)</math>

:<math>t = 5</math> und <math>(v,k,\lambda) = (12,6,1)</math>
:<math>t = 5</math> und <math>(v,k,\lambda) = (24,8,1)</math>
:<math>t = 5</math> und <math>(v,k,\lambda) = (28,7,1)</math>

Bis in die 1980er Jahre war sogar unklar, ob (etwa) einfache <math>6 \text{-}(v,k,\lambda)</math>-Blockpläne überhaupt vorkommen. Dann wurden nach und nach mehrere Beispiele gefunden:<ref name="ReferenceA" /><ref>{{Literatur |Autor=Daniel R. Hughes, Fred C. Piper |Titel=Design Theory |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge (u. a.) |Datum=1985 |ISBN=0-521-25754-9 |Seiten=148, 152}}</ref>
:<math>t = 6</math> und <math>(v,k,\lambda) = (14,7,4)</math>
:<math>t = 6</math> und <math>(v,k,\lambda) = (22,7,8)</math>
:<math>t = 6</math> und <math>(v,k,\lambda) = (30,7,12)</math>
:<math>t = 6</math> und <math>(v,k,\lambda) = (33,8,36)</math>
:<math>t = 6</math> und <math>(v,k,\lambda) = (20,9,112)</math>

In den letzten Jahren ist mit Hilfe weiter verfeinerter [[Gruppentheorie|gruppentheoretischer]], [[geometrisch]]er und [[computer]]gestützter Methoden schließlich sogar eine Anzahl einfacher Blockpläne mit <math>t \geq 7 </math> gefunden worden; u. a.:<ref>Siehe Weblink zu den Publikationen der Universität Bayreuth.</ref>
:<math>t = 7</math> und <math>(v,k,\lambda) = (24,8,4)</math>
:<math>t = 8</math> und <math>(v,k,\lambda) = (40,11,1440)</math>

== Anwendung in der statistischen Versuchsplanung ==
Angenommen, Hautkrebsforscher möchten drei verschiedene Sonnencremes testen. Dafür tragen sie bei jedem Probanden zwei verschiedene Sonnencremes auf die Oberseiten der Hände auf. Nach einer Bestrahlung durch UV-Licht notieren sie die aufgetretenen Hautirritationen in Form von Sonnenbrand. Die Anzahl der Behandlungen ist 3 (Sonnencremes) und die Blockgröße ist 2 (Hände je Person).

Ein dazu passender balancierter unvollständiger Versuchsplan kann in [[R (Programmiersprache)|R]] erzeugt werden mit der Funktion ''design.bib'' aus dem R-Paket agricolae<ref>{{Internetquelle |autor=Felipe de Mendiburu |url=https://cran.r-project.org/web/packages/agricolae/index.html |titel=agricolae: Statistical Procedures for Agricultural Research |datum=2016-06-12 |zugriff=2017-02-19}}</ref> und wird in der folgenden Tabelle dargestellt:

{| class="wikitable"
!Plots
!Block
!Treatment
|-
|101
|1
|3
|-
|102
|1
|1
|-
|201
|2
|1
|-
|202
|2
|2
|-
|301
|3
|3
|-
|302
|3
|2
|-
|401
|4
|3
|-
|402
|4
|1
|-
|501
|5
|2
|-
|502
|5
|3
|-
|601
|6
|1
|-
|602
|6
|2
|}

Die Forscher wählen die Parameter <math>v = 3, k = 2</math> und <math>\lambda = 2</math> für den Blockplan, welche anschließend in die R-Funktion eingegeben werden. Dann werden die verbliebenen Parameter <math>b</math> und <math>r</math> automatisch ermittelt.

Mit den Bezeichnungen <math>A</math> bis <math>F</math> für die Blöcke erhält man die folgende [[Inzidenzmatrix]]:
{| class="wikitable"
!Behandlung
!Block A
!Block B
!Block C
!Block D
!Block E
!Block F
|-
|1
|1
|1
|0
|1
|0
|1
|-
|2
|0
|1
|1
|0
|1
|1
|-
|3
|1
|0
|1
|1
|1
|0
|}
Jede Behandlung kommt in vier Blöcken vor, also ist <math>r=4</math>.

Zwei Blöcke (<math>B</math> und <math>F</math>) enthalten gleichzeitig die Behandlungen <math>1</math> und <math>2</math> und entsprechendes gilt auch für die Behandlungspaare <math>(1,3)</math> und <math>(2,3)</math>. Demnach ist <math>\lambda=2</math>.

Es ist in diesem Beispiel unmöglich einen vollständigen Versuchsplan zu erhalten (alle Behandlungen in jedem Block), weil drei Sonnencremes getestet werden, aber nur zwei Hände je Person zur Verfügung stehen.

== Verwandter Begriff ==
In den hiesigen Zusammenhang gehört ein verwandter Begriff, der mit dem englischsprachigen Terminus '''pairwise balanced design''' (kurz '''PBD''') geläufig ist und der sich dabei vor allem dadurch auszeichnet, dass bei ihm anstelle eines einzigen Parameters <math>k</math> eine endliche Parametermenge <math>K</math> zugrunde gelegt wird. Die exakte Definition ist folgende:<ref name="KJ-DJ-01">{{Literatur|Autor=Jacobs/Jungnickel |Titel=Einführung in die Kombinatorik |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin u. a. |Datum=2004 |Seiten=209 ff.}}</ref>
:
: ''Gegeben seien zwei [[natürlichzahlig]]e Parameter <math>v,\lambda \in \N =\{j \mid j= 1, 2, 3, \ldots , \infty \} </math> und überdies eine [[nichtleer]]e [[endliche Menge]] <math>K \subset \N </math> und dazu eine nichtleere endliche Menge <math>P</math> von '''Punkten''' sowie ein [[Teilmengensystem]] <math>\mathcal {B} \subseteq 2^P</math><ref group="H">Mit <math>2^X </math> bezeichnet man die [[Potenzmenge]] einer Menge <math>X</math>.</ref> von '''Blöcken''', die eine [[Inzidenzstruktur]] <math>(P,\mathcal {B},{\in})</math> bilden.''
:
: ''Sind dafür die folgenden drei Bedingungen:''
:
:: ''' (i)''' ''Die Inzidenzstruktur enthält genau <math>|P| = v </math> Punkte.''
:
:: ''' (ii)''' ''Für jeden Block <math>B \in \mathcal {B} </math> ist <math>|B| \in K</math>.''
:
:: ''' (iii)''' ''Zu je zwei [[Paarweise verschieden|verschiedenen]] Punkten <math>p,q \in P </math> gibt es genau <math>\lambda </math> verschiedene Blöcke <math>B_1, \ldots , B_{\lambda} \in \mathcal {B} </math> mit <math>\{ p,q \} \subseteq \bigcap_{i=1}^{\lambda}{B_i}</math>.''
:
: ''erfüllt, so nennt man eine derartige Inzidenzstruktur ein '''<math>(v,K,\lambda)</math>–PBD'''.''

Für derartige PBD gelten stets die folgenden beiden Aussagen:<ref name="KJ-DJ-02">{{Literatur|Autor=Jacobs/Jungnickel |Titel=Einführung in die Kombinatorik |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin et al. |Datum=2004 |Seiten=214-215}}</ref>
:
: ''' (1)''' '' Für <math> v > \max (K)</math><ref group="H">Mit <math> \max </math> wird die [[Maximumsfunktion]] bezeichnet.</ref> ist''
:: <math> b = |\mathcal {B}| \geq v = |P|</math>. ''(Fisher-Ungleichung)''
:
: ''' (2)''' ''Hat man sogar <math> v > \max (K)</math> sowie <math> k = \min (K) > 1</math><ref group="H">Mit <math> \min </math> wird die [[Minimumsfunktion]] bezeichnet.</ref> und <math>\lambda = 1</math> , so gilt für jeden Block <math> B \in \mathcal {B}</math>''
:: <math> |B| \leq \frac{v-1}{k-1}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Beth]], [[Dieter Jungnickel]], [[Hanfried Lenz]]
|Titel=Design Theory
|Auflage=2.
|Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag
|Ort=London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sidney
|Datum=1999
|ISBN=0-521-33334-2
|JahrEA=1986}}
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Beutelspacher]]
|Titel=Einführung in die endliche Geometrie
|TitelErg=I. Blockpläne
|Verlag=B.I. Wissenschaftsverlag
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1982
|ISBN=3-411-01632-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Dembowski]]
|Titel=Finite Geometries
|Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
|BandReihe=44
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1968
|Online=[https://zbmath.org/0159.50001 ''zbMATH Open'']}}
* {{Literatur
|Autor=Heinz-Richard Halder, [[Werner Heise (Mathematiker)|Werner Heise]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorik
|TitelErg=Mit einem Anhang über formale Potenzreihen
|Reihe=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure
|Verlag=Hanser Verlag
|Ort=München, Wien
|Datum=1976
|ISBN=3-446-12140-4
|Online=[https://zbmath.org/0362.05001 ''zbMATH Open'']}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Jacobs]], [[Dieter Jungnickel]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorik
|Reihe=De Gruyter Lehrbuch
|Auflage=2., völlig neu bearbeitete und erweiterte
|Verlag=Walter de Gruyter
|Ort=Berlin, New York
|Datum=2004
|Kapitel=10
|Online=[https://zbmath.org/1035.05001 ''zbMATH Open'']
|DNB=96876181X}}
* {{Literatur
|Autor=Daniel R. Hughes, Fred C. Piper
|Titel=Design Theory
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge (u. a.)
|Datum=1985
|ISBN=0-521-25754-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jacobus van Lint|Jacobus Hendricus van Lint]], [[Richard Michael Wilson]]
|Titel=A Course in Combinatorics
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=1992
|ISBN=0-521-42260-4
|Seiten=188}}
* {{Literatur
|Hrsg=Kenneth H. Rosen
|Titel=Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics
|Kapitel=12
|Verlag=CRC Press
|Datum=2000
|ISBN=0-8493-0149-1}}
* {{Literatur
|Autor=Tosiro Tsuzuku
|Titel=Finite Groups and Finite Geometries
|Reihe=Cambridge Tracts in Mathematics
|BandReihe=78
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge (u. a.)
|Datum=1982
|ISBN=0-521-22242-7}}

== Weblinks ==
*{{MathWorld|title=block design|id=BlockDesign}}
* [https://www.uni-due.de/imperia/md/content/mathematik/ag_toerner/aldi_ws_0607.pdf Skript ''Algebraische Strukturen und Diskrete Mathematik''.] (PDF; 1,01 MB) S. 67
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Block_design ''block design''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]]
* [https://www.mathe2.uni-bayreuth.de/discreta/publications.html Publikationen der Universität Bayreuth]
* [[Charles Colbourn]], [[Jeff Dinitz]]: [http://www.emba.uvm.edu/~jdinitz/hcd.html ''Handbook of Combinatorial Designs'']

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

== Hinweise ==
<references group="H" />

[[Kategorie:Blockplan| ]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

Blockplan - Versionsgeschichte

imported>Fan-vom-Wiki: /* Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4 */ Leerzeichen entfernt