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[[Datei:Bevan punkt.svg|miniatur|hochkant=1.0|Bevan-Punkt M im Dreieck ABC]]
[[Datei:Bevan2 punkt.svg|mini|hochkant=1.25|Bevan-Punkt M, Bevan-Kreis k<sub>M</sub>, Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt G, Umkreismittelpunkt O, Inkreismittelpunkt I, Euler-Gerade e, Umkreis k<sub>O</sub>]]
Der '''Bevan-Punkt''' gehört zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] eines [[Dreieck]]s. Er ist definiert als Mittelpunkt des [[Kreis]]es, der durch die drei [[Ankreis]]mittelpunkte des gegebenen Dreiecks geht. Die Bezeichnung Bevan-Punkt bezieht sich auf ein Problem, das der englische Ingenieur [[Benjamin Bevan]] 1804 in Leybourn's ''Mathematical Repository'' (S. 18) stellte.<ref name="ETC-X40">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X40 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(40) |sprache=en |abruf=2025-01-29}}</ref> Das Problem wurde noch im gleichen Jahr<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander Bogomolny |titel=Bevan's Point and Theorem |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BevanPoint.shtml |abruf=2025-01-29 |sprache=en}}</ref> (nach anderen Angaben erst 1806<ref name="MW-X40">{{MathWorld |id=BevanPoint |title=Bevan Point}}</ref>) von John Butterworth gelöst.

== Eigenschaften ==

* Die Verbindungsstrecken des Bevan-Punktes mit den Ankreismittelpunkten sind senkrecht zu den Seiten des gegebenen Dreiecks.<ref name="Grundmann-85">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=85}}</ref>
* Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem [[Inkreis]]mittelpunkt des gegebenen Dreiecks wird durch den [[Umkreis]]mittelpunkt des Dreiecks halbiert.<ref name="Grundmann-84">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=84}}</ref>
* Der Bevan-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von [[Nagel-Punkt]] und [[Longchamps-Punkt]].<ref name="Grundmann-84" />
* Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem [[Höhenschnittpunkt]] wird durch den [[Spieker-Punkt]] halbiert.<ref name="Grundmann-84" />
* Bevan-Punkt und Inkreismittelpunkt haben den gleichen Abstand ''d'' von der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]], hierbei gilt <math>d=\sqrt{R^2-\tfrac{abc}{a+b+c}}.</math><ref name="MW-X40" />

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Bevan-Punkts (<math>B_{40}</math>) sind
:<math>(\cos\beta + \cos\gamma - \cos\alpha - 1) : (\cos\gamma + \cos\alpha - \cos\beta - 1) : (\cos\alpha + \cos\beta - \cos\gamma - 1).</math><ref name="ETC-X40" />
Dabei sind <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel des Dreiecks.

== Weblinks ==

* [https://mathworld.wolfram.com/BevanPoint.html Eric W. Weisstein. „Bevan Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource]
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BevanPoint.shtml Alexander Bogomolny. „Bevan's Point and Theorem.“]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Bevan-Punkt - Versionsgeschichte

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