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2025-02-12T20:23:54Z

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Eine '''Biegelinie''' (auch '''Biegungslinie''', '''Durchbiegungslinie''', '''elastische Linie''') ist eine mathematisch einfach beschreibbare [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] für die [[Verformung]] eines geraden [[Balken (Bauteil)|Balkens]] bei mechanischer
[[Belastung (Physik)|Belastung]].<ref>[[Otto Lueger]]: ''Lexikon der gesamten Technik''. 1904</ref>

Sie wurde 1744 von [[Leonhard Euler|Euler]] mathematisch beschrieben und später von [[Johann Albert Eytelwein|Eytelwein]] (1808) und [[Claude Louis Marie Henri Navier|Navier]] (1826) vereinfacht.<ref>[[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. Berlin: [[Ernst & Sohn]], S. 426ff, ISBN 978-3-433-03229-9</ref>

[[Datei:SimpSuppBeamPointLoad.svg|mini|192px|Bild 4: Verlauf des Biegemoments an einem Balken (anthrazit) mit mittiger Kraft ''F'', hier dargestellt als [[Punktlast]] ''P'', mit dem maximalen Biegemoment ''M'' (pink) bei l/2, einschließlich des Querkraftverlaufs ''Q'' (orange) und der Biegeline w (dunkelblau)]]
Die [[Gleichung]] der '''Biegelinie''' ist ein Teil der [[Balkentheorie]].<ref>[[Heinz Parkus]]: ''Mechanik der festen Körper''. Springer-Verlag, Wien 1966, ISBN 3-211-80777-2</ref> Sie wird verwendet, um die [[Durchbiegung]] von Balken im Bereich des [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastischen Materialverhaltens]] zu bestimmen. Dabei wird die [[Theorie I. Ordnung]] zugrunde gelegt, d. h. man nimmt die [[Biegung (Mechanik)|biege]]<nowiki/>bedingten Verformungen als so klein an, dass sie bei der Aufstellung der Gleichung vernachlässigt werden können.

Für den Bereich des nichtlinear-elastischen Materialverhaltens sind Abänderungen erforderlich (vgl. [[Nichtlineare Stabstatik]]).

== Zusammenhang mit der Balkenkrümmung ==
Der Zusammenhang zwischen Balkenkrümmung und Biegelinie ist mit einer [[Differentialgleichung]] darstellbar.

Die [[Krümmung #Krümmung einer Kurve|Krümmung]] <math>\kappa(x)</math> in einem elastischen geraden Balken ist dem [[Biegemoment]] <math>M_y</math> ([[Schnittreaktion|Schnittmoment]]) an der Stelle <math>x</math> proportional. Unter Einbeziehung des [[Hookesches Gesetz|Hooke’schen Stoffgesetzes]] erhält man

:<math>\kappa = \frac 1 r = \frac{M_y}{EI_y}</math>.<ref name="pichler2017Baustatik">{{Literatur |Autor=Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner |Hrsg=E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen – Fakultät Bauingenieurwesen, TU Wien |Titel=Baustatik VO – LVA-Nr 202.065 |Auflage=SS 2017 |Verlag=TU Verlag |Ort=Wien |Datum=2017 |ISBN=978-3-903024-41-0 |Kapitel=10. Lösen der linearen Differentialgleichungen in der linearen Stabtheorie |JahrEA=2012 |Online=http://shop.tuverlag.at/de/baustatik-vo1?info=163 |Umfang=516 }} {{Webarchiv|url=http://shop.tuverlag.at/de/baustatik-vo1?info=163 |wayback=20170717152105 |text=Baustatik VO – LVA-Nr 202.065 |archiv-bot=2019-08-27 05:30:55 InternetArchiveBot }}</ref><ref>[[Herbert Mang]], Günter Hofstetter: ''Festigkeitslehre.'' 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, Seite 228</ref>

Darin sind
* <math>r</math> der [[Krümmungsradius]] an der Stelle <math>x</math>
* <math>E</math> der [[Elastizitätsmodul]] des Balkenmaterials
* <math>I_y</math> das [[Flächenträgheitsmoment #Axiales Flächenträgheitsmoment 2|axiale Flächenträgheitsmoment]] des Balkenquerschnitts.

Mit der rein geometrischen Definition einer Kurvenkrümmung folgt daraus die Differentialgleichung der Balkendurchbiegung <math>w(x)</math>:

:<math>{\frac{w''(x)} {({1 + (w'(x))^2})^{3/2}}} = -\frac{M_y(x)}{EI_y}</math>.<ref>[[Herbert Mang]], Günter Hofstetter: ''Festigkeitslehre.'' 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, Seite 176</ref>

Die Striche bezeichnen die [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach der Balkenlängskoordinate <math>x</math>.

In den meisten praktischen Fällen ist die Durchbiegung <math>w</math> so klein, dass <math>(w')^2 \ll 1</math> bleibt. Dann genügt zur Bestimmung der Biegelinie <math>w(x)</math> die genäherte Differentialgleichung:

:<math>w''(x) \approx -\frac{M_y(x)}{EI_y}</math><ref name="pichler2017Baustatik" />

== Differentialbeziehungen ==

In der Balkentheorie gibt es unter den [[Bernoullische Annahmen|Bernoullischen Annahmen]] folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:
* <math> \frac{\mathrm{d}R(x)}{\mathrm{d}x} = -q(x)</math><ref name="pichler2013baustatik2">{{Literatur |Autor=Bernhard Pichler |Titel=202.068 Baustatik 2 |Auflage=WS2013 |Ort=Wien |Datum=2013 |Kapitel=''VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen'' |Online=[https://tuwel.tuwien.ac.at/course/view.php?id=5027 Onlineplattform der TU Wien]}}</ref>
* <math> \frac{\mathrm{d}M(x)}{\mathrm{d}x} = R(x)-N^{II}(x)\cdot\left[\frac{\mathrm dw_v}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dw}{\mathrm dx}\right]+m(x)</math><ref name="pichler2013baustatik2" />
* <math> \frac{\mathrm{d}\varphi(x)}{\mathrm{d}x} = -\left[\frac{M(x)}{E \cdot I(x)}+\kappa^e(x)\right]</math><ref name="pichler2013baustatik2" /><ref name="pichler2016baustatik">{{Literatur |Autor=Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner |Titel=Baustatik VO – LVA-Nr 202.065 |Auflage=SS2016 |Verlag=TU Verlag |Ort=Wien |Datum=2016 |ISBN=978-3-903024-17-5 |Kapitel=''Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke'' |Umfang=520 }}</ref>
* <math> \frac{\mathrm{d}w(x)}{\mathrm{d}x} = \varphi(x) + \frac{V(x)}{G\tilde A(x)}</math>
mit
* der Laufkoordinate <math>x</math> entlang der Balkenachse
* dem Elastizitätsmodul <math>E</math>
* dem [[Schubmodul]] <math>G</math> (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
* dem [[Flächenträgheitsmoment]] I(x)
* <math>R(x)</math> der Transversalkraft (in der [[Theorie I. Ordnung]] gilt <math>R(x)=V(x)</math>)
* <math>V(x)</math> der [[Querkraft]]
* <math>N^{II}(x)</math> die [[Normalkraft]] nach Theorie [[Theorie II. Ordnung]] (in der [[Theorie I. Ordnung]] tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
* <math>q(x)</math> der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* <math>M(x)</math> dem [[Biegemoment]]
* <math>m(x)</math> dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit<ref name="pichler2016baustatik" />)
* <math>\varphi(x)</math> der Verdrehung
* <math>\kappa^e(x)</math> der eingeprägten Krümmung
* <math>w(x)</math> der Durchbiegung zufolge Belastung
* <math>w_v(x)</math> der Durchbiegung zufolge Vorverformung
* <math>\tilde A(x)=\kappa \cdot A</math> der [[Schubfläche]] (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).
Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung <math>w</math> und dem Biegemoment <math>M_y(x)</math> im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den [[Schnittreaktion|Schnittlasten]] im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren [[Flächenlast]] <math>q_z(x)</math> gegeben ist (Die Koordinate <math>x</math> wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse <math>y</math>, die Koordinate <math>z</math> verläuft in Richtung der Querkraft.):

:<math>\begin{alignat}{2}
&EI_y \, w''(x) \approx EI_y \, \kappa(x) &&= -M_y(x)\\
(&EI_y \, w''(x))' &&= -Q_z(x)\\
(&EI_y \, w''(x))'' &&= q_z(x)
\end{alignat}</math>

Die letzte Gleichung vierter Ordnung heißt auch Euler-Bernoulli-Gleichung.

Damit die Durchbiegung berechnet werden kann, muss der Elastizitätsmodul des Materials bekannt sein. Ferner muss vorab das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts ermittelt und der Verlauf der äußeren [[Streckenlast]] <math>q_z(x)</math> oder der Verlauf von Biegemoment oder Querkraft bestimmt werden. Die Gleichung kann dann mehrmals integriert werden, bis auf der einen Seite die Durchbiegung steht. Hierbei ergeben sich mehrere [[Integrationskonstante]]n, die durch eine entsprechende Anzahl von [[Randbedingung]]en bestimmbar sind.

Die folgende Zusammenstellung zeigt das Vorgehen, wenn vorab der Verlauf des Biegemoments ermittelt wurde und der Elastizitätsmodul und das Flächenträgheitsmoment über die Länge des Balkens konstant sind:

:<math> EI_y \, w''(x) = - M_y(x)</math> ,
:<math> EI_y \, w'(x) = -\int M_y(x) \mathrm \, dx + C_1</math> ,
:<math> EI_y \, w(x) = -\int \int M_y(x) \mathrm \, dx^2 + xC_1 + C_2</math>.

Es ergeben sich die zwei unbekannten [[Mathematische Konstante|Konstanten]] <math>C_1</math> und <math>C_2</math>. Diese können nun durch zwei Randbedingungen bestimmt werden. Zum Beispiel gilt bei einem Auflager an der Stelle <math>x = a</math>, welches eine Querkraft aufnehmen kann: <math>w(a) = 0</math>. Für ein Auflager an der Stelle <math>x = b</math>, welches ein Moment aufnehmen kann, gilt: <math>w'(b) = 0</math>.

Wenn der Balken mit einer Streckenlast <math>q(x)</math> beaufschlagt ist, findet man den Biegemomentverlauf wie folgt:
:<math> EI_y \, w''''(x) = q(x)</math> ,
:<math> EI_y \, w''' (x) = \int q(x) \mathrm \, dx + C_3</math> ,
:<math> EI_y \, w'' (x) = \int \int q(x) \mathrm \, dx^2 + xC_3 + C_4 = -M_y(x)</math> ,
bestimmt die Integrationskonstanten und folgt weiter der vorherigen Zusammenstellung.

== Kreismembran ==
[[Datei:Kreismembran.png|mini|links|Halbe kreisrunde Membran]]
[[Datei:Membranelement.gif|mini|Infinitesimales Membranelement]]

Im Falle einer kreisrunden Membran werden oft auch vereinfacht die Formeln aus der Balkentheorie verwendet. Unter der Annahme einer [[Homogenität|homogenen]] Membran wird dann bei [[Symmetrie (Geometrie)|rotationssymmetrischen]] Kräften eine einfache Biegelinie berechnet. Also nur ein [[Querschnittsfläche|Querschnitt]] der Membran.

Mit dem tangentialen und radialen Biegemoment <math>M_t</math> und <math>M_r</math> und unter Vernachlässigung von Differentialen höherer Ordnung ergibt sich die Momentgleichung

:<math>M_r + \frac{\mathrm d M_r}{\mathrm dr}\cdot r - M_t + Q \cdot r = 0.</math>

Die Biegemomente lassen sich über die [[Poissonzahl]] <math>\mu</math> angeben zu:

: <math>M_r = -D \left( \frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dr^2} + \frac{\mu}{r}\frac{\mathrm dw}{\mathrm dr} \right)</math>
: <math>M_t = -D \left( \mu \frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dr^2} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm dw}{\mathrm dr} \right)</math>

<math>D</math> ist hierbei das [[Widerstandsmoment]], das sich über den Elastizitätsmodul <math>E_M</math> der Membran mit Dicke <math>d</math> wie folgt beschreiben lässt:

: <math>D = \frac{E_M\cdot d^3}{12\cdot (1 - \mu^2)}</math>

Die Biegelinie einer Kreismembran lautet dann in [[Differentialform]], unter Vernachlässigung von kleinen Termen höherer Ordnung sowie von Zugspannungen (nur zulässig für geringe Dehnungen):

: <math>\frac{\mathrm d^3w}{\mathrm dr^3} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dr^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm dw}{\mathrm dr} = \frac{Q}{D}</math>

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Physik des Schlagens/ Biegung des Rohrstocks}}
* {{cite web |archive-url=https://web.archive.org/web/20151201112356/http://mb-s1.upb.de/E-MechLAB/TechnischeMechanik/Festigkeitslehre/Biegelinie/ |url=http://mb-s1.upb.de/E-MechLAB/TechnischeMechanik/Festigkeitslehre/Biegelinie/ |title=Die Biegelinie |accessdate=2019-06-05}}
* [https://web.archive.org/web/20160124043310/http://www.soedernet.de/math/1samstage/05/biegelinie.pdf Zur Biegelinie] (PDF; 116 kB)

== Belege==
<references />

[[Kategorie:Verformung]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

[[en:Euler–Bernoulli beam theory#Static beam equation]]

Biegelinie - Versionsgeschichte

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