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2025-03-29T13:49:29Z

Änderung 254597162 von Okoska-törp rückgängig gemacht; Multiplikation ist kein sinnvoller Link

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{| class="wikitable float-right"
|-
!style="background:#abcdef"| Bialgebra
|-
|style="background:#fedcba"|
berührt die Spezialgebiete
|-
|style="background:#abcdef"|
* [[Mathematik]]
** [[Abstrakte Algebra]]
** [[Lineare Algebra]]
** [[Kommutative Algebra]]
|-
|style="background:#fedcba"|
ist Spezialfall von
|-
|style="background:#abcdef"|

* [[Algebra (Struktur)|Algebra]]
* [[Koalgebra]]
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|style="background:#fedcba"|
umfasst als Spezialfälle
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|style="background:#abcdef"|
* [[Hopf-Algebra]]
|}

Eine '''Bialgebra''' hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen [[Algebra (Struktur)|Algebra]] als auch die dazu duale Struktur einer [[Koalgebra]]. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind [[Hopf-Algebra|Hopf-Algebren]], zu denen auch die [[Quantengruppe|Quantengruppen]] gehören.

== Definition ==
Sei <math>k</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] und <math>B</math> sowohl unitäre assoziative [[Algebra (Struktur)|Algebra]] über <math>k</math> als auch [[Koalgebra]] über <math>k</math>. Dabei bezeichne <math>\mu_B</math> die Multiplikation, <math>\eta_B</math> die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), <math>\Delta_B</math> die Komultiplikation und <math>\epsilon_B</math> die Koeins.

<math>B</math> heißt ''Bialgebra'' über <math>k</math> wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.
* Die Komultiplikation <math>\Delta_B</math> und die Koeins <math>\epsilon_B</math> sind [[Algebrenhomomorphismus|Algebrahomomorphismen]].
* Die Multiplikation <math>\mu_B</math> und die Eins <math>\eta_B</math> sind [[Koalgebrenhomomorphismus|Koalgebrahomomorphismen]].
* Die folgenden [[Kommutatives Diagramm|Diagramme]] kommutieren

{| cellspacing="50" style="clear:both;"
|[[Datei:Bialgebra-eta-Delta.svg|zentriert]]
|[[Datei:Bialgebra-mu-Delta.svg|zentriert]]
|-
|[[Datei:Bialgebra-eta-epsilon.svg|zentriert]]
|[[Datei:Bialgebra-mu-epsilon.svg|zentriert]]
|}

Dabei ist <math>\tau_{B,B}:=v\otimes w\mapsto w\otimes v</math> die „Flip“-Abbildung, also der kanonische [[Isomorphismus]] der [[Tensorprodukte]] <math>V\otimes W</math> und <math>W\otimes V</math> angewandt auf <math>B\otimes B</math>.

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]].

== Verallgemeinerung ==
Algebren und Koalgebren können in beliebigen [[Monoidale Kategorie|monoidalen Kategorien]] betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko-)Algebra auf [[natürliche Transformation|natürliche]] Weise wieder eine (Ko-)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer [[Zopfung]].

== Literatur ==

* Christian Kassel: ''Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics)''. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Bialgebra - Versionsgeschichte

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