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2026-04-21T15:05:44Z

Biegelinie: Bessere Lesbarkeit: bei Doppelklammern eckige Klammern ersetzt

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[[Datei:Bessel balken.png|mini|Verbiegung (stark überhöht) eines [[Balkentheorie|gleichmäßig belasteten Balkens]] für verschiedene Paare von Auflagepunkten; blau: Bessel-Punkte]]

Die '''Bessel-Punkte''' sind die beiden symmetrisch angeordneten Auflagerungspunkte eines [[Träger (Statik)|Längsträgers]], bei denen dieser die geringstmögliche schwerkraftbedingte [[Verformung]] erfährt. Die optimalen Bedingungen für diese minimale Verformung können nach unterschiedlichen Kriterien definiert werden. Erstmals berechnet wurden derartige Punkte von [[Friedrich Wilhelm Bessel]] im Zusammenhang mit Normierungen von [[Maßverkörperung|Längenmaßen]] bei der Definition des [[Alte Maße und Gewichte (Preußen)#Längenmaße|preußischen Maßsystems]]. In Normen der Längenmesstechnik werden Bessel-Punkte als Auflagepunkte definiert, welche die Längenänderung eines gebogenen Lineals in der Messebene minimieren.<ref name=will19>{{Internetquelle |autor=Peter Will |url=https://www.researchgate.net/profile/Peter-Will-3/publication/279912622_Bessel-Punkte_Optimierte_Lagerung/links/5d95dd6f299bf1c363f3f3ef/Bessel-Punkte-Optimierte-Lagerung.pdf |titel=Optimale Lagerung |titelerg= |werk=Technische Mechanik |hrsg=Hochschulverlag Mittweida |datum=2019 |seiten=129–132, 179 |format=PDF; 606 KB |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf=2024-10-06}}</ref>

== Biegelinie ==
Die Berechnungsgrundlage für die Auflagerpositionen liefert die [[Balkentheorie]] 1. Ordnung (schubstarrer Balken gemäß der [[Bernoullische Annahmen|Bernoullischen Annahmen]]). Hieraus leitet sich eine Funktion für die [[Durchbiegung]] <math>w(x)</math> des Balkens in Abhängigkeit der Längenkoordinate <math>x</math> ab – die [[Biegelinie]]. Für den relevanten Fall eines gleichmäßig belasteten, symmetrischen Balkens der Länge L auf zwei Auflagern (mit Abstand a vom jeweiligen Trägerende) ergeben sich drei Bereiche (I, II, III), welche jeweils mit einer [[Ganzrationale Funktion|Polynomfunktion]] [[Polynom vierten Grades|vierten Grades]] beschrieben werden können. In der Klappbox ist die Herleitung der Abschnitte I (0 ≤ x ≤ a) und II (a ≤ x ≤ L – a) dargestellt.

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:58em; margin-left:1em;"
|-
! colspan="2" style="text-align:left;"| Herleitung der Biegelinie in den Abschnitten I und II
|-
|colspan="2"|
<math>w''</math>…[[Krümmung]], <math>w'</math>…[[Steigung#Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve|Steigung]], <math>w</math>…[[Durchbiegung]],<br />
<math>x</math>…Längenkoordinate des Balkens, <math>a</math>…Abstand der Auflager zum jeweils nähesten Balkenende, <math>L</math>…Balkenlänge,<br />
<math>M_b</math>…[[Biegemoment]], <math>q_{ges}</math>…[[Streckenlast]], <math>E</math>…[[Elastizitätsmodul]], <math>I_y</math>…[[Flächenträgheitsmoment|axiales Flächenträgheitsmoment]]
|-
|style="padding-left:1.6em;"| Abschnitt I   (0 ≤ x ≤ a)
|style="padding-left:1.6em;"| Abschnitt II   (a ≤ x ≤ L – a)
|-
|style="border-style: none solid none none; border-width: thin; border-color:gray"|
:<math>M_b(0 \leq x \leq a) = -{\frac{q_{ges}}2}x^2</math>
:<math>w''_\mathrm{I}(x) = -{\frac1{EI_y}}M_b(x) = {\frac{1}{EI_y}}{\frac{q_{ges}}2}x^2</math>
:<math>w'_\mathrm{I}(x) = \frac1{EI_y}\left(\frac{q_{ges}}6 x^3 + C_1\right)\,</math>
:<math>w_\mathrm{I}(x) = \frac1{EI_y}\left(\frac{q_{ges}}{24} x^4 + C_1x + C_2\right)\,</math>
|
:<math>M_b(a \leq x \leq L - a) = -{\frac{q_{ges}}2}x^2 + \frac{q_{ges}L}2(x-a)</math>
:<math>w''_\mathrm{II}(x) = \frac1{EI_y}\left[\frac{q_{ges}}2 x^2 - \frac{q_{ges}L}2 (x-a) \right]\,</math>
:<math>w'_\mathrm{II}(x) = \frac1{EI_y}\left[\frac{q_{ges}}2 \left(\frac13x^3 - \frac12Lx^2 + Lax \right) + C_3 \right]\,</math>
:<math>w_\mathrm{II}(x) = \frac1{EI_y}\left[\frac{q_{ges}}4 \left(\frac16x^4 - \frac13Lx^3 + Lax^3\right)\!+ C_3x + C_4 \right]</math>
|-
|colspan="2"| Symmetrie-, Lager- und Übergangsbedingungen:
SB-1:
:<math> w'_\mathrm{II}(L/2) = 0 \Rightarrow C_3 = -\frac{q_{ges}}{24} L^2 (6a-L)</math>
LB-1:
:<math> w_\mathrm{II}(a) = 0 \Rightarrow C_4 = \frac{q_{ges}}{24} a(-a^3-4a^2L +6aL^2-L^3)</math>
ÜB-1:
:<math> w'_\mathrm{I}(a) = w'_\mathrm{II}(a) \Rightarrow C_1 = \frac{q_{ges}}{24} L(6a^2-6aL+L^2)</math>
LB-2:
:<math> w_\mathrm{I}(a) = 0 \Rightarrow C_2 = -\frac{q_{ges}}{24} a(a^3+6a^2L-6aL^2+L^3)</math>
Biegelinie <math>w(x)</math>:
:<math>w_\mathrm{I}(0 \leq x \leq a) = \frac{q_{ges}}{24EI_y} \left[x^4 + (6a^2L - 6aL^2 + L^3)x - a^4 - 6a^3L + 6a^2L^2 - aL^3\right]</math>,
:<math>w_\mathrm{II}(a \leq x \leq L-a) = \frac{q_{ges}}{24EI_y} \left[x^4 - 2Lx^3 + 6aLx^2 - (6aL^2 - L^3)x - a^4 - 4a^3L + 6a^2L^2 - aL^3\right]</math>.
|}

== {{Anker|Airy-Punkte}} Optimale Lagerungspunkte nach verschiedenen Definitionen ==
[[Datei:Beam supported at Bessel points.png|mini|Lagerung eines Balkens auf Bessel-Punkten: geringste Balken-Verkürzung (gemessen an den Balkenenden in Höhe der [[Neutrale Faser|neutralen Ebene]])]]
[[Datei:Beam supported at airy points.png|mini|Lagerung eines Balkens auf Airy-Punkten: parallele Balken-Endflächen]]
[[Datei:US National Length Meter.JPG|mini|Beispiel für ein horizontales Strichmaß: Kopie Nr. 27 des [[Urmeter]]s von 1889 für die [[Vereinigte Staaten|USA]]]]

Wenn ein [[Homogenität (Physik)|homogener]] und über seine gesamte Länge gleichmäßig belasteter, prismatischer Balken auf zwei Stützstellen lagert, unterliegt er einer [[Gravitation|schwerkraftbedingten]] [[Verformung]], die auch eine [[Biegeverkürzung|Verkürzung]] seiner Länge mit sich bringt.<ref name="Nijsse39" /> Für den einfachsten Fall der [[Lager (Statik)|Lagerung]] auf zwei Stützstellen, die jeweils den gleichen Abstand <math>a</math> von den Enden des Trägers mit der Gesamtlänge <math>L</math> haben, wurden gemäß der [[Balkentheorie]] 1. Ordnung die Verhältniswerte <math>a/L</math> für die jeweils optimalen Lagerpositionen nach verschiedenen Kriterien berechnet (siehe Tabelle).

{| class="wikitable" style="width:75em;"

! rowspan="2" style="width:15em;"| Optimierungskriterium
! colspan="2"| Erläuterung
|-
! style="text-align: left; width: 20em;"| <math>a/L-</math>Wert (numerisch)
! style="text-align:left;"| Bedingung für Biegelinie und ggfs. exakte Lösung
|-
! rowspan="3"|''Minimale Längenverkürzung (Enden der neutralen Faser)''
! colspan="2"|
|-
|colspan="2"|[[Friedrich Wilhelm Bessel]] bestimmte die Position der Auflager für die ''geringste Längenverkürzung des Trägers in seiner mittleren Fläche'', der [[Neutrale Faser|neutralen Ebene]]. Das Längenkriterium war für Bessel wichtig, weil er sich mit der Lagerung von Messstangen beschäftigte, die mit dem [[Normal]] des [[Preußen|preußischen]] [[Maßeinheit|Längenmaßes]] verglichen werden sollten.<ref>F. W. Bessel: ''Darstellung der Untersuchungen und Maaßregeln, welche, in 1835 bis 1838, durch die Einheit des Preußischen Längenmaaßes veranlaßt worden sind.'' Beilage I. ''Einfluss der Schwere auf die Figur eines, auf zwei Punkten von gleicher Höhe aufliegenden Stabes.'' Berlin 1839, S. 132 ([https://books.google.de/books?id=TdEEAAAAYAAJ&pg=PA121&hl=de&source=gbs_toc_r&cad=3#v=onepage&q&f=false dig]).</ref> Wird zur [[Kalibrierung|Längenkalibrierung]] ein horizontales ''Strichmaß'' wie z. B. das [[Urmeter]] von 1889 (X-förmiger Querschnitt mit Strich-Markierungen auf der neutralen Ebene) verwendet, so kann mit dieser a/L-Konfiguration die größtmögliche Genauigkeit erzielt werden.
|-
|<math>\approx 0{,}22031</math>
|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\int_{0}^L(w')^2\,\mathrm dx\right) = 0</math>
|-
! rowspan="3"| ''Minimale Längenverkürzung (Enden der Randfaser)''
! colspan="2"|
|-
|colspan="2"| Im gleichen Zusammenhang bestimmte Bessel auch die Lageposition für die ''geringste Längenveränderung an der Oberfläche'', an der die Skala der Messstange eingraviert ist. Für diesen Fall stehen die Endflächen des Trägers zueinander [[Parallelität (Geometrie)|parallel]], d. h. die Winkeländerung der Enden wird ebenfalls minimiert.<ref>F. W. Bessel, Berlin 1839, S. 135.</ref> [[Endmaß]]e wie die [[Urmeter#Herstellung des ersten Urmeters|Urmeter]] von 1795 und 1799, deren Gesamtlänge als Abstand zwischen ihren Endflächen definiert ist, müssen mit diesem Lagerabstand unterstützt werden. Zu Ehren von [[George Biddell Airy]], der sich ebenfalls mit der Problematik beschäftigte, werden diese Positionen in der Literatur auch als '''„Airy-Punkte“''' bezeichnet.<ref>{{cite journal |author=G. B. Airy |date=10. Januar 1845 |title=On the Flexure of a uniform Bar supported by a number of equal Pressures applied at equidistant points, and on the Positions proper for the Applications of these Pressures, in order to prevent any sensible Alteration of the Length of the Bar by small Flexure. |language=en |journal=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]] |volume=6 |issue=12 |pages=143–146 |url=[http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1845MNRAS...6..143A dig] |format= }}</ref>
|-
|<math>\approx 0{,}211325</math>
|<math>w'(0) = w'(L-a) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \tfrac12 - \tfrac1{2\sqrt{3}}</math>
|-
! rowspan="3"| ''Minimaler Wert des Durchbiegungsmaximums''
! colspan="2"|
|-
|colspan="2"|Eine ''minimale Biegung'' über die gesamte Trägerlänge wird erreicht, wenn die Durchbiegungen in der Mitte und an den Enden des Balkens identisch sind.<ref name="Nijsse39">Gert-Jan Nijsse: ''Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance.'' Delft 2001, S. 39f.</ref>
|-
|<math>\approx 0{,}223149</math>
|<math>w(0) = w(L/2) = w(L)</math>
|-
! rowspan="3"| ''Null-Biegung in der Balkenmitte''
! colspan="2"|
|-
| colspan="2"|Bei dieser Lagerung nimmt die Durchbiegung in der Balkenmitte den Wert 0 an.<ref name="Nijsse39" />
|-
|<math>\approx 0{,}238613</math>
|<math>w(L/2) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \sqrt{\tfrac{15}2} - \tfrac52</math>
|-
! rowspan="3"| ''Null-Biegung am Balkenende''
! colspan="2"|
|-
|colspan="2"|Sollen die Balkenenden im Vergleich zum Niveau der Auflagerpunkte nicht durchgebogen sein, gilt diese Lagerung.
|-
|<math>\approx 0{,}214175</math>
|<math>w(0) = w(L) = 0</math>
|-
! rowspan="3"| ''Minimale mittlere Durchbiegung''
! colspan="2"|
|-
|colspan="2"|Die minimale ''mittlere Durchbiegung über die gesamte Länge'' erhält man durch das Kriterium einer minimalen [[Festigkeitslehre#Formänderungsenergie|Formänderungsenergie]].<ref name=will19/><ref>{{Internetquelle |autor=Peter Will |url=https://www.me.hs-mittweida.de/webs/pwill/pwill-6/ |titel=Optimale Lagerung |werk=Technische Mechanik 2023 |hrsg=Hochschulverlag Mittweida |datum=2023-07-15 |seiten=142–145 |format=PDF; 1,67 MB |abruf=2024-10-06}}</ref> Es ergeben sich horizontale Tangenten an den Auflagern (Betragsgleichheit der dort wirkenden [[Biegemoment]]e).
|-
|<math>\approx 0{,}224745</math>
|<math>w'(a) = w'(L-a) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \sqrt{\tfrac32} - 1</math>
|-
! rowspan="3"| ''Minimales Biegespannungsmaximum''
! colspan="2"|
|-
| colspan="2"|Für die ''geringste maximale [[Biegemoment#Biegemoment_und_Biegespannung|Biegespannung]]'' des Trägers mit der [[Streckenlast]] <math>q_{ges}</math> ist das [[Biegemoment]] an den Stützstellen <math>M_b(a)</math> und <math>M_b(L-a)</math> betragsgleich dem Biegemoment <math>M_b(L/2)</math> in der Trägermitte.
|-
|<math>\approx 0{,}207107</math>
|<math>|M_b(a)| = |M_b(L-a)| = |M_b(L/2)| \quad \Rightarrow \, a/L = \tfrac1{\sqrt{2}} - \tfrac12</math>
|-
! rowspan="3"| ''Null-Krümmung im Bereich der halben Balkenlänge''
! colspan="2"|
|-
| colspan="2"|Bei dieser Art der Lagerung bildet sich im Verlauf der Biegelinie des Trägers ein Bereich aus, in dem diese nicht bzw. kaum [[Biegelinie#Zusammenhang mit der Balkenkrümmung|gekrümmt]] ist. Dies kann von Interesse sein, wenn in der Mitte des Trägers eine möglichst ebene Auflagefläche erwünscht ist.
|-
|<math>=0{,}25</math>
|<math>w''(L/2) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \tfrac14</math>
|}

== Lagerung von Messplatten ==

Geschliffene und polierte Präzisions-Messplatten (aus [[Hart- und Weichgestein#Hartgestein|Hartgestein]] wie [[Granit#Überblick|Granit]]) finden Verwendung als Basis für Kontroll-, Montage- und Laborzwecke. Die Durchbiegung aufgrund ihres hohen Eigengewichtes kann durch eine ''Besselsche 3-Punkt-Lagerung'' minimiert werden. Es gilt dabei die vereinfachte Konvention, dass sich 2 Auflagepunkte um jeweils 22 % der Länge sowie 22 % der Breite von den Außenkanten entfernt befinden müssen. Diesen gegenüberliegend ist der dritte Punkt im Abstand von 50 % der Breite und 22 % der Länge von den jeweiligen Rändern anzuordnen.

== Literatur ==
* Gert-Jan Nijsse: ''Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance.'' Delft University Press, Delft 2001, ISBN 90-407-2187-4 ([http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:d0ee41a2-2b65-4c7d-b54c-1cfafac63485/?collection=research repository.tudelft.nl]).
* {{Literatur| Autor=R. R. Reed| Titel=A glass beam reference surface for quality control measurements| Sammelwerk=Int. J. Mech. Sci.| Band=8| Nummer=11| Datum=1966| Seiten=703–715| DOI=10.1016/0020-7403(66)90049-X}}

== Weblinks ==

*{{Internetquelle |url=https://books.apple.com/de/book/technische-mechanik/id6451335935 |titel=Technische Mechanik – Lehrbuch, Kompendium, Formelsammlung |autor=Peter Will |hrsg=Hochschulverlag Mittweida |datum=2023-07-13 |seiten= |format=Apple iBook; 116,1 MB |abruf=2025-08-30 }}
*{{Internetquelle |url=http://www.nadirpoint.de/Wie_man_einen_Balken_richtig_lagert.pdf |titel=Bessel, Airy und andere schlaue Köpfe – Wie man einen Balken lagert |autor=Björnstjerne Zindler |datum=2018-01-02 |format=PDF; 10 MB |abruf=2024-04-19 }}
*{{Internetquelle |url=http://www.excelution.at/bessel-punkte/ |titel=Bessel-Punkte |autor=Friedrich Geyer |datum=2015-01-13 |offline=ja |archiv-url=https://web.archive.org/web/20210128041736/http://www.excelution.at/bessel-punkte/ |archiv-datum=2021-01-28 |abruf=2024-04-19 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Besselpunkt}}
[[Kategorie:Statik]]
[[Kategorie:Baustatik]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Bessel-Punkt - Versionsgeschichte

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