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2025-09-19T15:50:11Z

Blockdiagonalmatrix

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[[Datei:Block matrix qtl1.svg|mini|Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 und 8]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet eine '''Blockmatrix''' eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die so interpretiert wird, als sei sie in mehrere Teile, genannt '''Blöcke''', [[Partition (Mengenlehre)|zerlegt]] worden. Durch die Zerlegung in Blöcke sieht man oft leichter, wie die Matrix wirkt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Gilbert Strang]] |Titel=Lineare Algebra |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2003 |ISBN=3-540-43949-8 |Seiten=67}}</ref> Zur Darstellung einer Blockmatrix wird die Originalmatrix mit horizontalen und vertikalen Trennstrichen entsprechend der Blöcke durchzogen. Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in [[Untermatrix|Untermatrizen]] auf.

== Definition ==
Sei <math>\mathbf{M}</math> eine Matrix der Größe <math>m\times n</math>. Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels <math>m = m_1 + m_2 + \cdots + m_q</math> und <math>n = n_1 + n_2 + \cdots + n_r</math> ganzzahlig zerlegt, wobei <math>q</math> und <math>r</math> die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich <math>\mathbf{M}</math> darstellen als

: <math>\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \cdots & \mathbf{M}_{1r}\\
\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \cdots & \mathbf{M}_{2r}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{M}_{q1} & \mathbf{M}_{q2} & \cdots & \mathbf{M}_{qr}\end{bmatrix}</math>

mit Untermatrizen <math>\mathbf{M}_{ij}</math> der Größe <math>m_i \times n_j</math>. Jede <math>(m \times n)</math>-Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit <math>mn</math> Blöcken der Größe <math>1\times 1</math> aufgefasst werden.

== Beispiel ==
Die Matrix

: <math>\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}</math>

kann in vier <math>(2 \times 2)</math>-Blöcke zerlegt werden

: <math>\mathbf{M}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix}, \mathbf{M}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{bmatrix}, \mathbf{M}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix}, \mathbf{M}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{bmatrix}.</math>

Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu

: <math>\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12}\\
\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22}\end{bmatrix}.</math>

== Multiplikation von Blockmatrizen ==
[[Datei:Block matrix qtl3.svg|mini|Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen]]
Das [[Matrizenprodukt|Produkt]] von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei <math>\mathbf{A}</math> eine <math>(m \times n)</math>-Matrix mit <math>q</math>-facher Zeilen- und <math>r</math>-facher Spaltenzerlegung
: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1r}\\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2r}\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
\mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qr}\end{bmatrix}</math>

und <math>\mathbf{B}</math> eine <math>(n \times p)</math>-Matrix mit <math>r</math>-facher Zeilen- und <math>s</math>-facher Spaltenzerlegung
: <math>
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1s}\\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2s}\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
\mathbf{B}_{r1} & \mathbf{B}_{r2} & \cdots &\mathbf{B}_{rs}\end{bmatrix},</math>

dann gilt, dass das Produkt
: <math>
\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}
</math>
blockweise berechnet werden kann, wobei <math>\mathbf{C}</math> eine <math>(m \times p)</math>-Matrix mit <math>q</math>-facher Zeilen- und <math>s</math>-facher Spaltenzerlegung ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix <math>\mathbf{C}</math> sind gegeben durch
: <math>
\mathbf{C}_{ik} = \sum^r_{j=1}\mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}.
</math>
Oder, mithilfe der [[Einsteinsche Summenkonvention|Einsteinschen Summenkonvention]], welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt
: <math>
\mathbf{C}_{ik} = \mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}.
</math>

== Blockdiagonalmatrix ==
Eine '''Blockdiagonalmatrix''' ist eine quadratische Blockmatrix, deren [[Hauptdiagonale]] quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blöcke [[Nullmatrix|Nullmatrizen]] sind. Eine Blockdiagonalmatrix <math>\mathbf{A}</math> hat die Form
: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}
\end{bmatrix},
</math>
wobei die Untermatrizen <math>\mathbf{A}_k</math> quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist <math>\mathbf{A}</math> die [[direkte Summe]] von <math>\mathbf{A}_1, \dotsc, \mathbf{A}_n</math>, das heißt

: <math>\mathbf{A} = \mathbf{A}_1 \oplus \mathbf{A}_2 \oplus \dotsb \oplus \mathbf{A}_n</math>

oder mit dem Formalismus von [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]]

: <math>\mathbf{A} = \operatorname{diag}(\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \dotsc, \mathbf{A}_n)</math>.

Für die [[Determinante]] und die [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer Blockdiagonalmatrix gilt
: <math> \det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}_1 \cdot \det \mathbf{A}_2 \dotsm \det \mathbf{A}_n</math>

und

: <math> \operatorname{Spur}(\mathbf{A}) = \operatorname{Spur}(\mathbf{A}_1) + \dotsb +\operatorname{Spur}(\mathbf{A}_n)</math>.

Die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer Blockdiagonalmatrix <math>\mathbf{A}</math> ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke:
: <math>\begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mathbf{A}_{2}^{-1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}^{-1}
\end{bmatrix}.
</math>

Die [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen <math>\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \dotsc, \mathbf{A}_{n}</math>.

=== Beispiel ===
Wichtige Beispiele für Blockdiagonalmatrizen sind Matrizen in [[Jordansche Normalform|Jordanscher Normalform]]. Die Blöcke sind in diesem Fall sogenannte Jordanblöcke, das sind [[Bidiagonalmatrix|Bidiagonalmatrizen]], auf deren Hauptdiagonalen der [[Eigenwert]] des Blocks steht, während alle Elemente auf der Nebendiagonalen 1 sind.

== Blocktridiagonalmatrix ==
Eine '''Blocktridiagonalmatrix''' ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) [[Nebendiagonale]]n. Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine [[Tridiagonalmatrix]], allerdings mit Blockmatrizen anstelle von [[Skalar (Mathematik)|Skalaren]]. Eine Blocktridiagonalmatrix <math>\mathbf{A}</math> hat die Form

: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{1} & \mathbf{C}_{1} & & & \cdots & & 0 \\
\mathbf{A}_{2} & \mathbf{B}_{2} & \mathbf{C}_{2} & & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & & \vdots \\
& & \mathbf{A}_{k} & \mathbf{B}_{k} & \mathbf{C}_{k} & & \\
\vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & & \mathbf{A}_{n-1} & \mathbf{B}_{n-1} & \mathbf{C}_{n-1} \\
0 & & \cdots & & & \mathbf{A}_{n} & \mathbf{B}_{n}
\end{bmatrix}
</math>

wobei <math>\mathbf{A}_k</math>, <math>\mathbf{B}_k</math> und <math>\mathbf{C}_k</math> jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.

Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der [[Numerische Strömungsmechanik|numerischen Strömungsmechanik]]). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur [[LR-Zerlegung]] von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als [[Koeffizientenmatrix]].
Der [[Thomas-Algorithmus]], welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.

== Block-Toeplitz-Matrix ==
Eine '''Block-Toeplitz-Matrix''' ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die [[Toeplitz-Matrix]] wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält.
Eine Block-Toeplitz-Matrix <math>\mathbf{A}</math> hat die Form
: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & & \cdots & \mathbf{A}_{(1,n-1)} & \mathbf{A}_{(1,n)} \\
\mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & & & \mathbf{A}_{(1,n-1)} \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & & \vdots \\
& & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} & & \\
\vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\
\mathbf{A}_{(n-1,1)} & & & & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)} \\
\mathbf{A}_{(n,1)} & \mathbf{A}_{(n-1,1)} & \cdots & & & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)}
\end{bmatrix}.
</math>

== Blockdreiecksmatrix ==
Eine '''Blockdreiecksmatrix''' ist das Block-Analogon zur [[Dreiecksmatrix]]. Eine ''obere Blockdreiecksmatrix'' ist eine quadratische Blockmatrix, deren [[Hauptdiagonale]] von quadratischen Blockmatrizen und von Blöcken oberhalb der Hauptdiagonalen gebildet wird. Die Blöcke unterhalb der Hauptdiagonalen sind [[Nullmatrix|Nullmatrizen]]. Eine obere Blockdreiecksmatrix <math>\mathbf{A}</math> hat die Form
: <math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1n} \\
0 & \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{nn}
\end{bmatrix},
</math>

Analog wird eine untere Blockdreiecksmatrix gebildet.

Blockdreiecksmatrizen spielen eine Rolle, um zu entscheiden, ob eine gegebene beliebige Matrix ''zerlegbar (reduzibel)'' oder ''[[Irreduzible Matrix|unzerlegbar (irreduzibel)]]'' ist. Eine Matrix <math>\mathbf{B}</math> ist ''zerlegbar (reduzibel)'', wenn eine [[Permutationsmatrix]] <math> P </math> existiert, so dass das Produkt <math> \mathbf{P} \mathbf{B} \mathbf{P}^T </math> eine obere oder untere Blockdreiecksmatrix ist. Existiert eine solche Permutationsmatrix nicht, so ist die Matrix ''unzerlegbar (irreduzibel)''.

== Siehe auch ==
* [[Kronecker-Produkt]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gilbert Strang]]
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2003
|ISBN=3-540-43949-8}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=BlockMatrix|title=Block matrix}}
* {{PlanetMath |id=PartitionedMatrix |title=Partitioned matrix |author=Cam McLeman, matte}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Blockmatrix - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Blockdiagonalmatrix */