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2025-12-14T06:55:41Z

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Als '''Bessel-Funktionen''' bezeichnet man Funktionen, welche Lösungen der '''besselschen Differentialgleichung''' sind, die eine [[lineare gewöhnliche Differentialgleichung]] zweiter Ordnung ist. Benannt sind die Funktionen und die Gleichung nach dem deutschen Mathematiker [[Friedrich Wilhelm Bessel]]. Die Bessel-Funktionen werden auch '''Zylinderfunktionen''' genannt.

== Besselsche Differentialgleichung ==
Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch
: <math>x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} + \left(x^2 - \nu^2\right)f = 0</math>
definiert ist, wobei <math>x</math> und <math>\nu</math> reelle oder komplexe [[Zahl]]en sind. Die Lösungen heißen ''Bessel-Funktionen <math>\nu</math>-ter Ordnung''.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein [[Differentialoperator]] zweiter Ordnung. Er ist definiert durch
:<math>B_\nu := x^2 \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} + \left(x^2 - \nu^2\right)\, .</math>
Mit ihm kann man die Besselsche [[Differentialgleichung]] kurz ausdrücken durch<ref>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Bessel-Operator |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=978-3-8274-0439-8}}</ref>
:<math>B_\nu f = 0</math>

== Bessel-Funktionen ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg|mini|hochkant=1.3|Die Bessel-Funktionen erster Gattung <math>J_0, J_1</math> und <math>J_2</math>]]
[[Datei:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg|mini|hochkant=1.3|Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung <math>Y_0, Y_1</math> und <math>Y_2</math>]]

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen ''Bessel-Funktionen''. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der [[Laplace-Gleichung]] bei zylindrischer [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von [[Eigenschwingung]]en einer kreisförmigen [[Schwingungsmembran|Membran]] oder einer Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums [[Frequenzmodulation|frequenzmodulierter]] Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von [[Hohlleiter#Rundhohlleiter|Rundhohlleitern]], den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in [[Kernreaktor]]en, der Intensität von [[Beugungsscheibchen|Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern]] sowie bei [[Filter (Elektrotechnik)|Filtern]] in der Elektrotechnik ([[Bessel-Filter]]). Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der [[Mathematische Physik|mathematischen Physik]] zu den [[Spezielle Funktionen|speziellen Funktionen]].

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige [[Lösung (Mathematik)|Lösungen]]. Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben.

=== {{Anker|Bessel-Funktion erster Gattung}}Bessel-Funktionen erster Gattung: ''Jν'' ===
Die Bessel-Funktion <math> J_\nu </math> erster Gattung <math>\nu</math>-ter Ordnung ist definiert als

:<math>
J_\nu(x) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r \left(\frac{x}{2}\right)^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!} \,
</math>,
wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die [[Gammafunktion]] ist. Im Ursprung (<math>x=0</math>) sind diese Funktionen für ganzzahlige <math>\nu</math> endlich.

Für nicht-ganzzahlige <math>\nu</math> sind <math>J_\nu</math> und <math>J_{-\nu}</math> linear unabhängige Lösungen.

Für [[ganzzahlig]]e <math>\nu</math> gilt die Beziehung
:<math>J_{-\nu}(x) = (-1)^\nu J_\nu(x) = J_\nu(-x)\,</math>.
In diesem Fall ist die zweite unabhängige Lösung die Bessel-Funktion zweiter Gattung, die weiter unten diskutiert wird.

==== Integraldarstellungen ====
Für ganzzahlige <math>\nu</math> kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen:
:<math>
J_{\nu}(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \bigl( \cos(\nu \,\varphi) \cos\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] + \sin(\nu \,\varphi) \sin\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] \bigr) \,\mathrm{d}\varphi
</math>
Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion kann dann noch folgende Vereinfachung vorgenommen werden:
:<math>
\begin{align}
J_\nu (x) &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (x \sin \varphi - \nu \varphi) \,\mathrm d \varphi\\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}\,(x \sin \varphi - \nu \varphi)} \,\mathrm d \varphi \,.
\end{align}
</math>
Damit ist <math>J_\nu(x)</math> der <math>\nu</math>-te [[Fourier-Koeffizient]] der Funktion <math>\varphi \mapsto e^{ix\sin \varphi}</math>.

Exemplarisch wird im Folgenden die Bessel-Funktion <math> J_0 </math> dargestellt:
:<math>J_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi} \cos\bigl[x\sin(y)\bigr] \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{2\cos(xz)}{\pi \sqrt{1 - z^2}} \,\mathrm{d}z</math>

==== Hypergeometrische Funktion ====
Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die [[verallgemeinerte hypergeometrische Funktion]] ausgedrückt werden:
:<math>J_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} \;_0F_1 (; \nu+1; -x^2/4).</math>
Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur [[Bessel-Clifford-Funktion]] zusammen.

=== {{Anker|Bessel-Funktion zweiter Gattung}}Bessel-Funktionen zweiter Gattung: ''Yν'' ===
Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung <math>Y_\nu(x)</math> (auch [[Wilhelm Eduard Weber|Weber]]-Funktionen oder [[Carl Gottfried Neumann|Neumann]]-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist <math>N_\nu(x)</math>. Für nicht-ganzzahlige <math>\nu</math> kann man die <math>Y_\nu(x)</math> definieren durch
:<math>Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.</math>
Für ganzzahlige <math>n</math> ist die durch den Grenzübergang <math>\nu \rightarrow n</math> gebildete [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]

:<math>Y_n(x) = \lim_{\nu\to n} Y_\nu(x)</math>

weiterhin eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung gilt auch für die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:
:<math>Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)</math>.

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der [[Regel von de L’Hospital]] ergibt sich

:<math>Y_n(x) =\frac1{\pi}\left[{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!\nu}J_\nu(x)\Big|_{\nu = n} + (-1)^n {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!\nu}J_\nu(x)\Big|_{\nu = -n}\right]
.</math>

Explizit findet man

:<math>
Y_n(x) =\, \frac2{\pi}\left(\gamma+\ln\frac{x}2\right)J_n(x)
- \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}2\right)^{2k-n} - \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{H_k+H_{k+n}}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}2\right)^{2k+n}
</math>

für <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Hierbei ist <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] und <math>H_n</math> die <math>n</math>-te [[harmonische Reihe|harmonische Zahl]].

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei <math>x = 0</math> eine logarithmische Singularität und einen Pol <math>n</math>-ter Ordnung.

Für alle <math>\nu</math> ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung <math>J_\nu</math> die Bessel-Funktion zweiter Gattung <math>Y_\nu</math> eine zweite, linear unabhängige Lösung.

=== {{Anker|Bessel-Funktion dritter Gattung}}Bessel-Funktionen dritter Gattung: ''Hν(1), Hν(2)'' ===
Die Bessel-Funktionen dritter Gattung <math>H_\nu^{(1)}</math>, <math>H_\nu^{(2)}</math> (auch bekannt als [[Hermann Hankel|Hankel]]-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

:<math>\begin{align}
H_\nu^{(1)}(x) &= J_\nu(x) + \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,,\\
H_\nu^{(2)}(x) &= J_\nu(x) - \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,,
\end{align}
</math>
wobei <math>\mathrm i</math> die [[imaginäre Einheit]] bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

=== Eigenschaften ===
==== Beziehungen von Ordnungen einer Gattung ====
* Für die Bessel-Funktionen <math>J_\nu</math>, <math>Y_\nu</math>, <math>H_\nu^{(1)}</math> und <math>H_\nu^{(2)}</math> gelten die [[Rekursion]]sbeziehungen:
:<math>\frac{\nu}{x} \Omega_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} + \Omega_{\nu+1}) </math>,

:<math> \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\Omega_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} - \Omega_{\nu+1}) </math>.

* Für <math>x \in \R</math> gilt <math> \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)^2 = 1 </math>.

* Für <math>n \in \N </math> gilt <math> \left(-\frac{1}{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\right)^n J_0(x) = \frac{J_n(x)}{x^n} </math>.

==== Asymptotisches Verhalten ====
Seien <math>x,\nu \in \R, \nu\geq 0</math>, dann gelten für <math>0 < x \ll \sqrt{\nu+1}</math> die asymptotischen Darstellungen
:<math>
\begin{align}
J_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\
Y_\nu(x) &\approx \begin{cases}
\frac{2}{\pi} \left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right) & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0.
\end{cases}
\end{align}
</math>

Für große Argumente <math>x\gg|\nu^2 - 1/4|</math> findet man

:<math>
\begin{align}
J_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \\
Y_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).
\end{align}
</math>

Diese Formeln sind für <math>\nu=1/2</math> exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

== {{Anker|Modifikation}} Modifizierte Bessel-Funktionen: ''Iν, Kν'' ==
[[Datei:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg|mini|hochkant=1.3|Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für <math>I_0, I_1, I_2</math> und <math>I_3</math>]]
[[Datei:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg|mini|hochkant=1.3|Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für <math>K_0, K_1, K_2</math> und <math>K_3</math>]]

Die Differentialgleichung
:<math> x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d f}{\mathrm dx} - (x^2 + \nu^2)f = 0 </math>
wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die ''modifizierten Bessel-Funktionen''
:<math>
I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix)=\sum_{r=0}^\infty \frac{(\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(r+\nu+1)r!}</math>
:<math>
I_{\nu}(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(\nu \,\varphi) \cosh\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] - \sin(\nu \,\varphi) \sinh\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] \,\mathrm{d}\varphi
</math>
und
:<math>
\begin{align}
K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu} (x) - I_\nu (x)}{\sin (\nu \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\nu+1} H_\nu^{(1)}(ix)= \frac{\pi}{2} (-i)^{\nu+1} H_\nu^{(2)}(-ix).
\end{align}
</math>
{{Anker|MacDonald}}Die Funktion <math>K_\nu(x)</math> ist auch als ''MacDonald-Funktion'' bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Exemplarisch wird im Folgenden Bessel-Funktionen <math> I_0 </math> dargestellt:
:<math>I_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi} \cosh\bigl[x\sin(y)\bigr] \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{2\cosh(xz)}{\pi \sqrt{1 - z^2}} \,\mathrm{d}z</math>
=== Airysche Integrale ===
Für die Funktionen <math>K_{1/3}</math> und <math>K_{2/3}</math> kann man eine Integraldarstellung angeben
:<math> \begin{align}
K_{1/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty \cos\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du \\
K_{2/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty u \sin\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du
\end{align}
</math>.

=== Hypergeometrische Funktion ===
Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch eine [[verallgemeinerte hypergeometrische Funktion]] ausgedrückt werden:
:<math>I_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} \;_0F_1 (\nu+1; x^2/4)</math>.

=== Beziehungen von Ordnungen einer Gattung ===
* Für die Bessel-Funktionen <math>K_\nu</math> und <math>I_\nu</math> gelten die [[Rekursion]]sbeziehungen:
: <math>\frac{\nu}{x} K_{\nu} = - \frac{1}{2} \left(K_{\nu-1} - K_{\nu+1}\right)</math>

: <math>\frac{\nu}{x} I_{\nu} = \frac{1}{2} \left(I_{\nu-1} - I_{\nu+1}\right)</math>

: <math> \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}K_\nu = - \frac{1}{2}(K_{\nu-1} + K_{\nu+1}) </math>

: <math> \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}I_\nu = \frac{1}{2}(I_{\nu-1} + I_{\nu+1}) </math>

=== Asymptotisches Verhalten ===
Wir nehmen wieder an, dass <math>\nu</math> reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente <math>0 < x \ll \sqrt{\nu+1}</math> findet man
:<math>\begin{align}
I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\ \\
K_\nu(x) &\approx \begin{cases}
-\left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right) & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
\frac{\Gamma(\nu)}{2} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0 \, .
\end{cases}
\end{align}</math>

Für große Argumente <math>x\gg|\nu^2 - 1/4|</math> erhält man

:<math>\begin{align}
I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \\ \\
K_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} e^{-x} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \, .
\end{align}</math>

== Sphärische Besselfunktionen: ''jμ, yμ, hμ(1,2)'' ==
Die [[Helmholtz-Gleichung]] in [[Kugelkoordinaten]] führt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung
:<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 f_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + 2x \frac{\mathrm df_\mu(x)}{\mathrm dx} + [x^2 - \mu(\mu+1)]f_\mu(x) = 0</math>.

Nach der Substitution
:<math>f_\mu(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} u_\mu(x)</math>
erhält man die Besselsche Differentialgleichung <math>(\nu=\mu+1/2)</math>
:<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 u_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm du_\mu(x)}{\mathrm dx} + \left[x^2 - \left(\mu+\frac{1}{2}\right)^2\right]u_\mu(x) = 0</math>.

Für die Lösung <math>f_\mu(x)</math> der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen <math>j_\mu(x)</math>, die sphärischen Neumann-Funktionen <math>y_\mu(x)=n_\mu(x)</math> und die sphärischen Hankel-Funktionen <math>h_\mu^{(1,2)}(x)</math> definiert:
:<math>\begin{align}
& j_\mu(x) \quad = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \\
& y_\mu(x) \quad = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{\mu+1/2}(x) \\
& h_\mu^{(1,2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} H_{\mu+1/2}^{(1,2)} = j_\mu(x)\pm i y_\mu(x)
\end{align}
</math>.



Es gelten die alternativen Darstellungen für <math>m \in \N </math>
: <math>\begin{align}
& j_m(x) \quad = (-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \ \frac{\sin x}{x}\\
& y_m(x) \quad = -(-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \ \frac{\cos x}{x} \\
& h_m^{(1,2)} (x) = \mp i (-x)^m \left(\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \frac{e^{\pm i x}}{x}\\
\end{align}
</math>

Die sphärischen Bessel- und Hankelfunktionen werden beispielsweise für die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der [[Quantenmechanik]] benötigt.

=== Eigenschaften ===
* Für die sphärischen Bessel-Funktionen <math>j_\mu</math>, <math>y_\mu</math>, <math>h_\mu^{(1)}</math> und <math>h_\mu^{(2)}</math> gelten die [[Rekursion]]sbeziehungen:
:<math>\begin{align}
& \frac{2\mu+1}{x} \omega_\mu(x) \; \, = \omega_{\mu-1}(x) + \omega_{\mu+1}(x) \\
& (2\mu+1)\omega'_\mu(x) \, = \mu\omega_{\mu-1}(x)-(\mu+1)\omega_{\mu+1}(x) \\
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \omega_\mu(x)) \quad = x\omega_{\mu-1}(x) - \mu \omega_\mu(x)
\end{align}</math>.

* Für die [[Wronski-Determinante]] gilt
:<math> W(j_\mu, y_\mu) = \frac{1}{i} W(j_\mu,h_\mu^{(1)}) = - W(y_\mu, h_\mu^{(1)}) = \frac{1}{x^2} </math>.

== Hankel-Transformation ==
{{Hauptartikel|Hankel-Transformation}}

Die Hankel-Transformation ist eine [[Integraltransformation]], die eng mit der [[Fourier-Transformation]] verwandt ist. Der [[Integralkern]] der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung <math>J_n</math>, das heißt, der Integraloperator lautet:
:<math>H_n[f](s) = \int_0^\infty J_n(t s) t f(t) \mathrm{d} t</math>.
Eine besondere Eigenschaft der Hankel-Transformation ist, dass mit ihr der Bessel-Operator in einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

== Geschichte ==
Bessel-Funktionen wurden von Bessel 1824 ausführlich behandelt,<ref>Friedrich Wilhelm Bessel: [https://archive.org/details/bub_gb_Un4EAAAAYAAJ/page/n121 ''Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht.''] In: Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1824, Math. Classe, S. 1–52, Berlin 1826.</ref> tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf, zum Beispiel bei [[Daniel Bernoulli]] (Schwingung schwerer Ketten 1738), [[Leonhard Euler]] (Membranschwingung 1764), in der [[Himmelsmechanik]] bei [[Joseph-Louis Lagrange]] (1770) und bei [[Pierre-Simon Laplace]], in der Wärmeleitung bei [[Joseph Fourier]] (Wärmeausbreitung im Zylinder 1822) und [[Siméon Denis Poisson]] (1823).<ref>Jacques Dutka: ''On the early history of Bessel functions.'' In: ''[[Archive for History of Exact Sciences]].'' Band 49, 1995, S. 105–134.</ref><ref>G. N. Watson: ''Theory of Bessel Functions.'' Cambridge University Press, 1944, Kapitel 1 (zur Geschichte).</ref>

== Literatur ==
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''Handbook of Mathematical Functions.'' Dover, New York 1972, [https://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_355.htm S. 355].
* J. H. Graf, E. Gubler: ''Einleitung in die Theorie der Bessel’schen Funktionen.'' [http://resolver.library.cornell.edu/math/1927697 Erster Band] [https://resolver.library.cornell.edu/math/1927697a Zweiter Band]. K. J. Wyss, Bern 1900
* [[Carl Gottfried Neumann]]: ''Theorie der Besselschen Funktionen, ein Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen.'' B. G. Teubner, Leipzig 1867.
* [[Paul Schafheitlin]] ''[http://www.archive.org/details/dietheoriederbes027703mbp Die Theorie der Besselschen Funktionen].'' B. G. Teubner, Leipzig 1908.
* [[G. N. Watson]] ''A Treatise on the Theory of Bessel functions'', Cambridge University Press 1922, 1944, [https://archive.org/details/treatiseontheory00watsuoft Archive]

Besselfunktionen werden in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt z. B.:
* [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]: ''Classical Electrodynamics.'' John Wiley, New York NY 1962 (3. edition. ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
* Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen'', 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6
* [[Arnold Sommerfeld]] ''Vorlesungen über Theoretische Physik'', Band 6: ''Partielle Differentialgleichungen der Physik'', Harri Deutsch 1992, ISBN 3-87144-379-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld | title = Bessel Differential Equation | id = BesselDifferentialEquation}}

[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Bessel-Funktion - Versionsgeschichte

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