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Der '''Bethe-Ansatz''' ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte [[Hans Bethe]]<ref>{{cite journal |first=H |last=Bethe |year=1931 |title=Zur Theorie der Metalle |journal=Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei |volume=Volume 71 |issue=3–4 |pages=205–226 |doi=10.1007/BF01341708 |language=de}}</ref> diese Methode zur Berechnung der exakten [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] (Eigenenergien) und [[Eigenvektoren]] des eindimensionalen [[Heisenbergmodell]]s. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parametrisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des [[Eigenwertproblem]]s ([[Schrödingergleichung]]).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des [[Kondo-Modell]]s, welche unabhängig 1980 von [[Paul Wiegmann]]<ref>P.B. Wiegmann, ''Soviet Phys. JETP Lett.'', '''31''', 392 (1980).</ref> und [[Natan Andrei]]<ref>{{cite journal |first=N. |last=Andrei |year=1980 |month=August |title=Diagonalization of the Kondo Hamiltonian |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=45 |issue=5 |pages=379–382 |doi=10.1103/PhysRevLett.45.379 |language=en}}</ref> gefunden wurde, und des ''Anderson model'' (P.B. Wiegmann<ref>{{cite journal |first=P.B. |last=Wiegmann |year=1980 |month=September |title=Towards an exact solution of the Anderson model |journal=Physics Letters A |volume=80 |issue=2–3 |pages=163–167 |doi=10.1016/0375-9601(80)90212-1 |language=en}}</ref> und N. Kawakami, A. Okiji<ref>{{cite journal |last=Kawakami |coauthors=Okiji |year=1981 |title=Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model |journal=Physics Letters A |volume=86 |issue=9 |pages=483–486 |doi=10.1016/0375-9601(81)90663-0 |language=en}}</ref>, 1981).

== Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell ==
Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:
:<math>H=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right]</math>

Abhängig vom [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Kopplungskonstante <math>J</math> ist der Grundzustand [[ferromagnetisch]] oder [[Antiferromagnetismus|anti-ferromagnetisch]]:

:<math>
J
\begin{cases}
>0 & \text{Ferromagnet}\\
<0 & \text{Anti-Ferromagnet}\\
\end{cases}</math>

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle [[Spins]] in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in <math>z</math>-Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

:<math>|F\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow \dots \uparrow\rangle</math>

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen <math>n_1</math> und <math>n_2</math> angegeben als:

:<math>
|n_1n_2\rangle = |\uparrow\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_1}\uparrow \dots \uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_2} \uparrow \dots \uparrow\rangle
</math>

Die Eigenzustände des [[Hamiltonoperator]]s des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl <math>r</math> von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der <math>S_z</math>-Operator mit dem Hamiltonoperator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher <math>S_z</math>-Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit <math>r</math> umgeklappten Spins ausgeweitet.

=== r=1 ===
Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz <math>n</math>:

:<math>|\Psi\rangle = \sum^N_{n=1}a(n)|n\rangle</math>

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung <math>H|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle</math>. Mittels Koeffizientenvergleich findet man <math>N</math> linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten <math>a(n)</math>:

:<math>2[E-E_0]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)]</math>

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen <math>a(n+N)=a(n)</math> erfüllen, sind ebene Wellen:

:<math>a(n)=\mathrm e^{ikn}, \qquad k=\frac{2\pi}{N}m \qquad \text{mit} \quad m=0,1, \dots, N-1</math>

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

:<math>E-E_0=J(1-\cos(k))</math>

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

=== r=2 ===
Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

:<math>|\Psi\rangle = \sum^N_{n1<n2}a(n_1,n_2)|n_1,n_2\rangle</math>

Bethes Ansatz für die Koeffizienten <math>a(n_1,n_2)</math> sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden <math>A_1</math> und <math>A_2</math>:

:<math>a(n_1,n_2)=A_1\mathrm e^{i(k_1n_1+k_2n_2)}+A_2\mathrm e^{i(k_1n_2+k_2n_1)}</math>

Die Parameter <math>A_1</math> und <math>A_2</math> werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

:<math>\frac{A_1}{A_2}=\mathrm e^{i \theta}=-\frac{\mathrm e^{i(k_1+k_2)}+1-2\mathrm e^{ik_1}}{\mathrm e^{i(k_1+k_2)}+1-2\mathrm e^{ik_2}}</math>

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

:<math>a(n_1,n_2)=\mathrm e^{i(k_1n_1+k_2n_2+\frac{1}{2}\theta_{12})}+\mathrm e^{i(k_1n_2+k_2n_1+\frac{1}{2}\theta_{21})}</math>

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen <math>k_1,k_2</math> und der Winkel <math>\theta=\theta_{12}=-\theta_{2,1}</math> folgende Gleichungen erfüllen müssen:

:<math>2\cot \frac{\theta}{2}=\cot\frac{k_1}{2}-\cot\frac{k_2}{2} \qquad
Nk_1=2\pi\lambda_1+\theta\qquad Nk_2=2\pi\lambda_2-\theta</math>

wobei die ganzen Zahlen <math>\lambda_i={0,1, \dots, N} </math> ''Bethe-Quantenzahlen'' genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für <math>r=2</math> bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

:<math>E-E_0=J\sum_{j=1,2}(1-\cos(k_j))</math>

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit <math>r</math> umgeklappten Spins bestehen.

=== r beliebig ===
Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit <math>r</math> umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

:<math>|\Psi\rangle = \sum^N_{n1 < n2 < \dots < n_r} a(n_1, n_2, \dots, n_r)|n_1, n_2, \dots, n_r\rangle</math>

mit den Koeffizienten:

:<math>a(n_1, \dots, n_r)=\sum_{P\in S_r}\exp\left(i\sum^r_{j=1}k_{P_j}n_j+i\sum_{i<j}\theta_{P_iP_j} \right)</math>

Die Summe läuft dabei über alle möglichen <math>r!</math> [[Permutation]]en der Zahlen <math>{1, \dots, r}</math>. Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als ''Bethe-Ansatz'' bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den ''Bethe-Ansatz-Gleichungen'':

:<math>\begin{alignat}{2}
2 \cot \frac{\theta_{ij}}{2}&=\cot\frac{k_i}{2}-\cot\frac{k_j}{2} &\qquad \text{mit}\quad& i,j=1, \dots, r \\
Nk_i&=2\pi\lambda_i+\sum_{j \neq i}\theta_{ij}&&\lambda_i={1, \dots ,N-1}
\end{alignat}</math>

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen <math>(\lambda_1, \dots, \lambda_r)</math>, die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

:<math>(E-E_0)=J\sum^r_{j=1}(1-\cos k_j)</math>

angegeben werden.

== Weblinks ==
* [http://www.phys.uri.edu/gerhard/introbethe.html Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4121011-6|LCCN=sh98004187}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Hans Bethe]]

Bethe-Ansatz - Versionsgeschichte

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