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2024-12-30T18:58:58Z

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Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] sind die '''Betti-Zahlen''' eine Folge nichtnegativer [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]], die globale Eigenschaften eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] beschreiben. Von [[Henri Poincaré]] wurde gezeigt, dass sie [[topologische Invariante]]n sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker [[Enrico Betti]], da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über [[Komplexe algebraische Fläche|komplexe algebraische Flächen]] eingeführten Flächenzahlen sind.

== Definition ==
Es sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]]. Dann ist die <math>i</math>-te ''Betti-Zahl'' von <math>X</math>
: <math>b_i(X) = \dim_{\mathbb Q}H_i(X,\mathbb Q)</math> für <math>i=0,1,2,\ldots</math>
Dabei bezeichnet <math>H_i(X,\mathbb Q)</math> die <math>i</math>-te [[singuläre Homologie]]gruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

== Anschauung ==
[[Datei:Torus.svg|mini|Der Torus]]
Obwohl die Definition der Betti-Zahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter ihr eine Anschauung. Die Betti-Zahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Betti-Zahlen besagen anschaulich also:
* <math>b_0</math> ist die Anzahl der [[Zusammenhängender Raum|Wegzusammenhangskomponenten]].
* <math>b_1</math> ist die Anzahl der zweidimensionalen „Löcher“.
* <math>b_2</math> ist die Anzahl der dreidimensionalen „Hohlräume“.

Der rechts abgebildete [[Torus]] (gemeint ist die Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Betti-Zahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Betti-Zahlen sind 0.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte [[Mannigfaltigkeit]], so versagt diese Anschauung allerdings schon.

== Eigenschaften ==
* <math>b_0(X)</math> ist die Anzahl der [[Zusammenhängender Raum|Wegzusammenhangskomponenten]] von <math>X</math>.<ref>Hatcher: ''Algebraic Topology''. [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html math.cornell.edu] Proposition 2.7</ref>
* <math>b_1(X)</math> ist der [[Rang einer abelschen Gruppe|Rang]] der [[Abelisierung|abelisierten]] [[Fundamentalgruppe]] von <math>X</math>.
* Für eine [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[geschlossene Fläche]] vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] <math>g</math> ist <math>b_0=1</math>, <math>b_1=2g</math>, <math>b_2=1</math>.
* Allgemein gilt für jede <math>n</math>-dimensionale [[Orientierung (Mathematik)|orientierbare]] [[geschlossene Mannigfaltigkeit]] die [[Poincaré-Dualität]]:<br /> <math>b_k = b_{n-k}.</math>
* Für jede <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit <math>X</math> gilt <math>b_k=0</math> für <math>k>n</math>.
* Für zwei topologische Räume <math>X</math> und <math>Y</math> gilt<br /><math style="margin-left:2em">
b_n(X\times Y)=\sum_{\lambda+\mu=n}b_\lambda(X)b_\mu(Y).
</math><br />Das ist eine direkte Folgerung aus dem [[Satz von Künneth]].

== Beispiele ==
* Die Betti-Zahlen der <math>n</math>-[[Topologische Sphäre|Sphäre]] sind<br /> <math>b_k(S^n)=\delta_{k0} + \delta_{kn} =\begin{cases}2&\mathrm{f\ddot ur}\ n=k=0 \\1&\mathrm{f\ddot ur}\ n\neq k=0\ \mathrm{oder}\ n=k\neq 0\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}</math>
* Die Betti-Zahlen der reellen [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] sind <math>1,0,0,0,\ldots</math>, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im <math>\mathbb R^n</math>. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Betti-Zahlen übereinstimmen.

== Verwandte Begriffe ==
Die [[Euler-Charakteristik]] ist die alternierende Summe der Betti-Zahlen, d. h.
: <math>\begin{align}
\chi(X) &= b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) -\cdots \\
&= \sum_{i=0,1,\dots}^{} (-1)^i b_i(X)
\end{align}</math>

== Literatur ==
* Edwin H. Spanier: ''Algebraic Topology.'' 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
* {{EoM |Autor=M.I. Voitsekhovskii |Titel=Betti number |id=Betti_number}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=BettiNumber |title=Betti Number}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Topologische Invariante]]

Betti-Zahl - Versionsgeschichte

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