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2024-10-20T19:33:23Z

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[[Datei:Leibniz binary system 1697 (cropped).jpg|mini|Das binäre Zahlensystem mit seinen Wertigkeiten in einem ersten Entwurf von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], 1697]]
Die '''Bitwertigkeit''' legt den [[Stellenwertsystem|Stellenwert]] eines einzelnen [[Bit]]s fest, den es durch seine Position innerhalb einer Binärzahl (auch [[Dualsystem|Dualzahl]] genannt) haben soll. Sie beginnt mit <math>2^0=1</math> und steigt je Position/Stelle um jeweils eine [[Potenz (Mathematik)#Zweierpotenz|Zweierpotenz]] an.

Bei der Adressierung im Speicher werden die Bitwertigkeiten über die '''Bitnummerierung''' definiert.

Im Rahmen der Signalübertragung legt die '''Bitreihenfolge''' die Wertigkeit jedes Bits fest.

Unabhängig hiervon ist die [[Byte-Reihenfolge]] und kommt erst bei Dualzahlen mit mehr als acht Bit (einem Byte) Wortbreite zu tragen.

== Bitreihenfolge ==
[[Datei:MIL-STD-188-100 char struct for async comms 1972-11-15.svg|mini|300px|Standardzeichenstrukturierung und -reihung der asynchronen serielle Datenübertragung für ein 7-Bit-ASCII-Zeichen bestehend aus 10 Elementen (Bit). Die Übertragung beginnt links mit dem Bit der niedrigsten Wertigkeit (nach SPACE), also Least-Significant-Bit-first (''LSb-first'').<ref>[https://www.google.de/books/edition/Military_Standard/um2cRERx4S4C?gbpv=1&pg=RA3-PA8 MIL-STD-188-100, S. B-8, Abb. 3, 1972.]</ref>]]
Bei der hardwarenahen Programmierung von [[Mikroprozessor]]en und bei der [[serielle Datenübertragung|seriellen Datenübertragung]] (bitweisen Datenübertragung) spielt die Reihenfolge der [[Bit]]s eines [[Datenwort]]es eine entscheidende Rolle bezüglich dessen Wertes. Sie beginnt entweder mit der niedrigsten oder höchsten Wertigkeit ({{enS|significance}}):
* LSb-first (Least Significant Bit first): Die Reihenfolge beginnt mit dem niedrigstwertigen Bit.
* MSb-first (Most Significant Bit first): Die Reihenfolge beginnt mit dem höchstwertigen Bit.

== Notation und Nummerierung ==
Bei der Notation einer Dualzahl als Reihung von 0 und 1 hingegen, werden typischerweise die Bit-Stellen gemäß ihrer aufsteigenden Wertigkeit horizontal von rechts nach links aufgetragen. Somit steht die Ziffer mit der höchsten Wertigkeit am linken Ende der Reihe.

Für die Addressierbarkeit der Stellen zum Beispiel innerhalb eines 8-Bit-[[Register (Prozessor)|Registers]] bedient man sich allerdings der Nummerierung oder [[Index (Mathematik)|Indizierung]] der Bit-Stellen und auch sie kann entweder mit der niedrigsten oder höchsten Wertigkeit beginnen:
* Beginnt die Nummerierung mit 0 für das niedrigstwertige Bit (LSb) auf der rechten Seite und läuft nach links, so spricht man von „LSb0“.
* Beginnt die Nummerierung mit 0 für das höchstwertige Bit (MSb) auf der linken Seite und läuft nach rechts, so spricht man von „MSb0“.

=== LSb0-Bitnummerierung ===
{| class="wikitable float-right" border="1" style="text-align:right; font-size: xx-small;"
|-
|style="width:7.7em; text-align:center;"| '''150dez in LSb0''' ||style="width:2.4em; background:#D9DBFF; border-right: hidden;" | MSb || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em;background:#FFFFB0;"| LSb
|-
|| Bitnummer || style="border-right: hidden;" |7|| style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="background:#FFFFB0;"| 0
|-
|| Bitwertigkeit ||<math>2^7</math> 128||<math>2^6</math> 64||<math>2^5</math> 32||<math>2^4</math> 16||<math>2^3</math> 8||<math>2^2</math> 4||<math>2^1</math> 2||style="background:#FFFFB0"|<math>2^0</math> 1
|-
|| Inhalt des Bit ||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;background:#FFFFB0"|0
|}
Sind die Bits innerhalb einer Binärzahl gemäß '''LSb0''' nummeriert, dann hat das Bit mit dem ''niedrigsten'' Stellenwert ({{enS|least significant bit}}) die Nummer 0 (= ist das Bit mit dem Index 0).

Ist bei einer Binärzahl mit den Stellen <math>0, 1, \ldots, N-1</math> die Bitposition 0 die ''niedrigstwertige'', dann ist deren Wert mit <math>1</math> zu multiplizieren. Der Gesamtwert der Binärzahl ist:

:<math>\sum_{i=0}^{N-1} a_i \cdot 2^i </math>

=== MSb0-Bitnummerierung ===
{| class="wikitable float-right" border="1" style="text-align:right; font-size: xx-small;"
|-
|style="width:7.7em; text-align:center;"| '''150dez in MSb0''' ||style="width:2.4em; background:#D9DBFF; border-right: hidden;" | MSb || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em; border-right: hidden;" | || style="width:2.4em;background:#FFFFB0;"| LSb
|-
|| Bitnummer || style="background:#D9DBFF; border-right: hidden;" |0|| style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || style="border-right: hidden;" | || 7
|-
|| Bitwertigkeit ||style="background:#D9DBFF"|<math>2^{7-0}</math> 128||<math>2^{7-1}</math> 64||<math>2^{7-2}</math> 32||<math>2^{7-3}</math> 16||<math>2^{7-4}</math> 8||<math>2^{7-5}</math> 4||<math>2^{7-6}</math> 2||<math>2^{7-7}</math> 1
|-
|| Inhalt des Bit ||style="text-align:center;background:#D9DBFF;"|1||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|0||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|1||style="text-align:center;"|0
|}
Sind die Bits innerhalb einer Binärzahl gemäß '''MSb0''' nummeriert, dann hat das Bit mit dem ''höchsten'' Stellenwert ({{enS|most significant bit}}) die Nummer 0 (= ist das Bit mit dem Index 0).

Ist bei einer Binärzahl mit den Positionen <math>0,1,\ldots,N-1</math> die Bitposition 0 die ''höchstwertige'', dann ist deren Wert mit <math>2^{N-1}</math> zu multiplizieren. Der Gesamtwert der Binärzahl ist:

:<math>\sum_{i=0}^{N-1} a_i \cdot 2^{N-1-i} </math>

== Zahlenformat und Vorzeichenbit ==
Das höchstwertige Bit (MSb) zeigt im [[Einerkomplement]], [[Zweierkomplement]] und anderen [[Zahlenformat]]en mit Vorzeichenbit auch an, ob die entsprechende Dezimalzahl positiv oder negativ ist. Beim Zweierkomplement zählt die Null dabei zu den nicht-negativen Zahlen, sodass man mehr negative als positive Zahlen darstellen kann. Bei anderen Zahlenformaten wie dem Einerkomplement oder Gleitkommazahlen nach [[IEEE 754|IEEE-754]]-Standard gibt es ''zwei'' Darstellungen der Null (+0 und −0).

== Adressierung von Bits ==
Dieselben [[Byte-Reihenfolge#Vereinbarungen|Annahmen]] wie im Artikel „Byte-Reihenfolge“ seien vorausgesetzt.

Für die meisten in der Praxis verwendeten Rechner besteht die kleinste adressierbare Einheit aus mehr als einem Bit, z. B. aus einem [[Byte]], das 8 Bits enthält. Mithin lässt sich ein einzelnes Bit nicht unmittelbar adressieren.

Fügt man einer Byte-Adresse jedoch ein Bit-Offset ''BitOffset'' ∈ 0,1, …,7 bei, so wird ein einzelnes Bit eindeutig spezifizierbar. Diese Art der [[Spezifikation]] wird '''Bit-Adressierung''' genannt. Sie lässt sich über den Umweg von [[Register (Computer)|Register]][[Bitweiser Operator #Bitweise Verschiebungen|verschiebungen]] verwirklichen.

Die Begriffe links/rechts haben bei solchen Shift-Befehlen nichts mit links/rechts wie weiter oben beschrieben zu tun, sondern orientieren sich ausschließlich an der üblichen Sicht:
* der Links-Shift multipliziert eine Binärzahl mit einer Zweierpotenz, verschiebt die Bits also in Richtung „Big-End“ (= Richtung ''most significant bit'')
* der Rechts-Shift umgekehrt.
In der Form   ''ByteAdresse'' * 8 + ''BitOffset''   hat die Bit-Adressierung folgende Eigenschaften:
{| class="wikitable float-right" style="text-align:center;"
! Adress- Inkrement !! Links -Shift !! Rechts -Shift
|-
| '''[[Byte-Reihenfolge|Big-Endian]]''' || –1
|| +1

|-
| '''[[Byte-Reihenfolge|Little-Endian]]''' || +1
|| –1
|}
* Abgesehen von den Effekten an den beiden Rändern des Registers, bedeutet eine Shift-Operation um 1 Bit eine Veränderung der ''Bit''-Adresse um 1 (genauer: einen Transport der [[Bitkette]] an eine um 1 veränderte Bitadresse), und zwar entspricht (vgl. Tabelle):
** ein Links-Shift bei Big-Endian einer Verringerung um 1,
** ein Rechts-Shift bei Big-Endian einer Erhöhung um 1,
** ein Links-Shift bei Little-Endian einer Erhöhung um 1,
** ein Rechts-Shift bei Little-Endian einer Verringerung um 1.
* Unmittelbar erkennbar wird dies bei Shifts um Vielfache von 8 Bits: Eine Shift-Operation um 8 Bit ist dasselbe wie 8 Shift-Operationen um 1 Bit in immer die gleiche Richtung. Von den Randeffekten abgesehen bedeutet ein Shift um 8 Bit eine Veränderung der ''Byte''-Adresse um 1 (Verringerung / Erhöhung wie oben bei einzelnen Bits). Damit aber eine Shift-Operation um 8 Bit nicht nur aus Randeffekten besteht, muss das Register breiter als 8 Bit sein.

;Ergebnis
* Die Unterscheidbarkeit der Bits lässt sich abbilden auf eine eindeutige Adressierung (Nummerierung) derselben, bspw. in der exemplarischen Form   ''ByteAdresse'' * 8 + ''BitOffset'' . Der Zugriff auf ein einzelnes Bit gelingt (nach entsprechender Isolierung durch [[Bitweiser Operator|bitweise Operationen]]) unter Zuhilfenahme von Shift-Operationen. Rechts- wie Links-Shift führen (auf ein und demselben Computer) beide zum exakt gleichen Ergebnis. Dabei wird die [[Byte-Reihenfolge|Endianness]] (Big oder Little) der Bytes im [[Datenwort#Beispiele|Wort]] auf eine der Bits im Byte übertragen. Die Shift-Operationen stellen unter dieser Adressierung Transporte von Bits dar um die im Shift angegebene Anzahl von Bit-Positionen.

Platziert man in der horizontalen Darstellung die niedrigen Adressen links und die hohen rechts, so lassen sich für 32 Bit (d. h. 4 Byte) lange Bit-Arrays oder vorzeichenlose Ganzzahlen die Konventionen der Bit-Nummerierung folgendermaßen gegenüberstellen:
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:left"
|-
! rowspan="2" style="text-align:left" | Aufsteigende Offsets || Byte-Offset || 0 || 1 || 2 || 3
|-
! style="text-align:left" | Bit-Offset || 0, 1, …, 7 || 0, 1, …, 7 || 0, 1, …, 7 || 0, 1, …, 7
|- style="background:#E0FFE8"
|rowspan="2" | Bitnummer   bei Big-Endian und || MSb0 || 0, 1, …, 7 || 08, …, 15 || 16, …, 23 || 24, …, 31
|-
| LSb0 || 31, …, 24 || 23, …, 16 || 15, …, 08 || 7, …, 1, 0
|- style="background:#E0FFE8"
|rowspan="2" | Bitnummer   bei Little-Endian und || LSb0 || 0, 1, …, 7 || 08, …, 15 || 16, …, 23 || 24, …, 31
|-
| MSb0 || 31, …, 24 || 23, …, 16 || 15, …, 08 || 7, …, 1, 0
|}
Die Nummerierung der Bits bei ''Big-Endian mit MSb0'' und ''Little-Endian mit LSb0'' (beide farblich unterlegt) entspricht somit der Bit-Adresse. Dagegen nummerieren die Konventionen ''LSb0 bei Big-Endian'' und ''MSb0 bei Little-Endian'' die Bits im Register gegenläufig zu ihrer Adresse, was mit einer (mit den Adressen aufsteigenden) Indizierung in einem Array antikorreliert.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Assembler]]
[[Kategorie:Zahlensystem]]
[[Kategorie:Computerarithmetik]]

Bitwertigkeit - Versionsgeschichte

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