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2024-12-19T19:49:34Z

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Beim '''Betragsoptimum''' handelt es sich um einen Begriff aus der [[Regelungstheorie]], genauer um ein [[Regelungstechnik|regelungstechnisches]] [[Optimierung (Mathematik)|Optimierungskriterium]] im [[Frequenzraum]].<ref name="Hering" /> Eine Regelung wird allgemein dann als optimal bezeichnet, wenn die [[Regelgröße]] dem Wert der [[Führungsgröße]] mit möglichst geringer zeitlicher Verzögerung folgen kann. Bei der Optimierung mittels des Betragsoptimums wird die [[Einschwingzeit]] eines Regelsystems optimiert.<ref name="Lutz" />

Ein weiteres Optimierungskriterium im Frequenzbereich ist das [[Symmetrisches Optimum|symmetrische Optimum]].

== Motivation ==
[[Datei:Amplitudengänge des geschlossenen Regelkreises beim Führungsverhalten.png|350px|mini|Die möglichen Verläufe des Amplitudenganges eines geschlossenen [[Regelkreis]]es beim Führungsverhalten. Die Kenngrößen sind: <math>\omega_R</math> – [[Resonanzfrequenz]], <math>\omega_d</math> – [[Durchtrittsfrequenz]], <math>\omega_B</math> – [[Bandbreite]], ''M''max – Betrag des [[Frequenzgang]]s an der Resonanzstelle.]]
Eine kurze [[Anstiegszeit]] bzw. Anregelzeit wie bei der [[Sprungantwort]] bedingt eine große [[Bandbreite]] des geschlossenen Regelkreises. Es ist ein direkter Bezug zwischen der Anstiegszeit TAn und der Bandbreite <math>\omega_B</math> der [[Sprungantwort|Führungsübergangsfunktion]] gegeben. Mathematisch gesehen ist der Bezug wie folgt:<ref name="Schulz" />

:<math>T_\text{An} = \frac{\pi}{\omega_B} = \frac{\pi}{2\pi \cdot f_B} = \frac{1}{2 \cdot f_B}</math>

Für gutes Führungsverhalten wird beim Betragsoptimum das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsamplitude (Amplituden-[[Frequenzgang]]) optimiert. Im Idealfall ist der Betrag des Frequenzganges ''F'' für alle [[Kreisfrequenz]]en ω:<ref name="Reuter" />

:<math>|F_w(\mathrm{j}\omega)| = 1</math>.

Es wird auch von einer ''Betragsanschmiegung'' von Fw(jω) an Eins gesprochen.<ref name="Schulz" />
In realen Regelkreisen treten allerdings immer [[PT1-Glied|Verzögerungen]] auf, weshalb dieses ideale Betragsoptimum nur in Näherung erreicht werden kann und es bei höheren Frequenzen zu einer Verkleinerung des Amplituden-Frequenzganges kommt. Das Optimierungsverfahren des Betragsoptimums versucht über einen möglichst großen Frequenzbereich von ω den Betrag des Frequenzgangs auf oder Nahe dem Wert 1 zu halten, dazu werden die Parameter des [[Regler]]s aus den [[Zeitkonstante]]n der [[Regelstrecke]] berechnet.<ref name="Föllinger" />

== Voraussetzungen zur Anwendung des Betragsoptimums ==
[[Datei:Einfacher Regelkreis n.svg|500px|mini|Blockschaltbild eines einfachen ''Standardregelkreises'', bestehend aus der ''Regelstrecke'', dem Regler und einer [[Negative Rückkopplung|negativen Rückkopplung]] der Regelgröße ''y'' (auch Istwert). Die Regelgröße ''y'' wird mit der Führungsgröße (Sollwert) ''w'' verglichen. Die Regelabweichung ''e'' = ''w'' – ''y'' wird dem Regler zugeführt, der daraus entsprechend der gewünschten Dynamik des Regelkreises eine Stellgröße ''u'' bildet. Die [[Regelungstechnik#Stabilität|Stabilität]] des Systems hängt unter anderem von den [[Polstelle|Streckenpolen]] ab. Die Erklärung wird nebenstehend aufgeführt.]]

Zur Anwendung des Betragsoptimum werden gewisse Voraussetzungen gestellt, diese gilt es einzuhalten. Werden die Voraussetzungen nicht eingehalten kann es zu undefinierten Zuständen kommen. Zum Beispiel könnte die [[Regelstrecke#Signal- und Stellgrößenbegrenzung (Sättigung)|Stellgrößenbegrenzung]] überschritten werden. Eine Folge könnte sein, dass das System eine unerwartete Reaktion herbeiführt, wie die Zerstörung elektrischer Bestandteile. So wird davon ausgegangen, dass bei dem Reglerentwurf die [[Messeinrichtung]] zu der [[Regelstrecke]] gezählt wird und somit ein [[Regelkreis|Standardregelkreis]] vorliegt. Die Parameter der Regelstrecke, [[Zeitkonstante]]n und [[Verstärkung (Physik)|Verstärkungsfaktor]], müssen bereits bekannt sein.<ref name="Beier" /> Des Weiteren wird bei der [[#Mathematischer Hintergrund|Herleitung]], als auch bei den [[#Einstellregeln für das Betragsoptimum|Einstellregeln für das Betragsoptimum]], davon ausgegangen, dass es sich bei der Regelstrecke um eine Zusammensetzung aus [[PT2-Glied|Verzögerungssystemen]] handelt. Bei nichtreellen [[Polstelle|Streckenpolen]] besteht die Gefahr von [[Regelungstechnik#Stabilität|Stabilitätsschwierigkeiten]]. Wenn [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexe]] [[Polstelle|Pole]] in der Regelstrecke vorhanden sind, sollten diese hinreichend gedämpft sein. Jedoch wäre die Verwendung von rein [[Reelle Zahl|reellen]] Polen vorzuziehen.<ref name="Föllinger" /> Eine nicht schwingfähige Regelungsstrecke mit Ausgleich ist somit vorauszusetzen. Bei Verwendung von ''dominanten'' Zeitkonstanten, d. h. eine oder zwei große Zeitkonstanten gegenüber der Ersatzzeitkonstante TE, sind besonders brauchbare Resultate zu erwarten. Werden die Voraussetzungen eingehalten so ist ein gutes Führungsverhalten garantiert.<ref name="Kahlert" />

== Mathematischer Hintergrund ==
Das Verfahren wurde für einen Regelkreis II. Ordnung abgeleitet. Zudem wird bei der Herleitung in zwei Typen unterschieden: Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken I. Ordnung und Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung. Es existieren Hilfssätze um die Regelstrecke zu vereinfachen, diese werden angewendet bei Strecken höherer Ordnung und Totzeitelementen.<ref name="Lutz" />

=== Satz von der Summe aller kleinen Zeitkonstanten ===
Liegt eine Regelstrecke höherer Ordnung vor, welche folgende Form aufweist:
<math>G_s(s) = \frac {K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s)...(1 + T_n \cdot s)}</math>, 
so kann eine Ersatzzeitkonstante TE, welche sich aus der Summe aller kleinen Zeitkonstanten zusammensetzt, gebildet werden. Hierbei wird unterschieden, ob es eine oder zwei ''dominante'' Zeitkonstanten gibt. Dies wird auch als '''Satz von der Summe aller kleinen Zeitkonstanten''' bezeichnet.<ref name="Lutz" />

Im Fall einer ''dominanten'' Zeitkonstante gilt<ref name="Föllinger" />: <math> \quad \quad \quad T_E = \sum_{i=2}^{n}T_i, \quad T_1 \gg T_E, \quad G_s(s) = \frac {K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_E \cdot s)}</math>

Im Fall von zwei ''dominanten'' Zeitkonstanten gilt<ref name="Kahlert" />: <math>\quad T_E = \sum_{i=3}^{n}T_i, \quad T_1 > T_2 \gg T_E, \quad G_s(s) = \frac {K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s) \cdot (1 + T_E \cdot s)}</math>

=== Vereinfachung von Totzeitelementen ===
Sei eine [[Totzeit (Regelungstechnik)|Totzeit]] Tt deutlich kleiner als die [[Zeitkonstante]] T1 eines Verzögerungssystems, das Gleiche wäre gültig bei einem [[I-Glied]] und dessen [[Integrationszeit]] TI, so kann diese als [[PT1-Glied|PT1-Glied]] ersetzt werden. Bei dieser Überlegung wird von dem [[Regelkreis#Tabelle der Übertragungsfunktionen des offenen und geschlossenen Regelkreises|offenen Regelkreis]] G0(s) ausgegangen. "Dabei wird die [[Reihenentwicklung]] der [[Exponentialfunktion|Exponential-Funktion]] für das Totzeitelement nach dem ersten Glied abgebrochen:"<ref name="Lutz" />

<math>G_0(s) = \frac{K_R \cdot K_S \cdot e^{-T_t \cdot s}}{1 + T_1 \cdot s} = \frac{K_R \cdot K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + \frac{T_t \cdot s}{1!} + \frac{(T_t \cdot s)^2}{2!} + ...)} = \frac{K_R \cdot K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_t \cdot s)}</math>, wenn <math>T_1 \gg T_t</math> gilt.

=== Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken Ι. Ordnung ===
[[Datei:Regelkreis II.Ordnung.png|350px|mini|Dargestellt ist ein ''Regelkreis II. Ordnung'' mit einem ''I-Regler'' und einer ''PT1-Regelstrecke''. Aufgeschaltet wird das Eingangssignal ''w(j<math>\omega</math>)'' und abgerufen am Ausgang das Ausgangssignal ''x(j<math>\omega</math>)''.]]
Nachfolgend wird die Herleitung für die Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken I. Ordnung beschrieben, diese baut auf dem Sachverhalt des Abschnittes [[#Motivation|Motivation]] auf. Ein Regelkreis II. Ordnung, zusammengesetzt aus einem [[I-Glied|I-Regler]] und einer [[PT1-Glied|PT1]]-Regelstrecke, besitzt folgende [[Frequenzgang]]funktion als ''offener Regelkreis'':<ref name="Lutz" />

<math>F_\text{RS}(j\omega) = \frac {K_S}{T_I \cdot j\omega \cdot (1 + T_E \cdot j\omega)}</math>, mit <math>\frac {1}{T_I} = \frac {K_R}{T_N}</math>.

Nun wird mittels des offenen Regelkreises der ''geschlossene Regelkreis'' gebildet, der folgende Frequenzgangfunktion aufweist:

<math>F(j\omega) = \frac {F_\text{RS}(j\omega)}{1 + F_\text{RS}(j\omega)} = \frac {K_S}{T_I \cdot j\omega \cdot (1 + T_E \cdot j\omega) + K_S} = \frac {K_S}{K_S - T_I \cdot T_E \cdot \omega^2 + T_I \cdot j\omega}</math>

Da der [[Betragsfunktion|Betrag]] für einen möglichst großen Bereich gleich 1 sein soll, gilt (es wird das [[Betragsquadrat]] verwendet, um die Wurzel im Nenner zu beseitigen):

<math>|F(j\omega)| = \frac {K_S}{\sqrt{(K_S - T_I \cdot T_E \cdot \omega^2)^2 + T_I^2 \cdot \omega^2}} \stackrel{\mathrm{!}}\approx 1</math>

<math>|F(j\omega)|^2 = \frac {K_S^2}{(K_S - T_I \cdot T_E \cdot \omega^2)^2 + T_I^2 \cdot \omega^2} = \frac {K_S^2}{K_S^2 + (T_I^2 - 2 \cdot K_S \cdot T_I \cdot T_E) \cdot \omega^2 + T_I^2 \cdot T_E^2 \cdot \omega^4} \stackrel{\mathrm{!}}\approx 1</math>

Damit die [[Approximation]] für einen großen Bereich gültig ist, müssen möglichst viele [[Koeffizient]]en des [[Polynom|Zähler- und Nennerpolynoms]] gleich sein. Somit folgt diese Gleichung:

<math>|F(j\omega)|^2 = \frac {\quad K_S^2 + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \cdot \omega^2 + \quad \quad \quad 0 \cdot \omega^4}{K_S^2 + (T_I^2 - 2 \cdot K_S \cdot T_I \cdot T_E) \cdot \omega^2 + T_I^2 \cdot T_E^2 \cdot \omega^4} \stackrel{\mathrm{!}}\approx 1</math>

Aus der Gleichung kann eine Realisierungstabelle für den [[Koeffizientenvergleich]] abgeleitet werden:

{| class="wikitable"
! style="text-align:center"|Zählerpolynom
! style="text-align:center"|Nennerpolynom
! style="text-align:center"|Realisierung
|-
| style="text-align:center"|<math>K_S^2 \cdot \omega^0</math>
| style="text-align:center"|<math>K_S^2 \cdot \omega^0</math>
| ist erfüllt
|-
| style="text-align:center"|<math>0 \cdot \omega^2</math>
| style="text-align:center"|<math>(T_I^2 - 2 \cdot K_S \cdot T_I \cdot T_E) \cdot \omega^2</math>
| realisierbar
|-
| style="text-align:center"|<math>0 \cdot \omega^4</math>
| style="text-align:center"|<math>T_I^2 \cdot T_E^2 \cdot \omega^4</math>
| nicht realisierbar
|}
Somit ergibt sich folgende Optimierungsgleichung:

<math>(T_I^2 - 2 \cdot K_S \cdot T_I \cdot T_E) \cdot \omega^2 = 0</math> <math>T_I = 2 \cdot K_S \cdot T_E</math>, es gilt <math>K_I = \frac {1}{T_I} = \frac {1}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>.

Setzt man nun die Integrierkonstante TI in die Frequenzgangfunktion des geschlossenen Regelkreises ein, so ergibt sich:

<math>F(j\omega) = \frac {K_S}{K_S + T_I \cdot j\omega + T_I \cdot T_E \cdot (j\omega)^2} = \frac {K_S}{K_S + 2 \cdot K_S \cdot T_E \cdot j\omega + 2 \cdot K_S \cdot T_E^2 \cdot (j\omega)^2} = \frac {1}{1 + 2 \cdot T_E \cdot j\omega + 2 \cdot T_E^2 \cdot (j\omega)^2}</math>

Geht man nun in den [[Laplace-Transformation|Laplace-Bereich]] und stellt die [[Übertragungsfunktion]] des geschlossenen Regelkreises G(s) auf, kann man diese mit einem standardisierten [[PT2-Glied|PT2-Glied]] abgleichen.

<math>G(s) = \frac {1}{1 + 2 \cdot T_E \cdot s + 2 \cdot T_E^2 \cdot s^2} \stackrel{\mathrm{!}}= \frac {1}{1 + 2 \cdot D \cdot T_0 \cdot s + T_0^2 \cdot s^2}</math>

Durch einen Koeffizientenvergleich lassen sich die [[Dämpfung]] D und die [[Kreisfrequenz#Kennkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz|Kennkreisfrequenz]] <math>\omega_0</math> ermitteln.

<math>2 \cdot T_E = 2 \cdot D \cdot T_0, \quad 2 \cdot T_E^2 = T_0^2</math>, es gilt <math>\omega_0 = \frac {1}{T_0}</math>.

<math>T_0 = \sqrt{2} \cdot T_E, \quad \omega_0 = \frac {1}{\sqrt{2} \cdot T_E}</math>

<math>D = \frac {T_E}{T_0}= \frac {1}{\sqrt{2}}</math>, somit gilt eine feste Dämpfung für alle [[Frequenz]]en.

=== Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung ===
Die Herleitung zur Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung baut zum einen auf den Sachverhalt des Abschnittes [[#Motivation|Motivation]], als auf die ermittelte optimale Einstellung für TI aus dem Abschnitt [[#Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken Ι. Ordnung|Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken Ι.Ordnung]] auf. Darüber hinaus wird die Herleitung unterteilt in die ''Kompensation einer großen Zeitkonstante'' und in die ''Kompensation von zwei großen Zeitkonstanten''.

==== Kompensation einer großen Zeitkonstante ====
Ist eine [[Zeitkonstante]] der [[Regelstrecke]] deutlich größer als die Anderen, so kann die Nachstellzeit TN eines [[PI-Regler]]s genutzt werden um die große Zeitkonstante T1 zu kompensieren. Vorteil dieser Kompensation ist, dass die Schnelligkeit der Regelung verbessert und die mathematische Rechnung vereinfacht wird. Die mathematische Rechnung wird deshalb vereinfacht, da die Kompensation einer [[Kürzen|Kürzung]] gleicht. Mit dem [[#Satz von der Summe aller kleinen Zeitkonstanten|Satz von der Summe aller kleinen Zeitkonstanten]] werden die kleinen Zeitkonstanten der Regelstrecke zur Ersatzzeitkonstante TE zusammengefasst.<ref name="Lutz" />

Vorausgesetzt wird ein PI-Regler und eine [[PT2-Glied|PT2-Strecke]] bzw. PTn-Strecke. Bei einer PT2-Strecke bildet sich folgende Übertragungsfunktion für den offenen Regelkreis:

<math> G_\text{RS}(s) = G_R(s) \cdot G_S(s) = \frac{K_R \cdot (1 + T_N \cdot s)}{T_N \cdot s} \cdot \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1+ T_E \cdot s)}</math>, es gilt <math>T_1 \gg T_E</math>.

Wenn die Nachstellzeit TN nun gleich der großen Verzögerungszeitkonstante T1 gewählt wird ergibt sich eine Kürzung. Somit entsteht die Optimierungsvorschrift <math>T_N = T_1</math>.

<math> G_\text{RS}(s) = G_R(s) \cdot G_S(s) = \frac{K_R}{T_N \cdot s} \cdot \frac{K_S}{(1+ T_E \cdot s)}</math>

Auf Grundlage des Abschnittes ''[[#Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken Ι. Ordnung|Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken Ι.Ordnung]]'' folgt unter Verwendung der optimalen Einstellung für TI die Optimierungsvorschrift für KR.

<math> T_I = 2 \cdot K_S \cdot T_E = \frac {T_N}{K_R}, \quad K_R = \frac {T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>

==== Kompensation von zwei großen Zeitkonstanten ====
Für die Kompensation von zwei großen Zeitkonstanten werden die kleinen Zeitkonstanten wie schon im Abschnitt [[#Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung|Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung]] zu der Ersatzzeitkonstante TE zusammengefasst. Des Weiteren wird ein [[PID-Regler]] eingesetzt, um mit Hilfe der Nachstellzeit TN und der Vorhaltzeit TV des Reglers die zwei großen Zeitkonstanten der [[Regelstrecke]] zu kompensieren. Vorteil dieser Kompensation ist, dass die Schnelligkeit der Regelung verbessert und die mathematische Rechnung vereinfacht wird. Die mathematische Rechnung wird deshalb vereinfacht, da die Kompensation einer [[Kürzen|Kürzung]] gleicht.<ref name="Lutz" />

Es ergibt sich folgende [[Übertragungsfunktion]] für den offenen Regelkreis, beim Einsatz eines PID-Reglers und einer PT3-Regelstrecke:

<math>G_\text{RS}(s) = G_R(s) \cdot G_S(s) = \frac{K_R \cdot (1 + T_N \cdot s) \cdot (1 + T_V \cdot s)}{T_N \cdot s} \cdot \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s) \cdot (1 + T_E \cdot s)}</math>, es gilt <math>T_1 > T_2 \gg T_E</math>.

Bei der Kompensation von zwei großen Zeitkonstanten ergibt sich die nachfolgende Reglereinstellung:

<math>T_N = T_1, \quad T_V = T_2, \quad </math>für <math>T_1 > T_2</math>.

Nach der Kompensation ergibt sich dieselbe Übertragungsfunktion wie schon im Abschnitt [[#Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung|Anwendung des Betragsoptimums für Regelstrecken höherer Ordnung]]:

<math>G_\text{RS}(s) = G_R(s) \cdot G_S(s) = \frac{K_R}{T_N \cdot s} \cdot \frac{K_S}{(1+ T_E \cdot s)}</math>

Die Optimierungsvorschrift für den Reglerverstärkungsfaktor KR ist somit dieselbe wie bei dem Einsatz eines PI-Reglers und einer PT2-Strecke:

<math>K_R = \frac {T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>

== Einstellregeln für das Betragsoptimum ==
In der nachfolgenden Tabelle sind die [[Regelstrecke|Strecken-]] und [[Regler]]strukturen, inklusive der Angabe des [[Übertragungsfunktion#Häufig verwendete Übertragungsfunktionen|Übertragungsverhaltens]], dargestellt. Zudem sind die jeweiligen Einstellregeln für das Betragsoptimum hinzugefügt. Die Einstellregeln gelten nur, wenn die [[#Voraussetzungen zur Anwendung des Betragsoptimums|Voraussetzungen]] erfüllt sind.<ref name="Lutz" />

{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" style="text-align:center"| Regelstrecke
! colspan="2" style="text-align:center"| Regler
|-
! style="width:2em"| Typ
! style="text-align:left; width:25em;"| Übertragungsfunktion
! style="width:2em"| Typ
! style="text-align:left; width:22em;"| Übertragungsfunktion
|-
| PT1
| <math>G_S(s) = \frac{K_S}{1 + T_1 \cdot s}</math>
<math>T_E = T_1</math>
| I
| <math>G_R(s) = \frac{K_I}{s}, \quad G_R(s) = \frac{1}{T_I \cdot s}</math>
<math>K_I = \frac{1}{2 \cdot K_S \cdot T_E}, \quad T_I = 2 \cdot K_S \cdot T_E</math>
|-
| PT2
| <math>G_S(s) = \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s)}</math>
<math>T_1 > T_2, \quad T_E = T_2</math>
| PI
| <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s}</math>
<math>T_N = T_1, \quad K_R = \frac{T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>
|-
| PTn
| <math>G_S(s) = \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_E \cdot s)}</math>
<math>T_1 \gg T_E, \quad T_E = \sum_{i=2}^{n}T_i</math>
| PI
| <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s}</math>
<math>T_N = T_1, \quad K_R = \frac{T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>
|-
| PTn
| <math>G_S(s) = \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s) \cdot (1 + T_E \cdot s)}</math>
<math>T_1 > T_2 \gg T_E, \quad T_E = \sum_{i=3}^{n}T_i</math>
| PID
| <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)\cdot (1+ T_V \cdot s)}{T_N \cdot s}</math>
<math>T_N = T_1, \quad T_V = T_2, \quad K_R = \frac{T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E}</math>
|}

== Betragsoptimum im Vergleich ==
[[Datei:Betragsoptimum im Vergleich - Führungsübergangsfunktion.png|300px|mini|Vergleich des Betragsoptimums mit einer empirischen Einstellregel, ''T-Summen-Regel'', und einem weiteren Optimierungskriterium aus dem Frequenzbereich, ''Symmetrisches Optimum''. Abbildung der Führungsübergangsfunktion für einen Sollsprung ''w0'' = 1.]]
[[Datei:Betragsoptimum im Vergleich - Störungsübergangsfunktion.png|300px|mini|Vergleich des Betragsoptimums mit einer empirischen Einstellregel, ''T-Summen-Regel'', und einem weiteren Optimierungskriterium aus dem Frequenzbereich, ''Symmetrisches Optimum''. Abbildung der Störungsübergangsfunktion für einen Sollsprung ''z0'' = 1 am Streckeneingang.]]
Um die Stärken des Betragsoptimums zu verdeutlichen, wird nachfolgend ein Vergleich mit mehreren Verfahren vorgeführt. Dabei steht die Regelung einer PT3-[[Regelstrecke|Strecke]] mit einem [[Regler#PI-Regler|PI-Regler]] im Fokus. Zum Vergleich wird eine [[Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)|empirische Einstellregel]] aus dem [[Fourier-Analysis#Anwendungen|Zeitbereich]], sowie ein weiteres Optimierungskriterium aus dem [[Fourier-Analysis#Anwendungen|Frequenzbereich]] herangezogen. Aus dem Spektrum der empirischen Einstellregeln wird die schnelle Regelung nach der [[Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)#T-Summen-Regel|T-Summen-Regel]] genommen. Aus den Optimierungskriterien im Frequenzbereich wird das [[Symmetrisches Optimum|Symmetrische Optimum]] gewählt.<ref name="Schulz" /><ref name="Reuter" /><ref name="Beier" /><ref name="Weigl-Seitz" />

Gegeben sei folgende Regelstrecke: <math>G_S(s) = \frac{K_S}{(1 + T_1 \cdot s) \cdot (1 + T_2 \cdot s) \cdot (1 + T_3 \cdot s)}</math> 

mit den Streckenparametern: <math>K_S = 1{,}78, \quad T_1 = 0{,}73, \quad T_2 = 0{,}031, \quad T_3 = 0{,}021</math> 

Der PI-Regler soll wie folgt aussehen: <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s}</math>

* Einstellung der Regelparameter nach dem Betragsoptimum (s. Tabelle, 3 Zeile): <math>T_N = T_1 = 0{,}73</math> <math>T_E = T_2 + T_3 = 0{,}052</math>, da <math> T_N \gg T_E </math> gültig ist. <math>K_R = \frac{T_N}{2 \cdot K_S \cdot T_E} = 3{,}9434</math> <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s} = \frac{3{,}94 \cdot (1+ 0{,}73 \cdot s)}{0{,}73 \cdot s}</math>

* Einstellung der Regelparameter nach dem Symmetrischen Optimum (es sei <math>a = 2</math>): IT1-Näherung: <math>G_S(s) = \frac{K_S}{s \cdot (1 + T_1 \cdot s)} = \frac{1{,}78}{0{,}73 \cdot s \cdot (1 + 0{,}052 \cdot s)}</math> <math>T_1 = 0{,}052, \quad K_S = \frac {1{,}78}{0{,}73} = 2{,}44</math> <math>T_N = a^2 \cdot T_1 = 0{,}208</math> <math>K_R = \frac {1}{a \cdot K_S \cdot T_1} = 3{,}9434</math> <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s} = \frac{3{,}94 \cdot (1+ 0{,}21 \cdot s)}{0{,}21 \cdot s}</math>

* Einstellung der Regelparameter nach der T-Summen-Regel (schnelle Regelung): <math>K_S = 1{,}78, \quad T_\sum = T_1 + T_2 + T_3 = 0{,}782</math> <math>T_N = 0{,}7 \cdot T_\sum = 0{,}5474</math> <math>K_R = \frac{1}{K_S} = 0{,}5618</math> <math>G_R(s) = \frac{K_R \cdot (1+ T_N \cdot s)}{T_N \cdot s} = \frac{0{,}56 \cdot (1+ 0{,}55 \cdot s)}{0{,}55 \cdot s}</math>

Anhand der Führungsübergangsfunktion lässt sich erkennen, dass das Betragsoptimum eine deutlich geringere [[Regelungstechnik#Kenngrößen der Übergangsfunktion des Regelkreises|An]]- und [[Regelungstechnik#Kenngrößen der Übergangsfunktion des Regelkreises|Ausregelzeit]] aufweist gegenüber der empirischen Einstellregel. Dies ist auf den Größenunterschied des Regler-Verstärkungsfaktors KR zurückzuführen, dieser ist bei der T-Summen-Regel deutlich kleiner. Des Weiteren ist der [[Regelungstechnik#Kenngrößen der Übergangsfunktion des Regelkreises|Überschwinger]] des Betragsoptimums wesentlich niedriger als der des Symmetrischen Optimums. Der Grund ist die [[Regler#I-Regler (I-Anteil)|Nachstellzeit]] TN, diese ist zwar geringer beim Symmetrischen Optimum und führt deshalb nochmal zu einer etwas besseren Anregelzeit. Der zu zahlende Preis ist jedoch ein größerer Überschwinger und eine erhöhte Ausregelzeit.

== Anwendungsbereiche ==
Das Betragsoptimum ist wegen seiner Stärken in der Praxis unumstritten<ref name="Philippsen" /> und wird vorzugsweise im Bereich der elektrischen Regelung eingesetzt.<ref name="Föllinger" /> Darüber hinaus ist ein weiterer Einsatzschwerpunkt des Verfahrens der Einsatz in der [[Antriebstechnik]].<ref name="Beier" />,<ref name="Schönfeld" />

Das Betragsoptimum wird häufig für die Einstellung von
* Geschwindigkeits-,
* Strom-,
* Drehmoment- und
* Kraftregelungen
eingesetzt. Dabei erstrecken sich die Einsatzgebiete von
* Hauptantriebe von Werkzeugmaschinen,
* Vorschubantriebe von Werkzeugmaschinen und Industrierobotern
* bis hin zu Aufzügen.<ref name="Lutz" />

== Siehe auch ==
* [[Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)]]
* [[Symmetrisches Optimum]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Slobodan N. Vukosavić
|Titel=Digital Control of Electrical Drives
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York
|Datum=2007
|ISBN=978-0-387-48598-0}}
* {{Literatur
|Autor=Dierk Schröder
|Titel=Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2015
|ISBN=978-3-642-30471-2}}
* {{Literatur
|Autor=Gert-Helge Geitner
|Titel=Entwurf digitaler Regler für elektrische Antriebe
|Verlag=VDE-Verlag
|Ort=Berlin, Offenbach
|Datum=1996
|ISBN=3-8007-1847-2}}

== Weblinks ==
* [https://etiema.et.tu-dresden.de/ae2_files/ae_1_0.htm BOD - Das Digitale Betragsoptimum]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Hering">
{{Literatur
|Autor=[[Ekbert Hering]], Heinrich Steinhart
|Titel=Taschenbuch der Mechatronik
|Verlag=Hanser Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=2005
|ISBN=978-3-446-22881-8
|Seiten=100}}
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<ref name="Lutz">
{{Literatur |Autor=Holger Lutz, [[Wolfgang Wendt]] |Titel=Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink |Auflage=12 |Verlag=Verlag Europa-Lehrmittel |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2021 |ISBN=978-3-8085-5870-6 |Seiten=504–515}}
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<ref name="Philippsen">
{{Literatur
|Autor=Hans-Werner Philippsen
|Titel=Einstieg in die Regelungstechnik: Vorgehensmodell für den praktischen Reglerentwurf
|Verlag=Fachbuchverlag Leipzig
|Ort=München
|Datum=2004
|ISBN=3-446-22377-0
|Seiten=141–143}}
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<ref name="Föllinger">
{{Literatur
|Autor=Otto Föllinger, Ulrich Konigorski (Bearb.)
|Titel=Regelungstechnik: Einführung in die Methoden und ihre Anwendung
|Auflage=11
|Verlag=VDE-Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2013
|ISBN=978-3-8007-3231-9
|Seiten=201–203}}
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<ref name="Kahlert">
{{Literatur
|Autor=Jörg Kahlert
|Titel=Crashkurs Regelungstechnik: Eine praxisorientierte Einführung mit Begleitsoftware
|Auflage=2
|Verlag=VDE-Verlag
|Ort=Berlin
|Datum=2015
|ISBN=978-3-8007-3642-3
|Seiten=150–153}}
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<ref name="Beier">
{{Literatur
|Autor=Thomas Beier, Petra Wurl
|Titel=Regelungstechnik: Basiswissen, Grundlagen, Beispiele
|Auflage=2
|Verlag=Fachbuchverlag Leipzig
|Ort=München
|Datum=2015
|ISBN=978-3-446-44210-8
|Seiten=177–185}}
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<ref name="Reuter">
{{Literatur
|Autor=Manfred Reuter, Serge Zacher
|Titel=Regelungstechnik für Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen
|Auflage=10
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=2002
|ISBN=3-528-94004-2
|Seiten=236–237}}
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<ref name="Schulz">
{{Literatur
|Autor=Gerd Schulz
|Titel=Regelungstechnik: Grundlagen, Analyse und Entwurf von Regelkreisen, rechnergestützte Methoden
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=1995
|ISBN=3-540-59326-8
|Seiten=151–154}}
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<ref name="Weigl-Seitz">
{{Literatur
|Autor=A. Weigl-Seitz
|Titel=Regelungstechnik
|Ort=Darmstadt
|Datum=2015
|Seiten=23–35}}
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<ref name="Schönfeld">
{{Literatur
|Autor=Rolf Schönfeld
|Titel=Regelungen und Steuerungen in der Elektrotechnik
|Verlag=Verlag Technik
|Ort=Berlin, München
|Datum=1993
|ISBN=3-341-01027-0
|Seiten=78–96, 151-154}}
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</references>

[[Kategorie:Steuerungs- und Regelungstechnik]]
[[Kategorie:Regelungstheorie]]
[[Kategorie:Automatisierungstechnik]]

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