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2025-09-27T12:03:59Z

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Ein '''Bessel-Filter''' (auch als ''Bessel-Thomson-Filter'' bezeichnet) ist ein Frequenz[[Filter (Elektrotechnik)|filter]], bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:
* optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des [[Durchlassbereich]]s des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) nahezu unverändert am Ausgang;
* konstante [[Gruppenlaufzeit]] im Durchlassbereich;
* linearer [[Phasengang]] im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim [[Butterworth-Filter]] oder [[Tschebyscheff-Filter]] abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker [[Friedrich Wilhelm Bessel]] (1784–1846) benannt.

In der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in [[IIR-Filter]]n (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

== Übertragungsfunktion ==
[[Datei:Bessel-butterworth-filter.svg|mini|Anmerkung:Die [[Eckfrequenz]] des Butterworth-Filters und der Tiefpasskaskade wurde dem Bessel-Filter angeglichen]]
Die [[Übertragungsfunktion]] ist darauf optimiert, die [[Gruppenlaufzeit]] von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung
: <math>
\underline{A} = \frac{A_0}{1+\sum_{i=1}^n c_i^\prime P^i}
</math>

mit

: <math> A_0</math> Gleichspannungsverstärkung
: <math> P = \frac{p}{\omega _g} \Leftrightarrow j \Omega = j \frac{\omega}{\omega _g} </math> und <math>\omega _g</math> [[Grenzfrequenz]]

lässt sich für die Koeffizienten <math>c_i^\prime</math> die Rekursionsformel
{|
|-
| i = 1:
| <math>c_1^\prime = 1</math>
|-
| i = 2 … n:
| <math>c_i^\prime = \frac{2(n-i+1)}{i(2n -i+1)} \cdot c_{i-1}^\prime</math>
|}

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die [[Grenzfrequenz]] normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d. h. bei <math>\Omega = 1</math> ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken. In <ref>{{Literatur |Autor=[[Ulrich Tietze]], Christoph Schenk |Titel=Halbleiter-Schaltungstechnik |Auflage=8. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1986 |Sprache=de |ISBN=3-540-16720-X}}</ref> finden sich diese Koeffizienten auf die Grenzfrequenz umgerechnet sowie die Koeffizienten aller Einzelfilter bis zur zehnten Ordnung.

== Eigenschaften ==
Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:
* glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
* geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der [[Grenzfrequenz]]
* geringes [[Überschwingen]] bei der [[Sprungantwort]], verringert sich mit der Ordnung
* konstante [[Gruppenlaufzeit]] im Durchlassbereich

== Normalisierte Bessel-Polynome ==
{| class="wikitable"
|-
! n
! Bessel-Polynom
|-
| 1
| <math>1+P</math>
|-
| 2
| <math>1+P+\frac{1}{3}P^2</math>
|-
| 3
| <math>1+P+\frac{2}{5}P^2+\frac{1}{15}P^3</math>
|-
| 4
| <math>1+P+\frac{3}{7}P^2+\frac{2}{21}P^3+\frac{1}{105}P^4</math>
|-
| 5
| <math>1+P+\frac{4}{9}P^2+\frac{1}{9}P^3+\frac{1}{63}P^4+\frac{1}{945}P^5</math>
|}

== Siehe auch ==
* [[Tschebyscheff-Filter]]
* [[Cauer-Filter]]
* [[Butterworth-Filter]]

== Literatur ==
* T. D. McGlone: ''Butterworth & Bessel Filters: A Tutorial Overview.'' CreateSpace Independent Publishing Platform, 2016, ISBN 978-1533172808.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Besselfilter}}
[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]

Bessel-Filter - Versionsgeschichte

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