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2024-03-03T11:02:27Z

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Ein '''Bildmaß''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Maßtheorie]] und dient dazu, das [[Maß (Mathematik)|Maß]] in einem [[Maßraum]] <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> auf einen anderen Raum <math>(\Omega', \Sigma')</math> zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion <math>g \colon \Omega \to \Omega'</math> den Mengen in <math>\Sigma'</math> Werte zugeordnet. Das so auf <math>\Omega'</math> definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der [[Verteilung einer Zufallsvariablen]].

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol <math>*</math> oder <math>\#</math> verwendet: <math>g^*\mu</math>, <math>\mu \circ g^{-1}</math>, <math>g^{\#} \mu</math>, <math>g \sharp \mu</math>, oder <math>g \# \mu</math>.

== Definition ==

Es sei <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> ein Maßraum, <math>(\Omega',\Sigma')</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und
:<math>g\colon\Omega\to\Omega'</math>
eine <math>\Sigma\text{-}\Sigma'</math>-[[messbare Funktion]].
Dann ist die Abbildung
:<math> (g^*\mu):=\mu \circ g^{-1}: \Sigma' \to [0,\infty]</math>
definiert durch
:<math>A' \mapsto \mu(g^{-1}(A'))</math>
ein Maß auf <math>(\Omega',\Sigma')</math>, genannt das ''Bildmaß'' von <math>\mu</math> bezüglich <math>g</math>. Dabei bezeichnet <math>g^{-1}(A')</math> das [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] von <math>A'\in\Sigma'</math>.

== Transformationssatz ==

Für eine messbare Funktion <math>f \colon \Omega' \to \overline{\R}</math> (wobei <math>\overline{\R} := \R \cup \{-\infty, +\infty \}</math> die (affin) [[Erweiterte_reelle_Zahl|erweiterten reellen Zahlen]] bezeichnet) gilt der folgende [[Transformationssatz]] für messbare Mengen <math>A\subseteq\Omega'\; </math>:
:<math>\int_{g^{-1}(A)} f \circ g \; \mathrm d\mu = \int_A f \; \mathrm d(\mu \circ g^{-1})</math>,
wenn mindestens eines der beiden obigen [[Lebesgue-Integral|Integrale]] definiert ist.<ref name="Ash1.6.12">Robert B. Ash: ''Real Analysis and Probability.'' Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.</ref>

== Quellen ==
<references />

{{SORTIERUNG:Bildmass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Bildmaß - Versionsgeschichte

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