~2026-23130-03: Da r dimensionslos ist, ist es verwirrend, r als "Radius" zu bezeichnen (das wäre wohl eher q).

2026-04-14T20:26:40Z

Da r dimensionslos ist, ist es verwirrend, r als "Radius" zu bezeichnen (das wäre wohl eher q).

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[[Datei:Diffraction disc calculated.png|mini|hochkant=1.3|Berechnetes Beugungsbild im [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Fernfeld]] hinter einer Kreisblende. In der Darstellung ist die Intensität [[Logarithmische Darstellung|logarithmisch]] auf die Helligkeitsskala umgesetzt. Dies kommt dem realen Eindruck durch das Auge nahe.]]
[[Datei:Airy-3d.svg|Airy-Scheibchen|mini|300px]]

'''Beugungsscheibchen''' (auch: '''Beugungsringe''') entstehen bei der [[Beugung (Physik)|Beugung]] eines [[Licht]]<nowiki></nowiki>strahls an einer [[Blende (Optik)|Blende]]. Ist die Blende kreisförmig, so beobachtet man ein zentrales [[Intensität (Physik)|Intensitäts]][[Extremwert|maximum]], umgeben von Ringen abnehmender Licht-Strahlungsintensität. Nichtkreisförmige Blenden erzeugen gleichfalls Beugungsstrukturen, die sich deutlich von einem Beugungsscheibchen unterscheiden können ([[Spike (Beugung)|Spikes]]).

In der [[Astronomie]] werden Beugungsscheibchen auch als '''Airy-Scheibchen'''<ref>{{Literatur |Autor=Susana Frech, Stefan Frech |Titel=Fachwörterbuch Astronomie |Verlag=BoD – Books on Demand |Ort=Norderstedt |Datum=2011 |ISBN=978-3-8423-1963-9 |Seiten=8 |Online={{Google Buch |BuchID=H-6LHffZidwC |Seite=8 |Hervorhebung="Airy-Scheibchen"}}}}</ref> ({{enS|Airy disc}}) bezeichnet,<ref>{{Internetquelle |url=http://www.enzyklo.de/Begriff/Airy-Scheibchen |titel=Airy-Scheibchen |hrsg=enzyklo.de |abruf=2014-04-15}}</ref> benannt nach dem englischen Astronomen [[George Biddell Airy]].

Mathematisch wird die Beugung von Licht durch das [[Beugungsintegral]] beschrieben.

== Phänomenologie ==
[[Datei:Beugungsscheibchen.k.720.jpg|mini|Fotografisches Beugungsbild einer mit rotem [[Laserlicht]] beleuchteten, 90 [[Meter #Mikrometer|Mikrometer]] großen [[Lochblende]] mit 27 Beugungsordnungen]]

Selbst ein nach den Gesetzen der [[Geometrische Optik|geometrischen Optik]] perfektes Instrument, ohne [[Abbildungsfehler]], kann einen als Objekt gegebenen [[Lichtpunkt]] nicht genau auf einen Punkt abbilden, denn durch die Beugung des Lichts an der [[Aperturblende]] entsteht in der [[Bildebene (Optik)|Bildebene]] ein unscharfer Fleck.

Die Form des Flecks hängt [[Reziproker Raum|reziprok]] von der Form der Blende ab, insbesondere ist seine Größe [[umgekehrt proportional]] zur Größe der Blende. Bei einer kreisförmigen Blende, gegeben etwa durch die runde [[Fassung (Technik)|Fassung]] einer [[Linse (Optik)|Linse]], ist auch der Fleck [[rotationssymmetrisch]], mit einem zentralen Maximum und schwachen, [[konzentrisch]]en Ringen. Da die Größe dieses Musters zudem von der [[Wellenlänge]] abhängt, sind bei weißem Licht die Beugungsringe kaum zu sehen. Der zentrale Beugungsfleck wird nach dem englischen Astronomen [[George Biddell Airy]] auch Airy-Scheibchen genannt.

Versucht man benachbarte Punkte eines Objektes auseinanderzuhalten und erhöht über die [[Bildweite]] die [[Vergrößerung (Optik)|Vergrößerung]], so wächst zwar der Abstand zwischen den entsprechenden Beugungsbildern, aber auch die Beugungsbilder selber werden im gleichen Verhältnis größer. Man spricht von [[Beugungsbegrenzung]] des Winkel[[auflösungsvermögen]]s. Einfach zu berechnen sind Beugungsbilder für unendliche Bildweite. Das entspricht der [[Lochkamera]] und der [[Beugungsintegral #Fraunhofer-Näherung|Fraunhofer- bzw. Fernfeldnäherung des Beugungsintegrals]].

Aufgrund des mit der Blendenöffnung kleiner werdenden Beugungsscheibchens auf der einen Seite und des mit der Blendenöffnung größer werdenden [[Öffnungsfehler]]s auf der anderen Seite ergibt sich die größte [[Bildschärfe]] bei einer [[Optische Abbildung|optischen Abbildung]] mit der [[Kritische Blende|kritischen Blende]].

== Beugung an einer Kreisblende ==

[[Datei:Intensity.svg|mini|494px|Intensität hinter einer kreisförmigen Lochblende als Funktion von r]]

Die [[Lichtintensität]] <math>I(r)</math> folgt der Funktion

:<math>\begin{align}
I(r) &= I_0 \cdot \left( \frac{E(r)}{E_0} \right) ^2\\
&= I_0 \cdot \left( \frac{2 \, J_1(\pi r)}{\pi r} \right) ^2
\end{align}</math>

mit
* der [[Feldstärke]] <math>E(r) = E_0 \cdot \frac{2 \, J_1( \pi r)}{\pi r}</math> hinter einer mit [[monochromatisch]]em Licht bestrahlten [[Lochblende]]
** der [[Besselsche Differentialgleichung #Bessel-Funktionen erster Gattung|Besselfunktion erster Art]] <math>J_1</math>
** <math>r = \frac{k \, a \, q}{\pi R}</math>
*** der [[Kreiswellenzahl]] <math>k = \tfrac{2 \pi}{\lambda}</math>
**** der Wellenlänge <math>\lambda</math>
*** dem Radius <math>a</math> der Lochblende
*** dem Abstand <math>q</math> (in der Bildebene) zwischen dem Ort, an welchem die [[elektrische Feldstärke]] berechnet werden soll, und dem Mittelpunkt des zentralen Beugungsscheibchens
*** dem (schrägen) Abstand <math>R</math> zwischen dem Ort, an welchem die elektrische Feldstärke berechnet werden soll, und dem Mittelpunkt der Lochblende.

Die Lichtintensität geht also in regelmäßigen Abständen auf Null und enthält nach außen schwächer werdende Nebenmaxima (vgl. Diagramm und folgender Kasten).
{{Klappleiste/Anfang
|style-kopf=text-align:left;
|TITEL=Die Funktion <math>(2 J_1(\pi r)/(\pi r))^2</math>
}}
* hat für <math>r=0</math> den Funktionswert <math>1</math>,
* die Standardabweichung des ersten Beugungsscheibchens beträgt <math>0{,}3950</math>,
* hat für <math>r=0{,}5145</math> den Funktionswert <math>1/2</math> (50 % der Intensität),
* hat für <math>r=0{,}7052</math> den Funktionswert <math>1/4</math> (25 % der Intensität),
* hat bei <math>r=1{,}2197</math> die erste Nullstelle
* hat bei <math>r=1{,}6347</math> das erste Nebenmaximum mit dem Funktionswert <math>0{,}01750</math> (1,75 % der Intensität)
* hat weitere Nullstellen bei <math>2{,}2331,\ 3{,}2383,\ \ldots</math>
* hat weitere Nebenmaxima bei <math>2{,}6793,\ 3{,}6987,\ \ldots</math>
* erhält man in Excel mittels <code>(2*BESSELJ(PI()*x,1)/(PI()*x))^2</code> mit dem Argument <code>x</code>
{{Klappleiste/Ende}}

=== Exakte Formeln ===
Die Größe der zentralen Beugungsscheibe ergibt sich aus der ersten [[Nullstelle]] der Funktion <math>\frac{E(r)}{E_0} = \frac{2 \, J_1(\pi r)}{\pi r}</math>, die bei <math>r = 1{,}2196\ldots</math> liegt.

[[Datei:Sonne.Beugungsbild.jpg|mini|Beugungsbild einer mit weißem [[Sonnenlicht]] bestrahlten kreisförmigen Lochblende - je kürzer die Wellenlänge <math>\lambda</math>, desto geringer werden die entsprechenden Farbanteile gebeugt.]]

==== Winkelauflösung ====
Der Winkel <math>\theta</math> zwischen der [[optische Achse|optischen Achse]] und dem Rand des zentralen Beugungsscheibchens ergibt sich aus o. g. Winkelradius <math>r</math> zu:

:<math>\sin\,\theta \approx 1{,}22\ \cdot \frac {\lambda}{D}</math>

und für <math>\sin \theta = \theta + \mathcal{O}(\theta^3)</math> mit <math>\theta\ll 1</math> ([[Kleinwinkelnäherung]]):

:<math>\theta \approx 1{,}22 \cdot \frac {\lambda}{D}</math><ref>The intensity of the Fraunhofer diffraction pattern of a circular aperture (the Airy pattern) is given by the squared modulus of the Fourier transform of the circular aperture:

I = Io (2J1(x)/x)^2

(Direkte Kopie der Formel aus der englischen Wikipedia ging nicht.)</ref>

mit dem Blendendurchmesser <math>D</math>.

==== Durchmesser des Beugungsscheibchens ====
Bildet eine Linse aus dem Unendlichen mit der [[Brennweite]] <math>f</math> ab, so hat das zentrale Beugungsscheibchen den Durchmesser:

:<math>\begin{align}
d &= 2 \cdot \theta \cdot f\\
&\approx 2 \cdot \left( 1{,}22 \cdot \frac {\lambda}{D} \right) \cdot f\\
&= 2{,}4392\dots \ \cdot \lambda \cdot k
\end{align}</math>

mit
* dem Durchmesser <math>D</math> der Linse
* der [[Blendenzahl]] <math>k = f/D</math>.

Diese Größe des Beugungsscheibchens, das sich aus dem effektiven Blendendurchmesser des optischen Systems ergibt, bestimmt das [[Auflösungsvermögen]]. Zwei Punkte lassen sich nämlich nach dem [[Rayleigh-Kriterium]] dann noch sicher trennen, wenn die Maxima ihrer Abbilder mindestens um den Radius <math>d/2</math> des Beugungsscheibchens auseinander liegen. Da der Durchmesser <math>d</math> des Beugungsscheibchens gemäß o. g. Formel umso kleiner wird, je größer der Durchmesser <math>D</math> der Linse bzw. je kleiner die Blendenzahl <math>k</math> sind, benötigen hoch auflösende [[Teleskop]]e große Spiegel.

=== Näherungsformeln ===
In der Praxis rechnet man oft mit folgenden [[Näherungsformel]]n (für grünes Licht mit 550 [[Nanometer|nm]] Wellenlänge):

==== Winkelauflösung ====

:<math>\alpha = \frac{100 \, \mathrm{mm}}{D} \cdot \text{Winkelsekunden}</math>

(Rayleigh-Kriterium ergibt <math>\alpha = \tfrac{140\,\mathrm{mm}}{D} \cdot</math> [[Winkelsekunde]]n)

''Beispiel:'' eine Objektivöffnung von <math>D=100\,\mathrm{mm}</math> Durchmesser erlaubt eine Winkelauflösung von <math>1^{\prime\prime}</math>.

==== Durchmesser des Beugungsscheibchens ====

:<math>d=1\,\mathrm{\mu m} \cdot\tfrac{f}{D}</math>

(Rayleigh-Kriterium ergibt <math>d = 1{,}34 \,</math> [[Meter #Mikrometer|µm]] <math>\cdot \tfrac{f}{D}</math>)

''Beispiel:'' eine Blende von <math>\tfrac{f}{D} = 11</math> ergibt ein Beugungsscheibchen von <math>11 \, \mathrm{\mu m}</math> Durchmesser.

== Andere Blendenformen ==
[[Datei:Beugungrechteck.png|mini|hochkant=1.1|Detailansicht: Beugungsbild einer Rechteckblende (kleines Bild oben links), Intensität der Nebenmaxima überhöht]]
<div class="tright" style="clear:none">[[Datei:Twod fourier 1.png|mini|ohne|hochkant|Links Blenden, rechts jeweils ihre [[Diskrete Fourier-Transformation #Einfache Blenden|berechneten]] Beugungsscheibchen]]</div>
Weicht die Blende von der Kreisform ab, so verändert sich die Form des Zentralmaximums und der höheren [[Beugungsordnung]]en.

Das linke der beiden Bilder rechts zeigt die Beugungsscheibchen (rechts) unterschiedlicher Blenden (links). Die ringförmige Helligkeitsmodulation, die man bei einer kreisförmigen Blende erwartet, ist überlagert von strahlenförmigen Sternen, den ''[[Spike (Beugung)|Spikes]]''. Besonders deutlich treten sie bei der Dreiecksblende hervor.

Das rechte der beiden Bilder zeigt ein Beispiel für eine Rechteck-Blende, ihre Orientierung ist oben links in der Bildecke angedeutet. Das Verhältnis von Höhe und Breite spiegelt sich auch im Zentralfleck wider, aber mit reziproken Verhältnissen, da Blende und Beugungsbild über die [[Fourier-Transformation]] verknüpft sind. Die Nebenmaxima sind am stärksten in den Hauptrichtungen ausgeprägt.

Wird eine Dunkelblende verwendet, so ergibt sich im Schatten der entsprechenden Kreisscheibe ebenfalls ein typisches Beugungsbild mit einem [[Poisson-Fleck]] in der Mitte.

== Beispiele für beugungsbegrenzte Auflösung ==
Alle Betrachtungen erfolgen, wenn nicht anders angegeben, bei einer mittleren sichtbaren Wellenlänge von 555 nm (grün).

* Ein beugungsbegrenztes [[Objektiv (Optik)|Objektiv]] erzeugt:
** bei einer [[Blendenzahl]] von 3 ein Beugungsscheibchen von ca. 4 µm Durchmesser. Dies ist auf extrem hochauflösenden [[Schwarzweißfilm|Schwarz-Weiß]]-[[Negativfilm]]en im [[Kleinbild]]format erkennbar.
** bei einer Blendenzahl von 11 ein Beugungsscheibchen von knapp 15 µm Durchmesser. Dies ist auf vielen mittelauflösenden [[Fotoemulsion|Filmemulsionen]] erkennbar.
:Gleiches gilt für [[Bildsensor]]en mit entsprechenden [[Pixelpitch|Pixelrasterabständen]].
* Wenn die [[Internationale Raumstation]] ISS mit einem Objektiv mit 14 cm Durchmesser ausgerüstet ist, lassen sich Details der Größe von 1[[Bogensekunde|"]] auflösen. Bei einer [[Flughöhe]] von 350 km entspricht das einer Auflösung von 1,7 m. Um diese Details fotografieren zu können, müssen sie größer als das Auflösungsvermögen des Sensors sein. Wenn dieses 4,8 µm beträgt, ist eine [[Brennweite]] von mindestens 1 m erforderlich.
* Das [[Hubble-Weltraumteleskop]] umkreist die Erde in einer Höhe von 590 km. Sein [[Teleskopspiegel|Spiegel]] hat einen Durchmesser von 240 cm. Auf die Erde gerichtet hätte es unter optimalen Bedingungen eine Auflösung von 0,17 m.
* Große Spiegel sind teuer. [[Spionagesatellit]]en kompensieren den Nachteil kleinerer Spiegel mit einer geringen Flughöhe. Bei einem Spiegeldurchmesser von 100 cm und einer Flughöhe von 150 km ist theoretisch eine Auflösung von 0,10 m möglich. Bei [[Unbemanntes Luftfahrzeug|Drohnen]] mit entsprechend geringeren Flughöhen ist trotz noch kleinerer Objektive die erreichbare Auflösung von Objekten an der [[Erdoberfläche]] noch höher.
* Ein alltäglich beobachtbares Beispiel für Beugungsscheibchen ist die [[intrinsisch]]e [[Wahrnehmung]], also die Wahrnehmung eines [[Reiz]]es, der in dem [[Sinnesorgan]] seinen Ursprung hat, das an der Wahrnehmung beteiligt ist. Blickt man z. B. gegen eine helle, möglichst einfarbige Fläche (wie den Himmel), so sieht man schwache, transparente Kringel, die langsam nach unten sinken und sich oft zu Ketten zusammenschließen: eben die Beugungsscheibchen. Sie entstehen durch abgestorbene [[Zelle (Biologie)|Zellen]] im [[Kammerwasser]] des Auges.

== Siehe auch ==
* [[Encircled Energy]]

== Weblinks ==
{{Commons|Diffraction|Beugung}}
* http://cnx.org/content/m13097/latest/ englische (!) Herleitung der Intensitätsverteilung bei Kreisblenden (Bessel-Funktionsabhängigkeit)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wellenoptik]]
[[Kategorie:Bildfehler]]

Beugungsscheibchen - Versionsgeschichte

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