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2025-04-26T19:25:11Z

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'''Bimorphismus''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Kategorientheorie]].

== Definition ==
Ein [[Morphismus]] einer Kategorie heißt '''Bimorphismus''', wenn er [[Epimorphismus]] und [[Monomorphismus]] ist.<ref>Horst Schubert: ''Kategorien I'', Springer-Verlag 1970, ISBN 978-3-540-04865-7, Kapitel 5.3: ''Bimorphismen''</ref><ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 6.16</ref><ref>Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: ''Einführung in die Theorie der Kategorien und Funktoren'', Teubner-Verlag 1979, Definition 3.9.1</ref>

== Abgrenzung ==
Die lateinische Vorsilbe bi bedeutet zwei. Da ein Bimorphismus durch zwei Eigenschaften definiert wird, ist obige Definition damit naheliegend. Manche Autoren bezeichnen aber auch spezielle Abbildungen, die auf einem Produkt zweier Objekte definiert sind, als Bimorphismen, da diese Abbildungen in zwei Variablen verallgemeinern.<ref>Patrik Eklund, Javier Gutiérrez García, Ulrich Höhle, Jari Kortelainen: ''Semigroups in Complete Lattices'', Springer-Verlag 2018, ISBN 3-319-78947-3, Definition 3.1.28</ref><ref>Ramon Antoine, Francesc Perera, Hannes Thiel: ''Tensor Products and Regularity Properties of Cuntz Semigroups'', Memoirs of The American Mathematical Societey 2018, Definition 3.1.28</ref> Das hat mit dem hier behandelten Begriff nichts zu tun.

== Bemerkungen ==
* Dieser Begriff hängt, genau wie der des Epi- und Monomorphismus, von der umgebenden Kategorie ab. Bei Verkleinerung oder Vergrößerung der Kategorie kann diese Eigenschaft verloren gehen. Siehe dazu die unten gegebenen Beispiele.
* Der Begriff ist selbstdual, das heißt ist ein Morphismus in einer Kategorie Bimorphismus, so ist derselbe Morphismus, aufgefasst als Morphismus in der [[Duale Kategorie|dualen Kategorie]], ebenfalls Bimorphismus. Das ist klar, da die Begriffe Epi- zu Monomorphismus zueinander dual sind.
* Kompositionen von Bimorphismen sind offenbar wieder Bimorphismen, da die Eigenschaften Epi- und Monomorphismus bei Kompositionen erhalten bleiben.

== Vergleich mit Isomorphismen ==
Offenbar bestehen folgende Beziehungen zu [[Retraktion und Koretraktion|Retraktionen und Schnitten]] und [[Extremer Monomorphismus und Epimorphismus|extremen Epi- und Monomorphismen]]:

:<math>\begin{array}{ccccccc}
\text{Isomorphismus} & \Rightarrow & \text{Retraktion} & \Rightarrow & \text{extremer Epimorphismus} & \Rightarrow & \text{Epimorphismus} \\
\text{Isomorphismus} & \Rightarrow & \text{Schnitt} & \Rightarrow & \text{extremer Monomorphismus} & \Rightarrow & \text{Monomorphismus}
\end{array}</math>

Dass umgekehrt ein Bimorphismus nicht unbedingt ein [[Isomorphismus]] ist, begründet den hier besprochenen Begriff des Bimorphismus, siehe Beispiele unten. Welche Umkehrungen hier gelten, zeigt folgender Satz.

Für einen Bimophismus <math>f</math> sind folgende Aussagen äquivalent:<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 17.13</ref>
* <math>f</math> ist ein Isomorphismus
* <math>f</math> ist ein Epimorphismus und extremer Monomorphismus
* <math>f</math> ist ein Monomorphismus und extremer Epimorphismus

== Beispiele ==
* Nach obigem ist jeder Isomorphismus ein Bimorphismus. Kategorien, in denen stets die Umkehrung gilt, heißen [[Ausgeglichene Kategorie|ausgeglichen]].
* Fasst man eine [[Quasiordnung|quasigeordnete Menge]] <math>(X,\le)</math> in üblicher Weise als Kategorie auf, das heißt die Objekte sind die Elemente von <math>X</math> und für <math>x,y\in X</math> ist <math>\mathrm{Hom}(x,y)</math> einelementig, falls <math>x\le y</math>, und leer anderenfalls, dann ist in dieser Kategorie jeder Morphismus ein Bimorphismus.<ref>Horst Schubert: ''Kategorien I'', Springer-Verlag 1970, ISBN 978-3-540-04865-7, Absatz 5.3.2: ''Bimorphismen''</ref>
* In der Kategorie der [[Abelsche Gruppe|abelschen]], [[Teilbare Gruppe|teilbaren Gruppen]] und den [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] ist die [[Quotientenabbildung]] <math>f\colon \Q \rightarrow \Q/\Z</math> ein Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist. In der größeren Kategorie aller Gruppen ist <math>f</math> kein Monomorphismus.
* In der Kategorie der abelschen, [[torsionsfrei]]en Gruppen ist die Inklusion <math>i\colon \Z \rightarrow \Q</math> ein Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist. In der größeren Kategorie aller Gruppen ist <math>i</math> kein Epimorphismus.
* Ist <math>\mathcal{C}</math> eine [[konkrete Kategorie]], das heißt die Objekte haben unterliegende Mengen (per [[Vergissfunktor]]) und die Morphismen sind Abbildungen zwischen diesen Mengen, so ist jeder Morphismus, der eine bijektive Abbildung zwischen den unterliegenden Mengen ist, ein Bimorphismus.<ref>Vieweg Mathematik Lexikon, Begriffe/Definitionen/Sätze/Beispiele für das Grundstudium, Vieweg-Verlag 1988, ISBN 978-3-528-06308-5, Eintrag Bimorphismus</ref>
* Seien <math>\tau_1</math> und <math>\tau_2</math> zwei [[Topologie (Mathematik)|Topologien]] auf einer Menge <math>X</math> mit einer echten Inklusionsbeziehung <math>\tau_1 \varsubsetneqq \tau_2</math>. Dann ist <math>\mathrm{id}_X: (X,\tau_2) \rightarrow (X,\tau_1)</math> ein Bimorphismus, der kein [[Homöomorphismus]] ist, das heißt kein Isomorphismus in der Kategorie der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]]. Dies ist ein Beispiel eines Morphismus mit unterliegender bijektiver Abbildung.
* In der Kategorie aller [[Hausdorffraum|Hausdorffräume]] ist jede injektive, stetige Abbildung mit [[Dichte Teilmenge|dichtem]] [[Bild (Mathematik)|Bild]] ein Bimorphismus. Dies zeigt, das Bimorphismen mit unterliegenden Abbildungen zwischen Mengen nicht notwendig bijektiv sein müssen.
* In der Kategorie der [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] mit den differenzierbaren Abbildungen als Morphismen ist <math>f: \R \rightarrow \R, \, x\mapsto x^3</math> ein Bimorphismus, der kein [[Diffeomorphismus]] ist, das heißt kein Isomorphismus in der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

== Ein Faktorisierungssatz ==
Bimorphismen sind in folgendem Faktorisierungssatz das Bindeglied in der Faktorisierung eines Morphismus in extreme Mono- und Epimorphismen.

Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit folgenden drei Eigenschaften:
* <math>\mathcal{C}</math> ist [[Endlich vollständige Kategorie|endlich vollständig]].
* Zu jedem Objekt ist die Klasse der [[Äquivalenzklasse]]n der [[Unterobjekt]]e eine Menge.
* <math>\mathcal{C}</math> besitzt [[Durchschnitt (Kategorientheorie)|Durchschnitte]].

Dann besitzt jeder Morphismus <math>f</math> in <math>\mathcal{C}</math> eine Faktorisierung <math>f=m\circ b\circ e</math>, wobei <math>e</math> ein extremer Epimorphismus, <math>b</math> ein Bimorphismus und <math>m</math> ein extremer Monomorphismus ist. Diese Faktorisierung ist bis auf Isomorphismen eindeutig, allgemeiner gilt: Ist
<div class="center"><math>
\begin{array}{ccc}
\bullet & \xrightarrow[]{f} & \bullet \\
\Bigg\downarrow {}_g & & \Bigg\downarrow {}_{h}\\
\bullet & \xrightarrow[]{f'} & \bullet
\end{array}
</math></div>
ein [[Kommutatives Diagramm|kommutatives Quadrat]] und sind <math>f=m\circ b\circ e</math> und <math>f'=m'\circ b'\circ e'</math> Faktorisierungen der oben genannten Art, so gibt es eindeutige Morphismen <math>k_1, k_2</math>, die
<div class="center"><math>
\begin{array}{ccccccc}
\bullet & \xrightarrow[]{e} & \bullet &\xrightarrow[]{b} & \bullet & \xrightarrow[]{m} & \bullet\\
\Bigg\downarrow {}_g & & \Bigg\downarrow {}_{k_1} & & \Bigg\downarrow {}_{k_2}& & \Bigg\downarrow {}_{h}\\
\bullet & \xrightarrow[]{e'} & \bullet & \xrightarrow[]{b'} & \bullet & \xrightarrow[]{m'} & \bullet
\end{array}
</math></div>
zu einem kommutativen Diagramm machen.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 34.6</ref>

(Wählt man speziell <math>f=f'</math> und <math>g</math> und <math>h</math> als identische Morphismen, so müssen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> Isomorphismen sein, und man erhält die Eindeutigkeit der Faktorisierung bis auf Isomorphismen.)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Bimorphismus - Versionsgeschichte

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