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2022-06-26T18:51:08Z

Mit der Riemannschen Zahlenkugel: Formulierung

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Die '''Bloch-Kugel''' (nach ihrem Entwickler [[Felix Bloch (Physiker)|Felix Bloch]]) ist eine grafisch-geometrische Darstellung in der [[Quantenmechanik]]. Sie stellt die [[Superposition (Physik)|Überlagerungen]] der [[Quantenmechanischer Zustand|Zustände]] eines [[Zweizustandssystem]]s (beispielsweise eines [[Qubit]]s) als Punkte auf einer Kugeloberfläche dar.

== Anschauliche Darstellung ==
[[Datei:Bloch Sphere.svg|mini|256px|Bloch-Kugel]]
Die [[Vektor]]en, die zu den [[Sphärische Geometrie #Die Kugel als projektive Ebene, Dualität und Polarität|Polen]] der Bloch-Kugel zeigen, sind die Vektoren der vorgegebenen [[Basis (Vektorraum)|Basis]]. Punkte, die auf dem [[Äquator]] der Bloch-Kugel liegen, entsprechen jenen Zuständen, die zu gleichen Anteilen aus beiden Basiszuständen bestehen. Die Punkte, die auf der oberen Halbkugel liegen, setzen sich zum größeren Teil aus dem Basiszustand des oberen Basisvektors zusammen, und Punkte auf der unteren Halbkugel setzen sich zu einem größeren Teil aus dem unteren Basiszustand zusammen.

In der rechten Abbildung sind eingezeichnet:
* die [[Standardbasis]]-Vektoren <math>\left|0\right\rangle, \left|1\right\rangle</math> (für [[Spin]]-Systeme wählt man gewöhnlicherweise <math>\left|0\right\rangle = \left|z+\right\rangle, \left|1\right\rangle = \left|z-\right\rangle</math>)
* der '''Bloch-Vektor''' <math>\left|\psi\right\rangle</math>, der wie folgt definiert ist:

:<math>\begin{align}
\left|\psi\right\rangle
& = \cos\frac{\theta}{2} \left|0\right\rangle + e^{\mathrm{i} \phi} \sin\frac{\theta}{2} \left|1\right\rangle \\
& = \cos\frac{\theta}{2} \left|0\right\rangle + (\cos \phi + \mathrm{i} \sin \phi) \sin\frac{\theta}{2} \left|1\right\rangle
\end{align}</math>

Mit <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> und <math>0 \leq \phi < 2 \pi</math> erhält man so alle Zustände, bei denen die Betragsquadrate der Koeffizienten als Wahrscheinlichkeiten mit der Summe eins interpretiert werden können. Der Koeffizient bei <math>\left|0\right\rangle</math> wird auf reelle Werte eingeschränkt, um den physikalisch nicht vorhandenen Freiheitsgrad einer gemeinsamen komplexen Phase beider Komponenten zu eliminieren.

Der Bloch-Vektor entspricht dem [[Eigenvektor]] <math>\left|n+\right\rangle</math> des [[Spin #Spinoperator, Eigenwerte und Quantenzahlen|Spinoperators]] <math>\hat{S}_\vec{n}= \vec{n}\cdot \hat{\vec{s}} \overset{.}{=}\frac{\hbar}{2} (\vec{n}\cdot \vec{\sigma})</math> in <math>\vec{n}</math>-Richtung, wobei
* die Richtung <math>\vec{n} = \begin{pmatrix} \sin\theta \cdot \cos\phi \\ \sin\theta \cdot \sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix}</math> im realen [[Anschauungsraum]] durch die Winkel <math>\theta, \phi</math> vorgegeben wird und
* <math>\hat{\vec{s}} \; \overset{.}{=} \; \frac{\hbar}{2} \cdot \vec{\sigma} = \! \sum_{i\in \{x,y,z\}} \! \! \vec{e}_i \frac{\hbar}{2} \cdot \sigma_i</math> der Spinoperator-Vektor ist.

Der Eigenvektor <math>\left|n+\right\rangle</math> ist ''kein'' Vektor im Anschauungsraum, in dem z. B. die Richtung <math>\vec{n}</math> liegt. Stattdessen ist er Element des Raumes, der durch die Eigenvektoren des [[Operator (Mathematik)|Operators]] <math>\hat{S}_\vec{n}</math> aufgespannt wird.

== Zusammenhänge ==
=== Mit der Riemannschen Zahlenkugel ===
Die [[Linearkombination]] der den beiden Polen zugeordneten Zustandsvektoren (nachfolgend durch <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> und <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> bezeichnet) kann, weil es bei einem Quantenzustand ''nicht'' auf die [[Phasenwinkel|Phase]] ankommt und der Betrag des Ergebnisses auf eins normiert wird, mit einer [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] <math>c</math> dargestellt werden:

:<math>\left| \Psi \right\rangle = \frac{\left| \uparrow \right\rangle + c \left| \downarrow \right\rangle}{\sqrt{1 + \left| c \right|^2}}</math>

Der Zähler dieses Bruches ist ein Vektor; der Nenner eine für die [[Einheitsvektor#Definition|Normierung]] erforderliche Zahl.

Die Bloch-Kugel kann so auf die [[Riemannsche Zahlenkugel]] für die komplexe Zahl <math>c</math> abgebildet werden.

=== Mit der Poincaré-Kugel ===
Eng verwandt mit der Bloch-Kugel ist die [[Poincaré-Kugel]], die zur Darstellung der [[Polarisation|Polarisation von Transversalwellen]] (z. B. Licht) und für die [[Molekularfeldtheorie #Beispiel: N-Spin-System|mean-field Beschreibung größerer Spinsysteme]] verwendet wird.

== Reine und gemischte Zustände ==
Die [[Pauli-Matrizen]] sind [[Hermitesche Matrix|hermitesch]] und bilden zusammen mit der [[Einheitsmatrix]] <math>E</math> eine Basis des [[Vektorraum]]s der komplexen <math>2 \times 2</math>-Matrizen. Die [[Dichtematrix]] eines Qubits kann bezüglich einer festen Basis immer dargestellt werden als

:<math>\rho = \frac{1}{2} \left(E + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z \right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+z & x-\mathrm{i}y \\ x+\mathrm{i}y & 1-z\end{pmatrix}</math>

Fasst man <math>(x,y,z) \in \R^3</math> als Vektor im <math>\R^3</math> auf, dann ist <math>\rho</math> immer dann [[positiv semidefinit]], also eine zulässige Dichtematrix, wenn <math>(x,y,z)</math> in der abgeschlossenen [[Einheitskugel]] des <math>\R^3</math> liegt. Den Vektor <math>(x,y,z)</math> nennt man den '''Bloch-Vektor'''. Der Zustand ist genau dann [[Reiner Zustand|rein]], wenn der Bloch-Vektor die Länge eins hat, also auf der Kugeloberfläche liegt.

Zwei reine Zustände sind [[orthogonal]], wenn ihre Bloch-Vektoren sich an genau gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel befinden. In der Mitte der Blochkugel liegt der vollständig gemischte Zustand, dessen Blochvektor der [[Nullvektor]] ist.

Bildet man eine Mischung aus einem Anteil <math>p</math> des Zustands mit Bloch-Vektor <math>\vec v</math> und einem Anteil <math>1-p</math> des Zustands mit Bloch-Vektor <math>\vec w</math>, dann wird das Gemisch durch den Bloch-Vektor <math>p \cdot \vec v + (1-p) \cdot \vec w</math> beschrieben. Man kann also alle Zustände als [[Konvexkombination]] reiner Zustände schreiben, und die Bloch-Kugel zeigt auch, dass der Zustandsraum eine [[konvexe Menge]] ist, deren [[Extremalpunkt]]e die reinen Zustände sind.

== Geometrische Deutung ==
Sind <math>\left|\uparrow\right\rangle</math> und <math>\left|\downarrow\right\rangle</math> Spinzustände zur [[Spinquantenzahl]] {{Bruch|2}}, etwa Parallelstellung und Antiparallelstellung eines [[Elektron]]s im [[Magnetfeld]], dann zeigt im Überlagerungszustand der [[Erwartungswert]] des (vektoriellen) Spinoperators in die Richtung, die der zugeordnete Punkt auf der Bloch-Kugel andeutet.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Bloch spheres}}
* {{MathWorld|title=Bloch Sphere|id=BlochSphere}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Felix Bloch]]

Bloch-Kugel - Versionsgeschichte

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