imported>Docosanus: /* Literatur */ Verlinkung: Eugene Hecht

2024-05-25T12:18:05Z

Literatur: Verlinkung: Eugene Hecht

Neue Seite

Als '''Bessel-Verfahren''' oder '''Bessel-Methode''' wird eine [[Messung|Messmethode]] zur Bestimmung der [[Brennweite]] <math>f</math> einer [[Sammellinse]] bezeichnet. Sie ist benannt nach [[Friedrich Wilhelm Bessel]], der sie im Jahre 1840 publizierte.<ref>F. W. Bessel: ''Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres.'' In: [[Astronomische Nachrichten]], Band XVII (1840), No. 403, S. 289–294 ([https://articles.adsabs.harvard.edu/full/1840AN.....17..289B Digitalisat])</ref>

== Grundlagen ==
[[Datei:Bessel Method.png|mini|300px|Aufbau und Bezeichnungen]]
Wenn ein Gegenstand ''G'' mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild ''B'' abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position <math>P_1</math> ist das Bild vergrößert, in der Position <math>P_2</math> ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand <math>a</math> des Gegenstandes zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite <math>f</math> zuzüglich der Distanz <math>\overline{HH'}</math> der beiden [[Hauptebene (Optik)|Hauptebenen]] der Linse:

:<math>a>4f+\overline{HH'}</math>

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände <math>x_1</math> und <math>x_2</math> von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand <math>e</math> der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

:<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math>  für [[dünne Linse]]n,
:<math>f=\frac{(a-\overline{HH'})^2-e^2}{4(a-\overline{HH'})}</math>  für dicke Linsen
berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der [[Linsengleichung]] hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen ''H'' und ''H′'' nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von <math>\overline{HH'}</math> zu groß, abhängig von <math>a</math>.

Gegenüber dem aufwändigeren [[Abbe-Verfahren]], mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

== Herleitung ==
=== Dünne Linsen ===
[[Bild:Sammellinse Skizze.svg|mini|hochkant=2|Bezeichnungen an der dünnen Linse]]
'''1. Herleitung:''' 
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt: 
:<math>b+g=a</math>, 
wobei <math>b</math> die [[Bildweite]] und <math>g</math> die [[Gegenstandsweite]] ist.
Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:
:<math>e=a-2b</math> 
(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand <math>e</math> der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden). 
Unter Benutzung der [[Linsengleichung]]
:<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}</math> 
und Einsetzen von <math>g=a-b</math> sowie
:<math>b=\frac{a-e}{2}</math>
erhält man
:<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{\frac{a-e}{2}}+\frac{1}{a-\frac{a-e}{2}}=\frac{2}{a-e}+\frac{2}{a+e}=\frac{4a}{a^2-e^2}</math>.
Die Umformung ergibt
:<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math>.

'''2. Herleitung:''' 
Unter Benutzung der Linsengleichung
:<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}</math>
und Einsetzen von <math>b=a-g</math> (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für <math>g</math>:
:<math>\frac{1}{f}=\frac{a}{ag-g^2}</math>.
Wird diese [[quadratische Gleichung]] nach <math>g</math> aufgelöst, erhält man
:<math>e=\Delta g=\sqrt{a^2-4af}</math>.
wobei <math>e</math> als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten <math>g</math> definiert ist.
Die Umformung ergibt
:<math>f=\frac{a^2-e^2}{4a}</math> .

=== Dicke Linsen ===
Der Abstand der Hauptebenen <math>\overline{HH'}</math> ist nicht vernachlässigbar. Es gilt
:<math>a=g+b+\overline{HH'}</math> und
:<math>e=(a-\overline{HH'})-2b</math> . 
Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel
:<math>f=\frac{(a-\overline{HH'})^2-e^2}{4(a-\overline{HH'})}</math> .

== Literatur ==
* [[Eugene Hecht]]: ''Optik'', Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

== Anmerkungen ==
<references />

{{SORTIERUNG:Besselverfahren}}
[[Kategorie:Geometrische Optik]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Bessel-Verfahren - Versionsgeschichte

imported>Docosanus: /* Literatur */ Verlinkung: Eugene Hecht