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2025-01-18T16:31:55Z

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[[Datei:Beta distribution pdf.svg|mini|300px|Beta-Verteilung für verschiedene Parameterwerte]]
[[Datei:Beta distribution cdf.svg|mini|300px|Kumulative Verteilungsfunktion für verschiedene Parameterwerte]]
Die '''Beta-Verteilung''' ist eine Familie stetiger [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en über dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>(0,1)</math>, parametrisiert durch zwei Parameter, die häufig als ''p'' und ''q'' – oder auch als ''α'' und ''β'' – bezeichnet werden. In der [[Bayessche Statistik|bayesschen Statistik]] ist die Beta-Verteilung die konjugierte a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bernoulli-, Binomial-, der negativen Binomial- und der geometrischen Verteilung.

== Definition ==
Die Beta-Verteilung <math>\operatorname{Beta}(p,q)</math> ist definiert durch die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x) = \frac{1}{\Beta(p,q)} x^{p-1}(1-x)^{q-1}.</math>

Außerhalb des Intervalls <math>(0,1)</math> wird sie durch <math>f(x)=0</math> fortgesetzt. Für <math>p,q \geq 1</math> lässt sich <math>(0,1)</math> durch <math>[0,1]</math> ersetzen. Die Beta-Verteilung besitzt die reellen Parameter <math>p</math> und <math>q</math> (in den nebenstehenden Grafiken <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird <math>p,q > 0</math> (bzw. <math>\alpha,\beta > 0</math>) gefordert.

Der Vorfaktor <math>1/\Beta(p,q)</math> dient der Normierung. Der Ausdruck
:<math>\Beta(p,q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} = \int_0^1 u^{p-1} (1-u)^{q-1}\, \mathrm{d}u</math>
steht für die [[Eulersche Betafunktion|Betafunktion]], nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]].

Die [[Verteilungsfunktion]] ist entsprechend
:<math> F(x)=\begin{cases}
0 &\text{falls}\; x\leq 0,\\
I_x(p,q) &\text{falls}\; 0 < x \leq 1,\\
1 &\text{falls}\; x>1\\
\end{cases}</math>
mit
:<math>I_x(p,q):=\frac{1}{\Beta(p,q)}\int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u.</math>
Die Funktion <math>I_x(p,q)</math> heißt
auch ''regularisierte unvollständige Betafunktion''.

== Eigenschaften ==

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] berechnet sich zu
:<math>\operatorname{E}(X) = \frac{p}{p+q}</math>.

=== Modus ===

Der [[Modus (Stochastik)|Modus]], also die Maximalstelle der Dichtefunktion <math>f</math>, ist für <math>p>1</math>, <math>q>1</math>
:<math>\left(1+\frac{q-1}{p-1}\right)^{-1}=\frac{p-1}{p+q-2}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}</math>.

=== Standardabweichung ===
Für die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] ergibt sich
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^2}}</math>.

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p(p+q+1)}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{2(q-p)\sqrt{p+q+1}}{(p+q+2)\sqrt{pq}}</math>.

=== Höhere Momente ===
Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente
:<math>\operatorname{E}(X^k) = \prod_{r=0}^{k-1} \frac{p+r}{p+q+r}</math>.

=== Symmetrie ===
Die Beta-Verteilung ist für <math>p=q</math> [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um <math>x=\frac{1}{2}</math> mit der Schiefe <math>\operatorname{v}(X)=0</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] einer betaverteilten Zufallsgröße lautet
:<math>M_X(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \prod_{k=0}^{n-1} \frac{p+k}{p+q+k} \right) \frac{t^n}{n!}</math>.

Mit der [[Kummersche Funktion|hypergeometrischen Funktion]] <math> _{1}F_1 </math> erhält man die Darstellung
:<math>M_X(t)= {}_{1}F_1(p;q;t) </math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]]
:<math> \varphi_X(t)= {}_{1}F_1(p;q;it) </math>.

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==

=== Spezialfälle ===
* Für <math>p = q = 1</math> ergibt sich als Spezialfall die [[stetige Gleichverteilung]].
* Für <math>p = q = \frac{1}{2}</math> ergibt sich als Spezialfall die [[Arcsin-Verteilung]].

=== Grenzfälle ===
* Für <math>p \rightarrow 0</math> und konstantes <math>q</math> geht die Beta-Verteilung in eine [[Bernoulli-Verteilung]] <math>\operatorname{Ber}\left(0\right)</math> über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann [[fast sicher]] den Wert null). Dasselbe gilt für <math>q \rightarrow \infty</math> bei konstantem <math>p</math>.
* Für <math>q \rightarrow 0</math> und konstantes <math>p</math> geht die Beta-Verteilung in eine [[Bernoulli-Verteilung]] <math>\operatorname{Ber}\left(1\right)</math> über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann [[fast sicher]] den Wert eins). Dasselbe gilt für <math>p \rightarrow \infty</math> bei konstantem <math>q</math>.
Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln für Erwartungswert und Varianz: Der Erwartungswert geht gegen null bzw. eins, die Varianz beide Male gegen null.

=== Beziehung zur Gammaverteilung ===
Wenn <math>X \sim \gamma(p_1,b)</math> und <math>Y \sim \gamma(p_2,b)</math> unabhängige [[Gammaverteilung|gammaverteilte]] Zufallsvariablen sind mit den Parametern <math>p_1, b</math> bzw. <math>p_2, b</math>, dann ist die Größe <math>\tfrac{X}{X+Y}</math> betaverteilt mit Parametern <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, kurz
:<math>\operatorname{Beta}(p_1,p_2) \sim \frac{\gamma(p_1,b)}{\gamma(p_1,b)+\gamma(p_2,b)}.</math>

=== Beziehung zur stetigen Gleichverteilung ===
Sind <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> unabhängige auf <math>[0,1]</math> [[Stetige Gleichverteilung|stetig gleich verteilte]] Zufallsvariable, dann sind die [[Ordnungsstatistik]]en <math>X_{(1)}, X_{(2)}, \dotsc, X_{(n)}</math> betaverteilt. Genauer gilt
:<math>X_{(k)} \sim \operatorname{Beta}(k, n-k+1)</math>
für <math>k = 1,\dotsc,n</math>.

=== Mischverteilungen ===
Eine [[Binomialverteilung]], deren Parameter <math> p </math> betaverteilt ist, nennt man [[Beta-Binomialverteilung]]. Dies ist ein spezieller Fall einer [[Mischverteilung]].

== Beispiel ==
{{Hauptartikel|Bestimmtheitsmaß}}
Die Beta-Verteilung kann aus zwei [[Gammaverteilung]]en bestimmt werden: Der Quotient <math>X = U/(U+V)</math> aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen <math>U</math> und <math>V</math>, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern <math>b</math> und <math>p_u</math> bzw. <math>p_v</math>, ist betaverteilt mit den Parametern <math>p_u</math> und <math>p_v</math>. <math>U</math> und <math>V</math> lassen sich als [[Chi-Quadrat-Verteilung]]en mit <math>2p_u</math> bzw. <math>2p_v</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]] interpretieren.

Mit Hilfe der [[Lineare Regression|linearen Regression]] wird eine geschätzte Regressionsgerade <math>\hat y =\hat \beta_0 + \hat \beta_1 x_i</math> durch eine „[[Streudiagramm|Punktwolke]]“ mit <math>n</math> Wertepaaren <math>\{x_i;y_i\}_{i=1,\dots ,n}</math> zweier statistischer Merkmale <math>X</math> und <math>Y</math> gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der <math>y_i</math>-Werte von der Geraden <math>\hat y_i</math> minimiert wird.

Die Streuung der Schätzwerte <math>\hat{y}_i</math> um ihren Mittelwert <math>\overline{\hat{y}}=\overline{y}</math> kann durch <math>\textstyle\text{SSE}\equiv\sum\nolimits_{i=1}^n (\hat{y}_i- \overline{y})^2</math> gemessen werden und die Streuung der Messwerte <math>y_i</math> um ihren Mittelwert kann durch <math>\textstyle\text{SST}\equiv\sum\nolimits_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2</math> gemessen werden. Erstere stellt die „(durch die Regression) [[Erklärte Abweichungsquadratsumme|erklärte Quadratsumme]]“ (''sum of squares explained'', kurz: ''SSE'') und letztere stellt die „[[totale Quadratsumme]]“ (''sum of squares total'', kurz: ''SST'') dar. Der [[Quotient]] dieser beiden Größen ist das Bestimmtheitsmaß:

:<math>\mathit{R}^2 \equiv \frac{\text{SSE}}{\text{SST}}</math>.

Die „(durch die Regression) nicht erklärte Quadratsumme“ bzw. die „[[Residuenquadratsumme]]“ (''residual sum of squares'', kurz ''SSR'') ist durch <math>\textstyle\text{SSR}\equiv\sum\nolimits_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2</math> gegeben. Durch die [[Quadratsummenzerlegung]] <math>\text{TSS}=\text{ESS}+\text{RSS}</math> lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch darstellen als

:<math>\mathit{R}^2 = \frac{\text{SSE}}{\text{SSE}+\text{SSR}}</math>.

Es ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des [[Korrelationskoeffizient]]en von <math>x</math> und <math>y</math> darstellt (<math>R^2= r^2</math>), ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt. Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim [[globaler F-Test|globalen ''F''-Test]] durch die [[F-Verteilung|''F''-Verteilung]] angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

== Verallgemeinerung: Beta-Verteilung auf (a,b) ==
=== Definition ===
Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
:<math>f(x) = \frac{1}{B(a,b,p,q)} (x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1}, </math>
wobei <math>a</math> und <math>b</math> die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von <math>B</math> zu
:<math>B(a,b,p,q)=\int_a^b (u-a)^{p-1} (b-u)^{q-1}\mathrm{d}u = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}(b-a)^{p+q-1}.</math>

=== Eigenschaften ===
Ist <math>X</math> betaverteilt auf dem Intervall <math>(0,1)</math> mit Parametern <math>p</math>, <math>q</math>, dann ist
: <math>Y = (b-a)X + a</math>
betaverteilt auf dem Intervall <math>(a,b)</math> mit den gleichen Parametern <math>p</math>, <math>q</math>. Ist umgekehrt <math>Y</math> betaverteilt auf <math>(a,b)</math>, dann ist
: <math>X = \frac{Y-a}{b-a}</math>
betaverteilt auf <math>(0,1)</math>.

=== Beispiel ===
Im [[Binomialtest|Dreieckstest]] werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt <math>\tfrac{1}{3}</math>.

[[Datei:Betaverteilung von einem drittel bis eins.svg|mini|300px|Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeiten einer Stichprobe im Dreieckstest (schwarze Linie) bei einer Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von <math>1/3</math> (blaue Linie)]]
Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter <math>\tfrac{1}{3}</math>. Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten <math>c</math> mit <math>0<c<1</math> die Beta-Verteilung auf <math>(c,1)</math> hergeleitet.<ref>Brockhoff, Per Bruun. "The statistical power of replications in difference tests." ''Food Quality and Preference'' 14.5 (2003): 405-417.</ref> Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf <math>(0,1)</math>.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten <math>\pi_{i}</math> der einzelnen Probanden <math>i=1, \dots, n</math> seien zunächst betaverteilt auf <math>(0,1)</math> mit Parametern <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf <math>(c,1)</math> ergeben sich aus
<math>p_{i}=c+(1-c)\pi_{i}</math>. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>p_{i}</math> lässt sich über den [[Transformationssatz für Dichten]] bestimmen. Die Beta-Verteilung von <math>\pi_{i}</math> hat eine positive Dichte im Intervall <math>(0,1)</math>. Die Transformation <math>u\colon (0,1)\rightarrow(c,1)</math> mit <math>u(\pi)=c+(1-c)\pi=p</math> ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion <math>u^{-1}(p)=\frac{p-c}{1-c}</math>. Für die gesuchte Dichtefunktion von <math>p</math> erhält man

:<math>f_{p}(p)=f_{\pi}(u^{-1}(p))\left|\frac{\partial}{\partial p}u^{-1}(p)\right|=f_{\pi}\left(\frac{p-c}{1-c}\right)\left|\frac{1}{1-c}\right|=\frac{1}{1-c}f_{\pi}\left(\frac{p-c}{1-c}|\alpha,\beta\right)</math>.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>p</math> auf <math>(c,1)</math> wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von <math>\pi</math> auf <math>(0,1)</math> dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf <math>(\tfrac{1}{3}, 1)</math> mit Parametern <math>\alpha=0{,}5</math> und <math>\beta=4</math> eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt <math>40{,}7\,\%</math>. Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit <math>7{,}4\,\%</math> über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von <math>33{,}3\,\%</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* Sigrid Markstein: [https://www.guides-dresden.de/BETA-Verteilung.pdf ''Mathematische und rechentechnische Aufbereitung der Betaverteilung 1. Art für technologische Untersuchungen.'']

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Beta-Verteilung - Versionsgeschichte

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