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[[File:Hammer Throw (PSF).png|mini|Der Hammerwerfer repräsentiert ein rotierendes Bezugssystem. Um die Kugel in Bezug auf seinen Körper an der gleichen Stelle zu halten, muss er auf sie eine Zentripetalkraft einwirken lassen, weil die zum rotierenden Bezugssystem gehörende Zentrifugalkraft die Kugel sonst wegtragen würde.]]
'''Beschleunigte Bezugssysteme''' sind alle [[Bezugssystem]]e, die sich gegenüber einem [[Inertialsystem]] in [[Beschleunigung|beschleunigter]] Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte [[Translationsbewegung]] und/oder um eine [[Rotationsbewegung]] handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist in der Regel kein Inertialsystem.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von [[Bewegungsgleichung]]en [[Trägheitskraft|Trägheitskräfte]] berücksichtigt werden), können diese [[Bezugssystem]]e in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen. Das kann der Fall sein, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

* Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
* Das [[Foucaultsches Pendel|Foucaultsche Pendel]] wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
* Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
* In einem Bezugssystem, das in einem homogenen [[Schwerkraftfeld]] dem [[Freier Fall|freien Fall]] folgt, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen. Dies ist ein Beispiel für ein beschleunigtes Bezugssystem, das ein Inertialsystem ist.

In der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] sind [[Zeit]]intervalle und räumliche Abstände unabhängig vom gewählten Bezugssystem. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird dort durch die [[Euklidische Transformation]] bewerkstelligt.

== Kinematik ==
{{Hauptartikel|Kinematik}}
[[Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png|mini|Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.]]

=== Zeitableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Koordinatensystem ===
Betrachtet wird ein Punkt P im physikalischen Raum,<ref name="tm3" details="282">{{Literatur
| Autor=D. Gross, W. Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)| J. Schröder]], W. A. Wall
| Titel=Technische Mechanik 3
| TitelErg=Kinetik
| Verlag=Springer Vieweg Verlag
| Ort=Heidelberg
| Auflage=11. Aufl.
| Datum=2010
| ISBN=978-3-642-11263-8
| Online=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-63065-5_6 Relativbewegung des Massenpunktes]
| DOI=10.1007/978-3-642-11264-5}}</ref> siehe Bild. In einem [[Inertialsystem]] K ist er durch einen [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math> definiert, der mit drei [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]] <math>\vec{e}_{i}</math> ( <math>i = 1,2,3</math> für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten <math>x_{i}</math> darstellbar ist:

:<math>\vec{r} \,=\, \sum_{i}x_{i}\,\vec{e}_{i}</math>

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten <math>x_{i}(t)</math> von der Zeit ab. Die [[Zeitableitung]] des Ortsvektors ist

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}</math>

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem K bewegt.

Sei K’ ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu K bewegt. In <math>\vec R(t)</math> liegt der [[Koordinatenursprung]] von K’ und seine Basisvektoren sind <math>\vec{e}'_{i}(t)</math>. Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei <math>\vec r\,'</math>. Damit die Vektoren <math>\vec r</math> und <math>\vec r\,'</math> denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

:<math>\vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'</math>.

Im Fall <math>\vec R=\vec 0</math> sind also die Vektoren gleich (<math>\vec r=\vec r\,'</math>), aber ihre Komponenten bezüglich K bzw. K’ im Allgemeinen nicht, weil K und K’ zueinander verdreht sein können. Die Komponentendarstellung von <math>\vec r\,'</math> in Bezug auf K’ ist

:<math>\vec{r}' \,=\, \sum_{i}x_{i}'\,\vec{e}_{i}'</math>.

und seine zeitliche Ableitung relativ zum bewegten System K’ lautet

:<math>\frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}'</math>

Dabei bedeutet der Strich im Symbol <math>\mathrm{d}'</math> für die Differentiation eines Vektors <math>\vec r'(t)</math>, dass die Koordinaten <math>x_{i}'(t)</math> abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem K’ hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in K bzw. in K’ beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von K’ in Bezug auf K beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem [[Starrer Körper#Reine Drehbewegung eines starren Körpers|starren Körper]] in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung <math>\vec R(t)</math> sich in K bewegt:

:<math>\vec v_\text{trans}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t}</math>.

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor <math>\vec r\,'</math> in K parallel, also bleiben auch die Basisvektoren <math>\vec{e}'_{i}</math> zeitlich konstant. Bei vorhandener Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die Rotationsbewegung von K’ wird in K mit der vektoriellen [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec\omega(t)</math> beschrieben. Die Basisvektoren von K’ in K ändern sich unabhängig vom Ort der Drehachse mit der Geschwindigkeit (siehe [[Winkelgeschwindigkeit]] Abschnitte ''Bahngeschwindigkeit'' und ''Eindeutigkeit''):

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}</math>

Damit kann die Zeitableitung des Vektors <math>\vec r'(t)</math>, wie sie im Bezugssystem K erscheint, berechnet werden. Nach der [[Produktregel]] ist
:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x'_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}'_{i}+\sum_{i}x'_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t}</math>.

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie
:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,+\, \sum_{i}x'_{i}\,(\vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}) \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r}\,'</math>.

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als
:<math>\frac{\mathrm{d}\bullet}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}'\bullet}{\mathrm{d}t}+\vec{\omega}\times \bullet</math>.
Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei <math>\bullet</math>), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten, wie sie in K (linke Seite der Gleichung) bzw. in K’ (erster Term der rechten Seite) erscheinen.<ref>{{Literatur |Autor=K. Marguerre |Titel=Technische Mechanik |Band=3. Teil: ''Kinetik'' |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1968 |ISBN=978-3-540-04173-3 |Seiten=67}}: ({{Google Buch |BuchID=b_qfBgAAQBAJ |Seite=67}})</ref>

=== Transformation der Geschwindigkeit ===
Im Folgenden werden, in Anlehnung an die [[Technische Mechanik]], die im Bezugssystem K beobachteten Größen als ''Absolutgeschwindigkeit'' bzw. ''Absolutbeschleunigung'' bezeichnet, was statthaft ist, weil K ein [[Inertialsystem]] ist, und die auf K’ bezogenen Größen werden als '''Relativgeschwindigkeit''' bzw. '''Relativbeschleunigung''' bezeichnet.<ref>Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie „absolute Ruhe“ oder „absolute Geschwindigkeit“ gäbe. Siehe [[Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik]].</ref>

Die Absolutgeschwindigkeit <math>\vec v</math> des Punktes ist

:<math>\vec{v} \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i} \left( \,=\, \sum_{i}\dot x_{i}\vec{e}_{i}\right)</math>

Die Relativgeschwindigkeit <math>\vec v'</math> des Punktes berechnet sich analog:

:<math>\vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}'</math>

Wegen <math>\vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'</math> folgt für die Absolutgeschwindigkeit <math>\vec v</math>:

:<math>\vec v\, \,=\, \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{R}+\vec r') \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t} \,+\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,+ \, \vec{\omega} \times \vec r'
\,=\, \vec v_\text{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}\,'</math>.

Der Anteil (<math>\vec v_\text{trans} + \vec{\omega} \times \vec{r}'</math>) der Absolutgeschwindigkeit wird als [[Führungsgeschwindigkeit]] bezeichnet; sie enthält alle Anteile der Geschwindigkeit, die sich ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem K’ ermitteln lassen: Alle Punkte, die im Bezugssystem K’ ruhen, bewegen sich im Bezugssystem K mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in K’ nicht ruhen, ist ihre Geschwindigkeit die Summe aus Führungsgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit <math>\vec{v}\,'</math>.

=== Transformation der Beschleunigung ===
Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in K ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in K’ beobachtbaren Größen <math>\vec r'</math> und <math>\vec v'</math> und <math>\vec a'</math>:

:<math>
\frac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm d t}
\,=\, \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \vec v_\text{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}' \right)
\,=\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec v_\text{trans}}{\mathrm d t}}_{\vec{a}_\text{trans}} \,+\, \underbrace{ \left( \frac{\mathrm d \vec{\omega}}{\mathrm d t}\right)}_{\dot{\vec{\omega}}} \times \vec{r}'
\,+\, \vec{\omega} \times \underbrace{\left(\frac{\mathrm d \vec{r}\,'}{\mathrm d t}\right)}_{\vec{v}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{r}\,'}
\,+\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec{v}'}{\mathrm d t}}_{\vec{a}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{v}\,'}
</math>

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf <math>\vec r'</math> und <math>\vec v'</math> angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt ergeben etwas umgeordnet:

:<math>\begin{align}
\vec{a}
\,=&\, \vec a_\text{trans} \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'
\,+ \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')
\,+ 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'\,+\,\vec a'
\\
\vec{a}'
\,=&\,\vec a\,-\,\vec a_\text{trans}
\,-\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'
\,-\, \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')
\,-\, 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}'
\end{align}</math>

Die Beschleunigungen <math>\vec {a}</math> und <math>\vec {a}' </math>, in K bzw. K’ unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung <math>\vec a_\text{trans}</math> des Systems K’ relativ zu K. Verglichen mit <math>\vec {a}</math>, enthält <math>\vec {a}'</math> vier zusätzliche Summanden:

:{|
| ||<math>\quad-\vec a_\text{trans}</math>
| style="width: 1em"|
|translatorische Beschleunigung in K’
|-
|<math>\vec a_\text{Euler}\quad</math>
|<math>=\,-\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}'</math>
| ||[[Eulerbeschleunigung]] in K’
|-
|<math>\vec a_{\mathrm{Zentrifugal}}</math>
|<math>=\,- \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')</math>
| ||[[Zentrifugalbeschleunigung]] in K’
|-
|<math>\vec a_{\mathrm{Coriolis}}</math>
|<math>=\,-2 \,\vec{\omega} \times \vec{v}\,' </math>
| ||[[Coriolisbeschleunigung]] in K’
|}
:<small>(Anmerkung: <math>\vec a_{\mathrm{Euler}}</math> und <math>\vec a_{\mathrm{Coriolis}}</math> werden in der Technischen Mechanik meist mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.<ref name="tm3" details="279"/><ref name="dankert" details="505">{{Literatur
| Autor=Jürgen Dankert, Helga Dankert
| Titel=Technische Mechanik
| TitelErg=Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik
| Auflage=5. Auflage
| Verlag=Vieweg+Teubner
| Jahr=2009
| Seiten=504 ff.
| ISBN=978-3-8351-0177-7
| Online={{Google Buch|BuchID=as-Cv7rKQikC|Seite=504}}
}}</ref>)</small>

Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus [[Führungsbeschleunigung]]

:<math>\vec a_F\,=\, \vec a_\text{trans} \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'\,+\,\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')</math>,

Coriolisbeschleunigung <math>\vec a_\text{Coriolis}</math> und Relativbeschleunigung <math>\vec a'</math>, wobei die Führungsbeschleunigung derjenige Beschleunigungsanteil ist, der ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem K’ ermittelt werden kann:

:<math>\vec a = \vec a_F + \vec a_\text{Coriolis} + \vec a'</math>

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden in nicht-Inertialsystemen K’ als Wirkung von [[Trägheitskraft|Trägheitskräften]] aufgefasst, siehe dort.

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=F. Scheck
|Titel=Theoretische Physik
|TitelErg=Mechanik
|Verlag=Springer Verlag
|ISBN=978-3-540-71377-7}}
* {{Literatur
|Autor=Martin Mayr
|Titel=Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre
|Auflage=6. überarbeitete
|Verlag=Hanser
|Datum=2008
|ISBN=978-3-446-41690-1
|Online={{Google Buch |BuchID=36eYLUWU-MgC |Seite=131}}}}

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]

Beschleunigtes Bezugssystem - Versionsgeschichte

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