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2025-03-08T11:40:42Z

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[[Datei:Venn1001.svg|mini|[[Venn-Diagramm]] von <math>A \leftrightarrow B</math> Das '''Bikonditional''' ist die Negation des [[Kontravalenz|ausschließenden ''Oder'']] und bedeutet „[[Peirce-Funktion|beide nicht]] oder [[Konjunktion (Logik)|beide]]“. Dem entsprechen die roten Bereiche außerhalb und innerhalb beider Kreise.]]
Als '''Bikonditional''', '''Bisubjunktion''' oder '''materiale Äquivalenz''', manchmal (aber mehrdeutig) einfach nur '''Äquivalenz''' bezeichnet man
* eine zusammengesetzte [[Logische Aussage|Aussage]], die genau dann [[Wahrheit|wahr]] ist, wenn ihre beiden Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben, also entweder beide wahr oder beide falsch sind;
* die entsprechend definierte [[Wahrheitsfunktion|Wahrheitswertfunktion]];
* das sprachliche Zeichen (den [[Junktor]]), mit dem diese beiden Teilaussagen zusammengesetzt werden.

In der [[Aussagenlogik]] spricht man von einer '''Exklusiv-NICHT-ODER-Verknüpfung''' (auch ''XNOR'', ''NXOR'' oder ''[[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]]''). Die Gesamtaussage ist auch wahr, wenn entweder alle [[Logische Aussage|Teilaussagen]] wahr oder alle falsch sind. Anders formuliert ist eine (binäre) XNOR-Verknüpfung genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitswert liefern. Die XNOR-Verknüpfung ist entsprechend eine [[XOR-Verknüpfung]] gefolgt von einer [[Negation]].

== Schreibweise und Lesart ==
Als Zeichen für das Bikonditional als [[Junktor]] wird meist der '''Äquivalenzpfeil''' [[↔]], der dreifache Querstrich <math>\equiv</math> oder der Doppelpfeil mit zwei Querlinien <math>\Leftrightarrow</math> verwendet, gelegentlich auch die [[Tilde]] ~. (Fast jedes dieser Zeichen wird von unterschiedlichen Autoren und in unterschiedlichen Zusammenhängen auch in anderer Bedeutung verwendet, am häufigsten die Tilde für die [[Negation|Satzverneinung]] und der Doppelpfeil mit zwei Querlinien <math>\Leftrightarrow</math> für die metasprachliche Äquivalenz.) In der [[Polnische Notation|polnischen Notation]] wird das Bikonditional durch den Großbuchstaben E ausgedrückt.

In der [[Natürliche Sprache|natürlichen Sprache]] gibt es mehrere Möglichkeiten, ein Bikonditional <math>A \leftrightarrow B</math> auszudrücken, zum Beispiel die Formulierungen „A genau dann, wenn B“ (abgekürzt als „A gdw. B“), „A dann und nur dann, wenn B“ oder „A ist [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichend und notwendig]] für B“; auch die im Englischen verwendete Formulierung „A if and only if B“ findet sich abgekürzt als „A iff B“ gelegentlich sogar in deutschsprachigen Texten. Jede dieser Formulierungen ist dazu geeignet, den Ausdruck <math>A \leftrightarrow B</math> zu lesen.

== Bedeutung ==
Für die zweiwertige, wahrheitsfunktionale [[klassische Logik]] ist der Wahrheitswertverlauf (die [[Wahrheitstabelle]]) und damit die Bedeutung des Bikonditionals wie folgt durch die '''äq-Funktion''' definiert („w“ steht für „wahr“; „f“ steht für „falsch“):

{| class="wikitable"
!P
!Q
!<math>P\leftrightarrow Q</math>
|-
|align="center"|w
|align="center"|w
|align="center"|w
|-
|align="center"|w
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|}

In der klassischen Logik sind die Aussagen <math>A \leftrightarrow B</math> und <math>(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)</math> (das heißt die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] des [[Subjunktion|Konditionals]] <math>A \rightarrow B</math> und des Konditionals <math>B \rightarrow A</math>) [[Logische Äquivalenz|äquivalent]], das heißt, sie haben denselben Wahrheitswerteverlauf. Aus diesem Grund wird das Bikonditional oft nicht als selbstständiger Junktor eingeführt, sondern durch folgende Definition auf Konjunktion und Konditional zurückgeführt:

:<math>\varphi \leftrightarrow \psi := (\varphi \rightarrow \psi) \land (\psi \rightarrow \varphi)</math>

Dabei sei „:=“ das metasprachliche Zeichen für „sei definiert als“ und seien <math>\varphi</math> und <math>\psi</math> metasprachliche Satzvariablen, also Platzhalter, die für beliebige Sätze der logischen Objektsprache stehen dürfen. Als konkretes Beispiel würde der Ausdruck <math>P \leftrightarrow (Q \land R)</math> gemäß dieser Definition aufgelöst zu <math>(P \rightarrow (Q \land R)) \land ((Q \land R) \rightarrow P)</math>.

Obige Äquivalenz und obige Definierbarkeit zeigen insbesondere, dass das Bikonditional eine [[Notwendige und hinreichende Bedingung|hinreichende und notwendige Bedingung]] ausdrückt: <math>A \rightarrow B</math> sagt aus, dass A eine hinreichende Bedingung für B und dass B eine notwendige Bedingung für A ist; und <math>B \rightarrow A</math> sagt aus, dass B eine hinreichende Bedingung für A und dass A eine notwendige Bedingung für B ist.
{{Siehe auch|XNOR-Gatter}}

== Beispiele ==
* <math>(A \land (B \land C)) \leftrightarrow (A \land C) \land (B \land C)</math> ist ein Bikonditional, das immer wahr ist. Es ist also eine [[Tautologie (Logik)|Tautologie]].
* <math>A \leftrightarrow \neg A</math> ist ein Bikonditional, das niemals wahr ist.
* <math>(A \land B) \leftrightarrow C</math> ist ein Bikonditional, das wahr oder falsch sein kann, je nachdem, wie es um die Wahrheit der Teilaussagen A, B, C steht.
* „Der Mond ist genau dann eine Lichtquelle, wenn Isaak Newton ein Deutscher war“ ist ein wahres Bikonditional, ebenso: „Der Mars ist genau dann ein Planet, wenn die Ozeane Salz enthalten.“<ref>beide Beispiele entnommen aus Wesley C. Salmon: ''Logik.'' Reclam, Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9, Seite 81.</ref> Dieses Beispiel zeigt, dass die [[Paradoxien der materialen Implikation]] analog beim Bikonditional auftreten: Es kann wahr sein, ohne dass irgendein inhaltlicher Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen besteht.

== Zweideutigkeit für mehrere Argumente ==
Werden mehr als zwei Argumente durch <math>~~\leftrightarrow~~</math> verbunden, ist nicht eindeutig, wie die Formel gemeint ist:

<math>~x_1 \leftrightarrow x_2 \leftrightarrow x_3 \leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_n</math> kann die Abkürzung für <math>~(((x_1 \leftrightarrow x_2) \leftrightarrow x_3) \leftrightarrow \dotsb) \leftrightarrow x_n</math> sein,

oder dafür, dass alle <math>~x_i~</math> entweder zusammen wahr oder zusammen falsch sind: <math>(~x_1 \land \dotsb \land x_n~)~\oplus~(\neg x_1 \land \dotsb \land \neg x_n)</math>

Das ist nur für zwei Argumente das Gleiche. Die beiden Wahrheitstafeln zeigen nur in Zeilen mit zwei Argumenten das gleiche Bitmuster:
<div style="float:left; margin-right:1em;">
[[Datei:Variadic logical XAND.svg|mini|links|hochkant=1.5|<math>~x_1 \leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_n</math> im Sinne von <math>\neg~(\neg x_1 \oplus \dotsb \oplus \neg x_n)</math> Das mittlere Venn-Diagramm unten und Zeile ''(ABC  )'' in dieser Matrix stehen für die gleiche Operation.]]
</div>
<div style="float:left;">
[[Datei:Variadic logical all xor nothing.svg|mini|hochkant=1.5|<math>~x_1 \leftrightarrow \dotsb \leftrightarrow x_n</math> als Abkürzung für <math>(~x_1 \land \dotsb \land x_n~)</math> <math>\oplus~(\neg x_1 \land \dotsb \land \neg x_n)</math> Das rechte Venn-Diagramm unten und Linie ''(ABC  )'' in dieser Matrix stehen für die gleiche Operation.]]
</div>
{{Absatz}}
Das linke Venn-Diagramm unten und die Zeilen ''(AB    )'' in diesen Matrizen stehen für die gleiche Operation.

== Venn-Diagramme ==
Rote Flächen stehen für die [[Wahrheitswert|Wahrheit]] (wie beispielsweise in [[Datei:Venn0001.svg|40px]] für ''[[Konjunktion (Logik)|und]]'').

{| border="0"
| style="vertical-align:top;"|
{| class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" align="left"
|-
| [[Datei:Venn1001.svg|rahmenlos|zentriert]]
|-
| Das Bikonditional zweier Aussagen ist die Negation des [[Kontravalenz|exklusiven Oder]]:
|- style="text-align:center;"
| <math>~A \leftrightarrow B~~\Leftrightarrow~~\neg(A \oplus B)</math>

[[Datei:Venn1001.svg|40px]] <math>\Leftrightarrow \neg</math> [[Datei:Venn0110.svg|40px]]
|}
| style="width: 100px"|
| style="vertical-align:top;"|
{| class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" align="center"
|-
| [[Datei:Venn 0110 1001.svg|rahmenlos|zentriert]]
|-
| Bikonditional dreier Aussagen und [[Kontravalenz|exklusives Oder]] dreier Aussagen haben das gleiche Resultat: 
<math>~A \leftrightarrow B \leftrightarrow C~~\Leftrightarrow</math> 
<math>~A \oplus B \oplus C</math> 
[[Datei:Venn 1001 1001.svg|40px]] <math>\leftrightarrow</math> [[Datei:Venn 0000 1111.svg|40px]]
<math>~~\Leftrightarrow~~</math>

[[Datei:Venn 0110 0110.svg|40px]] <math>\oplus</math> [[Datei:Venn 0000 1111.svg|40px]]
<math>~~\Leftrightarrow~~</math> [[Datei:Venn 0110 1001.svg|40px]]
|}
| style="width: 100px"|
| style="vertical-align:top;"|
{| class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" align="right"
|-
| [[Datei:Venn 1000 0001.svg|rahmenlos|zentriert]]
|-
| Allerdings kann <math>~A \leftrightarrow B \leftrightarrow C</math> auch als Abkürzung für <math>(A \leftrightarrow B) \land (B \leftrightarrow C)</math> gemeint sein: 

[[Datei:Venn 1001 1001.svg|40px]] <math>\land</math> [[Datei:Venn 1100 0011.svg|40px]]
<math>~~\Leftrightarrow~~</math> [[Datei:Venn 1000 0001.svg|40px]]
|}
|}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Aussagenlogik]]

Bikonditional - Versionsgeschichte

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