2003:C5:8701:A31F:70B9:CE94:93:9F7C: Rechenfehler oder Schreibfehler

2021-05-27T17:43:35Z

Rechenfehler oder Schreibfehler

Neue Seite

Ein '''Binomialtest''' ist ein [[statistischer Test]], bei dem die [[Teststatistik]] [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] ist. Er wird verwendet, um [[Hypothese (Statistik)|Hypothesen]] über [[Statistische_Variable|Merkmale]] zu prüfen, die genau zwei Ausprägungen annehmen können ([[Dichotomie|dichotome]] Merkmale).

== Hypothesen und Teststatistik ==
Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für die unbekannte Wahrscheinlichkeit <math>p</math> eines Merkmals in der Grundgesamtheit getestet werden:

{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
! Test
! <math>H_0</math>
! <math>H_1</math>
|-
| zweiseitig
| <math>p = p_0\,</math>
| <math>p \neq p_0</math>
|-
| rechtsseitig
| <math>p=p_0</math> oder <math>p\leq p_0</math>
| <math>p > p_0</math>
|-
| linksseitig
| <math>p=p_0</math> oder <math>p\geq p_0</math>
| <math>p < p_0</math>
|}

Die [[Teststatistik]] <math>X</math> gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen [[Zufallsstichprobe|Stichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aufgetreten ist. Unter der Nullhypothese <math>H_0\colon p = p_0</math> ist die Teststatistik <math>B(p_0,n)</math>-verteilt, das heißt
:<math>P(X=i) = B(i|p_0,n) = \binom{n}{i} p_0^i (1-p_0)^{n-i}</math>.

== Signifikanzniveau und kritische Werte ==
[[Datei:BinomialTest.svg|thumb|Teststatistik für den Binomialtest, die roten Säulen gehören zum kritischen Bereich.]]
Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> in der Regel nicht eingehalten werden. Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes ''exaktes'' Signifikanzniveau <math>\alpha_\text{ex}</math> gilt <math>\alpha_\text{ex}\leq\alpha</math>.

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte <math>c_1</math> und das kleinste <math>c_2</math> bestimmt werden, für die gilt

* <math>\sum_{i=0}^{c_1} B(i|p_0,n) \leq \alpha/2</math> und
* <math>\sum_{i=c_2}^n B(i|p_0,n) \leq \alpha/2</math>.

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als <math>\alpha_\text{ex}=\sum_{i=0}^{c_1} B(i|p_0,n)+\sum_{i=c_2}^n B(i|p_0,n)</math>. Für die beiden [[Einseitiger Test|einseitigen Tests]] wird analog verfahren.

{| class="wikitable"
! Test
! Kritische Werte
! Kritischer Bereich
! Grenze(n)
|-
| zweiseitig
|<math>c_1+1</math> und <math>c_2-1</math>
|<math>\{0,\dotsc,c_1\} \cup \{c_2,\dotsc,n\}</math>
|
|-
| rechtsseitig
|<math>c-1</math>
|<math>\{c,\dotsc,n\}</math>
|''c'' = kleinster Wert, für den <math>\sum_{i=c}^n B(i| p_0,n)= \alpha_\text{ex} \leq \alpha</math>
|-
|linksseitig
|<math>c+1</math>
|<math>\{0,\dotsc,c\}</math>
|''c'' = größter Wert, für den <math>\sum_{i=0}^{c} B(i| p_0,n)= \alpha_\text{ex} \leq \alpha</math>
|}

== Approximation der Verteilung der Teststatistik ==
[[Datei:Binomial Distribution.svg|thumb|Approximation einer Binomialverteilung mit einer Normalverteilung.]]
Die binomialverteilte Teststatistik kann mit einer anderen Verteilung approximiert werden. Die dafür notwendigen Approximationsbedingungen können je nach Literaturquelle variieren.

{| class="wikitable"
! Verteilung
! Parameter
! Approximationsbedingungen
|-
| [[Poisson-Verteilung]] <math>X\approx Po(\lambda)</math>
| <math>\lambda=np_0</math>
| <math>n>10</math> und <math>p_0<0{,}05</math>
|-
| [[Normalverteilung]] <math>X\approx N(\mu, \sigma^2)</math>
| <math>\mu=np_0</math> und <math>\sigma^2=np_0(1-p_0)</math>
| <math>np_0(1-p_0)>9</math>
|}

Im Fall der Approximation der Normalverteilung kann statt der Teststatistik <math>X</math> auch gleich die Teststatistik <math>\Pi=X/n\approx N\left(p_0, \tfrac{p_0(1-p_o)}{n}\right)</math> betrachtet werden.

== Beispiele ==
#Hellseherische Fähigkeit versus Raten der Farbe einer zufällig gewählten Spielkarte (aus [[statistischer Test]]): Bei <math>n</math>-maliger Durchführung erreicht eine Testperson <math>X</math> Treffer (Farbe richtig genannt). Ab welcher Trefferzahl <math>X</math> sollte man die Nullhypothese <math>H_0\colon p = \tfrac 14</math> verwerfen und die Alternativhypothese <math>H_1\colon p>\tfrac 14</math> (also tatsächliche hellseherische Fähigkeit) für [[Plausibilität|plausibler]] halten?<ref>Wir betrachten für ''p'' den Parameterbereich [1/4,1], um zu erreichen, dass Nullhypothese und Alternativhypothese den gesamten Parameterbereich überdecken. Bei absichtlichem Nennen einer falschen Farbe könnte man zwar auch auf hellseherische Fähigkeiten schließen, aber wir nehmen an, dass die Testperson eine möglichst hohe Trefferzahl erzielen will.</ref> Wenn <math>H_0</math> richtig ist, dann ist <math>X</math> binomialverteilt mit Parametern <math>n</math> und 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, <math>k</math> oder mehr Treffer durch Raten zu erzielen, beträgt dann <math>\sum_{i=k}^n B(i|\tfrac{1}{4},n)</math>. Bei einem [[Signifikanzniveau]] von 1 % verwirft man die Nullhypothese, falls <math>X \geq c</math>. Hier ist <math>c</math> der kleinste Wert, für den <math>\sum_{i=c}^n B(i|\tfrac{1}{4},n) \leq 1\,\%</math> ist. Beispielsweise für <math>n=100</math> ergibt sich <math>c=36</math>. Die Testperson müsste also unter den genannten Bedingungen mindestens bei 36 von 100 Versuchen richtig liegen, damit ihre hellseherischen Fähigkeiten für plausibel gehalten werden.
#In einer [[Multiple Choice|Multiple-Choice-Prüfung]] gibt es 50 Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Dies führt zur gleichen Fragestellung wie das Spielkartenbeispiel. Die Nullhypothese ist, dass ein Prüfling die Antwort zufällig ankreuzt (<math>H_0\colon p = 1/4</math>), und die Alternativhypothese ist <math>H_1\colon p>1/4</math>.<ref>Wie im Spielkartenbeispiel nehmen wir an, dass der Parameterbereich [1/4,1] ist (Prüfling möchte eine möglichst hohe Trefferzahl erreichen).</ref> Diese Modellierung setzt allerdings voraus, dass es keine Möglichkeit gibt, gewisse Antworten als unplausibel auszuschließen.
#Eine [[Urnenmodell|Urne]] enthält 10 Kugeln, von denen jede weiß oder schwarz sein kann. Man möchte die Nullhypothese testen, dass alle Kugeln weiß sind (also <math>H_0\colon p = 0</math>), und zieht <math>n</math> Kugeln mit Zurücklegen. Die Alternativhypothese ist <math>H_1\colon p>0</math> und man verwirft die Nullhypothese, sobald eine oder mehr schwarze Kugeln gezogen worden sind: Der Ablehnungsbereich ist <math>\{1,\dotsc,n\}</math>. Der [[Statistische Signifikanz|Fehler 1. Art]] ist gleich 0, da unter der Nullhypothese keine schwarze Kugel gezogen werden kann. Der Ablehnungsbereich ist also offenbar unabhängig vom Signifikanzniveau. Der [[Statistische Signifikanz|Fehler 2. Art]] ist maximal, falls genau eine schwarze Kugel vorhanden ist, und beträgt dann <math>0{,}9^n</math>.
#(Gegenbeispiel) Gleiche Situation, aber Ziehen ohne Zurücklegen (es werden maximal <math>n=10</math> Kugeln gezogen). Wie im vorigen Fall verschwindet der Fehler 1. Art. Der Fehler 2. Art bestimmt sich aber aus einer [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]]. Er ist maximal für eine schwarze Kugel und beträgt dann <math>(10-n)/10</math>. Es handelt sich also ''nicht'' um einen Binomialtest.
#Mit dem Dreieckstest möchte man herausfinden, ob es einen Geschmacksunterschied zwischen zwei Produkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt. Hierfür werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt <math>A</math> und eine Probe gehört zum Produkt <math>B</math> oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt <math>\frac{1}{3}</math>. Insgesamt nehmen <math>n</math> verschiedene Probanden an dem Versuch teil. Die statistischen Berechnungen entsprechen denen des ersten Beispiels mit dem Unterschied, dass der zu testende Parameter <math>\frac{1}{3}</math> statt <math>\frac{1}{4}</math> lautet.

== Anmerkungen ==
<references />

== Literatur ==
* [[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger.'' 8. Auflage. Vieweg, 2010.
* Ulrich Krengel: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.'' 8. Auflage. Vieweg, 2005.
* Horst Rinne: ''Taschenbuch der Statistik.'' 3. Auflage. Harri Deutsch, 2003.

==Weblinks==
{{commonscat|Binomial test}}

[[Kategorie:Testtheorie]]

Binomialtest - Versionsgeschichte

2003:C5:8701:A31F:70B9:CE94:93:9F7C: Rechenfehler oder Schreibfehler