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[[Datei:BendingCane.png|mini|Kreisförmige Biegung eines [[Stab (Statik)|Stabes]] infolge des über die gesamte Länge konstanten Biegemomentes<ref name="Reine Biegung"/>]]

Als '''Biegemoment''' <math>M</math> wird ein [[Moment (Technische Mechanik)|Moment]] bezeichnet, das ein schlankes ([[Stab (Statik)|Stab]], [[Balken]], [[Welle (Mechanik)|Welle]] o. ä.) oder dünnes Bauteil ([[Platte (Technische Mechanik)|Platte]] o. ä.) [[Biegung (Mechanik)|biegen]] kann.

Es tritt nicht nur, wie im Bild von den Händen ausgeübt, an den Enden des Bauteils, sondern als [[Schnittreaktion]] auch zwischen den Krafteinleitungsstellen auf. Diese Schnittlast bildet eine grundlegende Größe für die [[Auslegung (Technik)|Auslegung]] von schlanken Bauteilen unter Momentenbelastung.<ref name="Hauger2" details="83"/>

== Biegemoment in der Balkentheorie ==
[[Datei:KragbalkenA.png|mini|[[Kragbalken]]: Zug- und Druckspannung in einem Querschnitt nahe der Einspannstelle (zur Veranschaulichung ausein.geschnitten) bei Belastung durch ein Biegemoment (erzeugt durch Kraft '''F''' am freien Ende)]]

Das Verhalten eines schlanken Bauteils bzw. eines Balkens unter [[Belastung (Physik)|Belastung]] ist Gegenstand der [[Balkentheorie]]. Insbesondere wird mithilfe der [[Festigkeitslehre]] und der [[Elastizität (Physik)#Anwendungen|Elastizitätslehre]] sein Verhalten unter einem ihn belastenden Biegemoment untersucht. Anstatt von der Balkentheorie wird deshalb oft, bzw. im engeren Sinne von der ''Biegetheorie des Balkens'' gesprochen.

Das Biegemoment wird beim [[Statische Bestimmtheit|statisch bestimmten]] Balken aus den [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsbedingungen]] hergeleitet.
Unter den Annahmen,<ref name="Hauger2" details="43"/> dass
# alle Punkte eines Querschnitts dieselbe Verschiebung erfahren und die Balkenhöhe unverändert bleibt,
# Querschnitte, die vor der Deformation eben waren, auch danach eben sind, und dass
# Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse stehen

(die letzten beiden sind die [[Bernoullische Annahmen|Bernoullischen Annahmen]]<ref name="Hauger2" details="109"/>) können die [[Biegespannung]]en im Balkeninneren und die elastische Verbiegung (z. B. [[Durchbiegung]]) des Balkens berechnet und mit zulässigen Werten verglichen werden. [[Charles Augustin de Coulomb|Coulomb]] war der erste, der im Rahmen der von ihm 1773 vollendeten Balkentheorie die Biegespannungen zutreffend quantifizierte.<ref name="Kurrer"/> Die Biegespannungen sollen kleiner als die für elastische Verformung zulässigen [[Werkstoff|Materialwerte]] sein ([[Festigkeitsnachweis]] gegen plastische Verformung oder Bruch). Gelegentlich liegt eine zusätzliche Anforderung in Form einer zulässigen maximalen Verbiegung vor, die vom errechneten Wert nicht überschritten werden darf.

Die in einem [[Querschnitt (Mechanik)|Querschnitt]] des Balkens aufsummierte [[Biegespannung]] ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft sie von maximaler [[Druckspannung|Druck-]] am inneren Rand (konkave Biegung) über null in der neutralen Zone zu maximaler [[Zugspannung]] am äußeren Rand (konvexe Biegung). Der Festigkeitsnachweis wird i. d. R. mit der maximalen Zugspannung durchgeführt (die von einem Material ertragbare Druckspannung ist i. d. R. größer und damit unkritisch.)

Die Verbiegung des Balkens wird durch seine [[Krümmung]] repräsentiert, die an jeder Stelle im Balken proportional zum dort wirkenden Biegemoment ist, wobei der [[Proportionalitätsfaktor]] die [[Biegesteifigkeit]] des Balkens ist.<ref name="Hauger2" details="104"/> Die aus der über die Balkenlänge veränderliche Krümmung ermittelte [[Biegelinie]] erlaubt eine Aussage über die Einhaltung oder Überschreitung einer zulässigen Durchbiegung.

== Beispiele für Biegemoment-Verlauf am Balken ==

[[Datei:Beam Cantilevered Load end.png|mini|Eingespannter Balken ([[Kragbalken]]) mit einer Kraft P am freien Ende]]

=== Kragbalken, Einzelkraft am freien Ende ===
Ein einseitig [[Einspannung|eingespannter]] Kragbalken wird am freien Ende im Abstand <math>L</math> durch eine Kraft <math>P</math> belastet (siehe nebenstehende Abbildung). Der Biegemoment-Verlauf ist
: <math>M(x) = P\cdot (L - x)</math>.
An der Einleitungsstelle (<math>x=L</math>) der Kraft ist es null. Bis zur Einspannstelle (<math>x=0</math>) steigt es linear auf seinen maximalen Wert <math>M = P \cdot L</math>.

=== An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen ===
[[Datei:Biegemoment Balken Mittenlast.svg|mini|Biegemomentverlauf M(x) über Balken auf zwei Lagern, Einzelkraft F: max. Biegem. an der Stelle von F (z. B. bei l/2)]]

Zur Berechnung der inneren Momente wird das Bauteil an der interessierenden Stelle <math>x</math> gedanklich [[Freischneiden|durchgeschnitten]], und es werden diejenigen Momente betrachtet, die an einem Teilstück an seiner [[Schnittreaktion|Schnittstelle]] wirken. Das Biegemoment an einer Stelle <math>x</math> ist damit die Summe aller Drehmomente, die von Kräften auf ''einer'' Seite der Schnittstelle <math>x</math> verursacht werden.<ref name="Boege" />

Im an seinen Enden gelagerten Balken mit Einzellast (siehe nebenstehende Abbildung) unterliegt das linke Teilstück einem rechtsdrehenden Drehmoment (in der technischen Mechanik kurz ''Moment'' genannt), welches mit Hilfe der [[Auflagerkraft|Auflagekraft]] FL am linken [[Lager (Statik)|Lager]] beschreibbar ist. Das Moment wächst von null am Auflager [[Linearität (Physik)|linear]] bis zum Maximalwert an der Stelle der Last F. Rechts davon kommt aus der Last F ein vom Wert null bis zum gleichen Maximalwert am rechten Auflager linear ansteigendes, linksdrehendes Moment hinzu, so dass die Momenten-Summe vom Maximalwert an der Last-Stelle bis null am rechten Ende linear abnimmt.<ref name="Rechts nach links"/>

:<math>
M(x)=\begin{cases}
\frac{F}{2} \cdot x & \text{(links der Mitte) }x < \frac{l}{2} \\
\frac{F}{2} \cdot (l-x) & \text{(rechts der Mitte) }x > \frac{l}{2}
\end{cases}
</math>
Im Sonderfall der mittigen Last tritt bei <math>x = l/2</math> das maximale Biegemoment

: <math>M_\mathrm{max} = \frac{F \cdot l} 4</math>

auf.

== Berechnung des Biegemoments ==
Die Berechnung des Biegemoments ist besonders einfach, wenn das Bauteil, wie in den Beispielen oben, [[Statische Bestimmtheit|statisch bestimmt]] gelagert ist, sodass die Schnittreaktionen aus den [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsbedingungen]] ableitbar sind. Unter der Voraussetzung, dass nur [[Geometrische Linearisierung|kleine Verformungen]] auftreten, kann ihr Einfluss auf die [[Hebelarm]]e vernachlässigt werden. Bei statisch unbestimmten Problemen oder großen Verformungen müssen alle Gleichungen ([[Mechanisches Gleichgewicht]], [[Kinematik]], [[Elastizitätsgesetz]]) gleichzeitig gelöst werden,<ref name="Hauger2" details="14f"/> beispielsweise mit der [[Finite-Elemente-Methode]].

An dieser Stelle wird statische Bestimmtheit bei kleinen Verformungen vorausgesetzt, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen. Die [[Ableitungsfunktion]] des Biegemoments nach der x-Koordinate in Richtung der Balkenachse liefert den Querkraftverlauf Q:<ref name="Hauger1" details="184"/>

:<math>\frac{\operatorname{d}M}{\operatorname{d}x}=Q</math>

und die zweite Ableitung liefert die [[Streckenlast]] q:

:<math>\frac{\operatorname{d}^2M}{\operatorname{d}x^2}=-q</math>

Umgekehrt ergibt sich der Biegemomentenverlauf aus der [[Integralrechnung#Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Integration]] der verteilten Last und der Querkraft.<ref name="Hauger1" details="185"/> An Stellen, wo
* abrupte Änderungen der verteilten Last (beispielsweise an den Enden ihrer Einwirkung),
* Querkräfte, insbesondere Lagerreaktionen,
* Einzelmomente oder
* Knicke
im Balken auftreten, weist der Momentenverlauf Knicke oder Sprünge auf, vgl. [[#An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen]]. An diesen Stellen ist das Biegemoment nicht [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] und die Streckenlast bzw. Querkraft nicht [[Integralrechnung#Axiomatischer Zugang|integrierbar]].

Um obige Formeln trotzdem anwenden zu können, wird der Balken mittels des [[Schnittprinzip]]s in Stücke zerlegt, in denen keine abrupten Änderungen stattfinden. In diesen Stücken wird das Biegemoment berechnet und mit Hilfe der [[Randbedingung|Übergangsbedingungen]] an den Rändern zum kompletten Verlauf zusammengesetzt.

Die bereichsweise Integration ist schon bei zwei Feldern mit einigem Aufwand verbunden. Die Arbeit lässt sich jedoch mit der [[Föppl-Klammer]] <math>\langle\dots\rangle</math> ({{enS|Macauley Brackets}}) vereinfachen. Mit ihrer Hilfe können Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke einfach beschrieben werden.<ref name="Hauger1" details="196"/> Im [[#An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen|Beispiel oben]] schreibt sich der Querkraftverlauf damit

:<math>Q(x)=-\frac F2+F<x-l/2>^0</math>

und der Momentenverlauf

:<math>M(x)=-\frac F2\cdot x+F<x-l/2>^1</math>

An den Stellen <math>x=0</math> und <math>x=l</math> kann <math>M=0</math> bestätigt werden.

== Biegemoment und Biegelinie ==
[[Datei:SimpSuppBeamPointLoad.svg|mini|Verlauf eines Biegemoments an einem Balken mit mittiger Kraft F, hier als [[Punktlast]] P dargestellt, mit dem maximalen Biegemoment M bei l/2 einschließlich des Querkraftverlaufs Q und der Biegeline w]]
{{Hauptartikel|Biegelinie}}

Die durch die Biegemoment-Belastung entstehende [[Elastizität (Physik)|elastische]] Verformung wird mit der Biegelinie <math>w(x)</math> beschrieben. Für einen Stab konstanten Querschnitts gilt für deren zweite [[Ableitungsfunktion|Ableitung]]:<ref name="Hauger2" details="110"/>

:<math>w''(x) = -\frac{M_y(x)}{E \cdot I_y}</math>

mit
* der Variablen ''x'' in Balkenrichtung,
* dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math> (eine [[Materialeigenschaft]])
* dem [[Flächenträgheitsmoment#Axiales Flächenträgheitsmoment|axialen Flächenträgheitsmoment]] <math>I_y = konstant</math> (eine geometrische Größe des konstanten Balken-Querschnitts. Der Index ''y'' zeigt an, dass die Biegung um zur x-Achse senkrechten y-Achse erfolgt)
Das Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment ergibt die [[Biegesteifigkeit]], die in obiger Formel im Nenner des Bruchs steht.

Die [[Krümmung#Krümmung einer Kurve|Krümmung der Balkenachse]] ist durch

:<math>\kappa=\frac{w''}{(1+{w'}^2)^{3/2}}</math>

gegeben.<ref name="Hauger2" details="110"/> Bei kleinen Verformungen kann <math>{w'}^2</math> gegenüber der eins im Nenner vernachlässigt werden, sodass <math>\kappa=w''</math> wird. Die Krümmung ist damit [[Proportionalität|proportional]] zum Biegemoment <math>M_y</math>, was z. B. in der nebenstehend abgebildeten Biegelinie <math>w(x)</math> erkennbar ist: Das Biegemoment M und die Krümmung sind in der Balkenmitte maximal und an den Enden minimal.

Die Auslenkung <math>w(x)</math> der Biegelinie wird durch zweimaliges Integrieren des Krümmungsverlaufs <math>w''(x)</math> ermittelt, was bei vorhandenen Unstetigkeitsstellen durch die [[Föppl-Klammer]] erleichtert wird.

== Biegemoment und Biegespannung ==
{{Hauptartikel|Biegespannung}}

Die für den Festigkeitsnachweis zu ermittelnden Biegespannungen <math>\sigma_x(x,z)</math> in einem Balkenquerschnitt sind dem dort wirkenden Biegemoment <math>M_y(x)</math>, wie in folgender Näherungs-Gleichung für einen Balken mit konstantem Querschnitt angegeben ist, proportional:
: <math>\sigma(x,z) = \frac{M_y(x)}{I_y}\cdot z</math>     (Variable <math>x</math> in Balkenrichtung, Variable <math>z</math> in Richtung Balkenhöhe).

Die Proportionalität mit dem Abstand <math>z</math> von der neutralen Balkenschicht zeigt an, dass die Biegespannung in den Randschichten am größten ist. Die dort herrschende Biegespannung ist:
: <math>\sigma_\mathrm{max}(x)\,= \frac{M_y(x)}{W_y}</math>   mit     <math>W_y= \frac{I_y}{z_\text{Rand}}</math>   ([[Widerstandsmoment]] im Balkenquerschnitt gegen Biegung um die y-Achse).

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Hauger1">
{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)| J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 1
| TitelErg=Statik
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Heidelberg
| Jahr=2011
| ISBN=978-3-642-13805-8
| DOI=10.1007/978-3-642-13806-5
}}</ref>
<ref name="Hauger2">
{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)| J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 2
| TitelErg=Elastostatik
| Band=Band 2
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Heidelberg
| Jahr=2014
| Online=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-40966-0_6 Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik]
| ISBN=978-3-642-40965-3
| DOI=10.1007/978-3-642-40966-0_6
}}</ref>
<ref name="Boege">
{{Literatur
|Hrsg=Alfred Böge
|Titel=Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik
|Auflage=20
|Verlag=Springer DE
|Datum=2011
|Online=
{{Google Buch |BuchID=sz1gGSFvZDIC |Seite=SL4-PA21 |Hervorhebung="innere Biegemoment"}}}}
</ref>
<ref name="Kurrer">
{{Literatur
| Autor=[[Karl-Eugen Kurrer]]
| Titel=The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium
| Verlag=Ernst & Sohn
| Ort=Berlin
| ISBN=978-3-433-03229-9
| Seiten=405 ff.
}}</ref>
<ref name="Reine Biegung">Sogenannte „reine Biegung“ (siehe [https://www.maschinenbau-wissen.de/skript3/mechanik/balken-biegung/214-biegung-arten hier]), die selten vorkommt. Meistens liegt „Querkraft-Biegung“ vor: quer auf den Balken wirkt eine mit einer Teillänge des Balkens als Hebelarm multiplizierte Kraft.
</ref>
<ref name="Rechts nach links">
Die von rechts nach links führende Betrachtung führt mit Hilfe der rechten Auflagerkraft FR über ein linksdrehendes Moment zum gleichen Ergebnis.
</ref>
</references>

[[Kategorie:Statik]]
[[Kategorie:Beanspruchungsart]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

Biegemoment - Versionsgeschichte

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