imported>Ramanujan9687: /* Einzelnachweise */ typo korregiert.

2025-06-25T14:49:12Z

Einzelnachweise: typo korregiert.

Neue Seite

[[Datei:UnbegrenzteVariation.png|mini|Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation]]
[[Datei:BegrenzteVariation.png|mini|Beispiele für Funktionen beschränkter Variation]]

In der [[Analysis]] ist eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von '''beschränkter Variation''' (''beschränkter Schwankung''), wenn ihre ''totale [[Variation (Mathematik)|Variation]]'' (''totale Schwankung'') endlich ist, sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Diese Begriffe hängen eng mit der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und der [[Integralrechnung|Integrierbarkeit]] von Funktionen zusammen.

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>\Omega</math> wird mit <math>BV(\Omega)</math> bezeichnet.

Das Konzept geht auf [[Camille Jordan]] zurück.<ref>[https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Variation_of_a_function Golubov, Variation of a function], Encyclopedia of Mathematics, Springer</ref><ref>[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Function_of_bounded_variation Golubov, Function of bounded variation], Encyclopedia of Mathematics, Springer</ref>
== Reelle Funktionen ==
=== Definition ===
Die totale Variation einer [[reellwertige Funktion|reellwertigen Funktion]] <math>f\colon[a, b]\to \R</math>, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das [[Supremum]]

:<math>\sup_P \sum_i | f(x_{i+1})-f(x_i) |,</math>

wobei dieses Supremum über alle möglichen [[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]] <math>P=\{ x_1, \dotsc, x_n \mid x_1 < \dotsb < x_n \}</math> des Intervalls <math>[a, b]</math> gebildet wird. Das hier angegebene <math>n</math> hängt von <math>P</math> ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind [[Riemann-Stieltjes-Integral|Riemann-Stieltjes-integrierbar]]. Deshalb kann <math>BV[a, b]</math> mit einer [[Halbnorm]] ausgestattet werden:

:<math>n(f) = \sup_{\varphi} \int_a^b f(x) \varphi'(x) \, \mathrm{d}x</math>.

Hierbei wird das Supremum über alle stetig differenzierbaren Funktionen <math>\mathrm\varphi</math> mit [[kompakter Raum|kompaktem]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] und Funktionswerten im Intervall <math>[-1,1]</math> gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

=== Beispiel ===
[[Datei:Sin(1x).svg|mini|350px|Beispiel für unbeschränkte Variation]]
Ein einfaches Beispiel für eine Funktion mit ''unbeschränkter'' Variation ist <math>\textstyle x \mapsto \sin ( \frac{1}{x} ) </math> in der Nähe von <math>x=0</math>. Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des [[Quotient]]en <math> \tfrac{1}{x} </math> für <math> x \to 0 </math> mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird und damit der ''[[Sinus und Kosinus|Sinus]]'' dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

:<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \text{falls }x =0 \\ x \sin(1/x), & \text{falls } x \neq 0 \end{cases}</math>

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

:<math>g(x) = \begin{cases} 0, & \text{falls }x =0 \\ x^2 \sin(1/x), & \text{falls } x \neq 0 \end{cases} </math>.

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für <math>x \to 0</math> stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

=== Erweiterungen ===
Diese Definition kann auch für [[komplexwertige Funktion]]en oder Funktionen mit Werten in einem [[metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>(Y, d)</math> verwendet werden (ersetze in letzterem Falle <math>\vert f(x_{i + 1}) - f(x_i) \vert</math> durch <math>d(f(x_i), f(x_{i + 1}))</math>).

== ''BV''-Funktionen in mehreren Variablen ==
Funktionen von beschränkter Variation, oder <math>BV</math>-Funktionen, sind Funktionen, deren [[distributionelle Ableitung]]en endliche [[Vektorielles Maß|vektorwertige]] [[Radonmaß]]e sind. Genauer:

=== Definition ===
Sei <math> \Omega </math> eine offene Teilmenge von <math>\R^n</math>. Eine Funktion <math> u \in L^1(\Omega)</math> ist von beschränkter Variation oder Element von <math>BV(\Omega)</math>, wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert <math> Du\in\mathcal M(\Omega,\R^n)</math>, so dass
:<math>
\int_\Omega u(x)\,\operatorname{div}{\varphi}(x)\mathrm{d}x = - \int_\Omega \langle\varphi, Du(x)\rangle
\qquad \text{für alle }{\varphi}\in C_c^1(\Omega,\R^n)
</math>
gilt.

== Zusammenhang mit rektifizierbaren Wegen ==
Eine stetige Funktion <math>f\colon [a, b]\to \R</math> kann auch als [[Weg (Mathematik)|Weg]] im [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>\R</math> aufgefasst werden. Es gilt, dass <math>f</math> genau dann von beschränkter Variation ist, wenn <math>f</math> ein [[Länge (Mathematik)#Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen|rektifizierbarer Weg]] ist, also eine endliche Länge hat.

== Zusammenhang mit der Maßtheorie ==
In der [[Maßtheorie]] sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die [[Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktionen]] von signierten/komplexen [[Borelmaß]]en auf <math>\R</math><ref>{{Internetquelle |url=https://renrenthehamster.wordpress.com/2018/12/16/signed-and-complex-measures-iv-cumulative-distribution-functions/ |titel=Signed and Complex Measures IV – Cumulative Distribution Functions |werk=Hamster's Hideout |datum=2018-12-16 |sprache=en |abruf=2025-06-25}}</ref>.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=5|Verlag=Springer|ISBN=978-3-540-49977-0|Jahr=2007|Ort=Berlin}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerald Teschl]]|Titel=Topics in Real and Functional Analysis|Verlag=|ISBN=|Jahr=2011|Ort=|Online = [https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/ freie Onlineversion]}}
* {{Literatur |Autor=[[Luigi Ambrosio]], [[Nicola Fusco]], [[Diego Pallara]] |Titel=Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems |Verlag= |ISBN= |Jahr=2000 |Ort=Oxford}}

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Function_of_bounded_variation Golubov, Function of bounded variation], Encyclopedia of Mathematics, Springer

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Beschränkte Variation - Versionsgeschichte

imported>Ramanujan9687: /* Einzelnachweise */ typo korregiert.