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2024-04-27T21:55:39Z

Die Formel: so sehen die sich ähnlich

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Die '''Besselsche Interpolationsformel''' gehört zu den [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsformeln]] mit äquidistanten Stützstellen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Funktionen als Polynome ''n''-ten Grades darstellen.
''n'' bestimmt sich aus den (''n+1'') Stützstellen. Sie wurde nach [[Friedrich Wilhelm Bessel]], ihrem Urheber, benannt.

== Differenzentabelle ==
Zuerst erstellt man eine sogenannte Differenzentabelle, in der die Interpolationspunkte <math>x_i</math> in gleichen Abständen aufeinander folgen. Dieser Abstand ''h'' berechnet sich nach <math>h=x_{i+1}-x_i</math>. <math>x_0</math> liegt in der Mitte der Stützpunkte.
Die Differenzen berechnen sich nun wie folgt: <math>\Delta f_i=f_{1+i}-f_i</math>, alle weiteren analog dazu <math>\Delta^kf_i=\Delta^{k-1}f_{i+1}-\Delta^{k-1}f_i</math>.

== Die Formel ==
Die Berechnung des Polynoms <math>\varphi</math> erfolgt dann mit der Formel:

<math>\varphi=f_0+u\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\cdot\frac{\Delta^2f_{-1}+\Delta^2f_0}{2}+\frac{u(u-1)(u-0,5)}{3!}\cdot\Delta^3f_{-1}</math>
<math>+\frac{u(u^2-1)(u-2)}{4!}\cdot\frac{\Delta^4f_{-2}+\Delta^4f_{-1}}{2}+...</math>
<math>...+\frac{(u-0,5)u(u^2-1)...(u^2-(n-1)^2)(u-n)}{(2n+1)!}\cdot\Delta^{2n+1}f_{-1}</math>

mit <math>u=\frac{x-x_0}{h}</math>.

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Besselsche Interpolationsformel - Versionsgeschichte

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