imported>Boehm: Die letzte Textänderung von 87.79.237.233 wurde verworfen: und das t können wir auch noch weglassen?

2025-06-06T05:45:10Z

Die letzte Textänderung von 87.79.237.233 wurde verworfen: und das t können wir auch noch weglassen?

Neue Seite

Die '''Bernsteinpolynome''' (nach [[Sergei Natanowitsch Bernstein]]) sind eine besondere Familie [[Reelle Zahl|reeller]] [[Polynom]]e mit [[Ganze Zahl|ganzzahligen]] Koeffizienten.

== Nutzen und Geschichte ==
Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der [[Approximation]]stheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen [[Konstruktiver Beweis|konstruktiven Beweis]] für den [[Satz von Stone-Weierstraß|Approximationssatz von Weierstraß]] angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. [[Paul de Casteljau|Paul de Faget de Casteljau]] bei [[Citroën]] und [[Pierre Bézier]] bei [[Renault]] nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von [[Bézierkurve]]n und legten damit den Grundstein des heutigen [[Computer-aided design|Computer Aided Design (CAD)]].

== Definition ==
Für <math>n\in\N_0</math> heißen die [[Reelle Zahlen|reellen]] [[Polynom]]e
:<math>B_{i,n}\colon\R \to \R,\; t \mapsto {n \choose i}\, t^i\, (1-t)^{n-i}</math>
(mit <math>0\leq i\leq n</math>) die Bernsteinpolynome vom Grad <math>n</math>.

Durch [[affine Transformation]] (Abbildung des Intervalls <math>[0,1]</math> auf ein beliebiges Intervall <math>[a,b]</math>) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome
:<math>B_{i,n}^{[a,b]}\colon\R \to \R,\; t \mapsto \frac{1}{(b-a)^n} {n \choose i} (t-a)^i\, (b-t)^{n-i}</math>.
Dabei bezeichnet
:<math>{n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}</math>
den [[Binomialkoeffizient]]en.

== Beispiel ==
Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome <math>B_{i,4}</math>, <math>0\leq i\leq 4</math> vom Grad <math>4</math>:

[[Datei:Bernstein Polynomials.svg|300px|Die Bernsteinpolynome B_{i,4}]]

== Eigenschaften ==
Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls <math>[0,1]</math> haben folgende Eigenschaften:
*''Basiseigenschaft'': Die Bernsteinpolynome <math>\{B_{i,n}:0\leq i\leq n\}</math> sind [[linear unabhängig]] und bilden eine Basis von <math>\Pi_n</math>, dem Raum der [[Polynom]]e vom Grad kleiner oder gleich <math>n</math>.
*''Positivität'':
*:<math>B_{i,n}(t) > 0</math> für alle <math>t \in (0,1)</math>.
*''Extrema'': <math>B_{i,n}</math> besitzt im Intervall <math>[0,1]</math> genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle <math>t = \frac{i}{n}</math>. Man erhält insbesondere:
*:<math>B_{0,n}(0) = B_{n,n}(1) = 1</math>
*''[[Zerlegung der Eins]] (auch Partition der Eins)'':
*:<math>\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) = \sum_{i=0}^n{n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} = 1</math>
: (Ergibt sich mit Hilfe des [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatzes]] aus <math>(t+(1-t))^n</math>.)
*''Symmetrie'':
*:<math>B_{i,n}(t) = B_{n-i,n}(1-t)</math>
*''Rekursionsformel'':
*:<math>B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)</math>, mit der Definition
*:<math>B_{i,n} := 0</math> für <math>i < 0</math> oder <math>i > n</math>
*:<math> B_{0,0} := 1</math>
*''Gradanhebung'':
*:<math>B_{i,n}(t) = \frac{i+1}{n+1} \cdot B_{i+1,n+1}(t) + \frac{n+1-i}{n+1} \cdot B_{i,n+1}(t)</math>
*''Ableitungen'':
*:<math>B'_{i,n}(t) = n \left[ B_{i-1,n-1}(t) - B_{i,n-1}(t) \right]</math>, mit der Definition
*:<math>B_{-1,n-1} = B_{n,n-1} := 0</math>
*''Stammfunktion'':
*:<math>\int B_{i,n}\!\left(t\right)dt = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=i+1}^{n+1} B_{k,n+1}\!\left(t\right)</math>

== Approximation durch Bernsteinpolynome ==
Für eine Funktion <math>f\colon [0,1] \to \R</math> heißt das durch
:<math>B_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t)\cdot f\left(\frac{i}{n}\right)</math>
definierte Polynom <math>B_n(f)</math> das ''<math>n</math>-te Bernsteinpolynom der Funktion <math>f</math>''.

Ist <math>f</math> eine [[stetige Funktion]] auf dem Intervall <math>[0,1]</math>, so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome <math>B_n(f)</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>f</math>.

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des [[Gesetz der großen Zahlen|schwachen Gesetzes der Großen Zahlen]] oder des [[Satz von Korowkin|Satzes von Korowkin]] durchgeführt werden.

== Weblinks ==
* [http://www.kaktoos.de/fh_projekte/cg_bernstein/bernstein.html Bernsteinpolynome (Applet)]

== Literatur ==
* Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov, Vol. 12, No. 2, pp. 1–2, 1912/1913.

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Polynom]]

Bernsteinpolynom - Versionsgeschichte

imported>Boehm: Die letzte Textänderung von 87.79.237.233 wurde verworfen: und das t können wir auch noch weglassen?