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2017-01-23T08:15:46Z

Aussage

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Ein '''binomisches Integral''' ist ein [[Integralrechnung|Integral]] der Form:

<math>\int x^m \left(ax^n +b \right)^p \,\mathrm{d}x</math>
, wobei <math>m,\ n,\ p</math> rationale Zahlen sind und <math>a \ne 0, n \ne 0</math>.

Der ''Satz von Tschebyschow'' macht nun eine Aussage, wann ein binomisches Integral elementar integrierbar ist. Elementar integrierbar bedeutet, dass das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion bestimmt werden kann.

== Satz von Tschebyschow ==
=== Aussage ===
Ein binomisches Integral ist [[elementar integrierbar]] genau dann, wenn mindestens eine der Zahlen <math>\textstyle p,\ \frac{m+1}{n}</math> bzw. <math>\textstyle \frac{m+1}{n}+p</math> [[Ganze Zahl|ganz]] ist.

Ist die Funktion elementar integrierbar, so lässt sich in folgenden drei Fällen die [[Stammfunktion]] bestimmen:
#<math>p \in \Z</math> mit der [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>x = t^q</math> wobei q der Hauptnenner von m und n ist
#<math>\frac{m+1}{n} \in \Z</math> mit der Substitution <math>t^q = ax^n+b</math> wobei q der Nenner von p ist
#<math>\frac{m+1}{n}+p \in \Z</math> mit der Substitution <math>t^q = \frac{ax^n+b}{x^n}</math> wobei q der Nenner von p ist.

=== Beispiele ===
'''1. Beispiel'''

<math>\begin{align}
&\int \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \,\mathrm{d}x = \int x^0 \left(1 \cdot x^4 +1 \right)^{- \frac{1}{2}} \,\mathrm{d}x\\
\Rightarrow &m=0,\ n=4,\ p=- \frac{1}{2}\\
\Rightarrow &p=- \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z},\ \frac{m+1}{n}= \frac{0+1}{4}= \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z},\ \frac{m+1}{n}+p= \frac{0+1}{4}- \frac{1}{2}=- \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z}
\end{align}</math>

Somit ist <math>\textstyle \frac{1}{\sqrt{1+x^4}}</math> '''nicht''' elementar integrierbar.

'''2. Beispiel'''

<math>\begin{align}
&\int \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{ \left(x+1 \right)^2} \,\mathrm{d}x = \int x^{ \frac{1}{3}} \left(1 \cdot x^1 +1 \right)^{ \frac{2}{3}} \,\mathrm{d}x\\
\Rightarrow &m= \frac{1}{3},\ n=1,\ p= \frac{2}{3}\\
\Rightarrow &p= \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z},\ \frac{m+1}{n}= \frac{{ \frac{1}{3}}+1}{1}= \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z},\ \frac{m+1}{n}+p= \frac{{ \frac{1}{3}}+1}{1}+ \frac{2}{3}=2 \in \mathbb{Z}
\end{align}</math>

Also ist <math>\textstyle \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{ \left(x+1 \right)^2}</math> elementar integrierbar.

== Quelle ==
* {{Literatur |Titel=binomisches Integral |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]

Binomisches Integral - Versionsgeschichte

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