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2026-02-22T20:19:06Z

Urnenmodell

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[[Datei:Bernoulli Distribution de.svg|mini|hochkant=2|Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung für <math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)]]
[[Zufallsvariable]]n mit einer '''Bernoulli-Verteilung''' (auch als '''Bernoullische Verteilung'''<ref name="Lex-527">{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=S. 527}}</ref>, '''Null-Eins-Verteilung'''<ref name="Lex-527"/>, '''Alternativ-Verteilung'''<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |Seiten=63 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}</ref> oder '''Boole-Verteilung'''<ref>{{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Heidelberg Dordrecht London New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Seiten=254 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}</ref> bezeichnet) benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit ''Erfolg'' bezeichnet und der komplementäre Versuchsausgang mit ''Misserfolg''. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit <math>p</math> für einen Erfolg nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und <math>q=1-p</math> die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs.
Beispiele:
* [[Münzwurf|Werfen einer Münze]]: Kopf (Erfolg), <math>p=1/2</math>, und Zahl (Misserfolg), <math>q=1/2</math>.
* Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: <math>p=1/6</math>, <math>q=5/6</math>.
* Betrachte sehr kleines Raum/Zeit-Intervall: Ereignis tritt ein <math>(p\gtrapprox 0)</math>, tritt nicht ein <math>(q\lessapprox 1)</math>.

Die Bezeichnung '''Bernoulli-Versuch''' (''Bernoullian trials'' nach [[Jakob I Bernoulli]]) wurde erstmals 1937 in dem Buch ''Introduction to Mathematical Probability'' von [[James Victor Uspensky]] verwendet.<ref>James Victor Uspensky: ''Introduction to Mathematical Probability'', McGraw-Hill, New York 1937, Seite 45</ref>

== Definition ==
Eine diskrete Zufallsgröße <math>X</math> mit Werten in der Menge <math>\{0,1\}</math> unterliegt der ''Bernoulli-Verteilung'' oder ''Null-Eins-Verteilung'' mit dem Parameter
<math>p \in (0,1)</math>, wenn sie der folgenden [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] folgt

: <math> f(x) = P(X=x) = \begin{cases} 1-p & \text{falls} \quad x=0, \\
p & \text{falls} \quad x=1, \\
0 & \text{sonst.}\end{cases}</math>

Die [[Verteilungsfunktion]] ist dann
: <math> F(x)= P(X \leq x) = \begin{cases}
0 & \text{ falls } \quad x <0 \\
1-p & \text{ falls } \quad 0 \leq x < 1 \\
1 & \text{ falls } \quad x \geq 1
\end{cases}</math>.
Man schreibt dann <math> X \sim \mathcal{B}(p) </math>, <math> X \sim \mathrm{Ber}(p) </math> oder <math> X \sim Ber_p </math>. Der Parameter <math>p</math> heißt in diesem Zusammenhang auch '''Bernoulli-Parameter'''.

Eine Zufallsvariable, deren Verteilung eine Bernoulli-Verteilung ist, heißt '''Bernoulli-verteilt'''. Eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable wird auch als '''Bernoulli-Variable''' bezeichnet.

Ein Zufallsexperiment, dessen Ausgang durch eine Bernoulli-Variable beschrieben ist, heißt '''Bernoulli-Experiment''' oder ''Bernoulli-Versuch''. Eine Folge von Bernoulli-Versuchen, deren Zufallsvariablen [[stochastisch unabhängig]] und identisch – d. h. mit demselben Bernoulli-Parameter – verteilt sind,
heißt [[Bernoulli-Prozess]] oder bernoullisches Versuchsschema.

Für bestimmte statistische Anwendungen ist es sinnvoll, den erweiterten Parameterraum <math>[0,1]</math> ergänzt durch die beiden Grenzfälle <math>p=0</math> und <math>p=1</math> zugrunde zu legen, bei denen die Bernoulli-Verteilung zu einer [[Einpunktverteilung]] auf 0 oder 1 degeneriert. In diesen Fällen gilt <math>P(X=0)=1</math> bzw. <math>P(X=1)=1</math>.

== Eigenschaften ==
Im Folgenden ist <math>X \sim \mathrm{Ber}(p)</math> mit <math>0 < p <1 </math> vorausgesetzt.
=== Erwartungswert ===
Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter <math>p</math> hat den [[Erwartungswert]]:
:<math>\operatorname{E}\left(X\right)=p</math>

Dies hat den Grund, dass für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> mit <math>P(X=1)=p</math> und <math>P(X=0)=q</math> gilt:

:<math>\operatorname{E}(X) = P(X=1)\cdot 1 + P(X=0)\cdot 0 = p \cdot 1 + q\cdot 0 = p</math>

=== Varianz und weitere Streumaße ===
Die Bernoulli-Verteilung besitzt die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]
:<math>\operatorname{Var}(X) = p\cdot(1-p)= pq</math>

denn es ist <math>\operatorname{E}(X^2)=p\cdot 1^2+ q\cdot 0^2=p</math> und damit

:<math>\operatorname{E}\left(X^2\right)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq</math>.

Damit ist die [[Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]]
:<math> \sigma_X= \sqrt{pq} </math>

und der [[Variationskoeffizient]]
:<math>
\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p}}</math>.

=== Symmetrie ===
Für den Parameter <math> p= \tfrac 12 </math> ist die Bernoulli-Verteilung [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um den Punkt <math> a= \tfrac 12 </math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] der Bernoulli-Verteilung ist
:<math> \operatorname{v}(X)=\frac{1-2p}{\sqrt{pq}} </math>.

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine [[Standardisierung (Statistik)|standardisierte]] Zufallsvariable <math>\tfrac{X-\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}</math> mit <math>X</math> Bernoulli-verteilt nimmt den Wert <math>\tfrac{q}{\sqrt{pq}}</math> mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> an und den Wert <math>-\tfrac{p}{\sqrt{pq}}</math> mit Wahrscheinlichkeit <math>q</math>. Damit erhalten wir für die Schiefe

:<math>\begin{align}
\operatorname{v}(X) &= \operatorname{E} \left[\left(\frac{X-\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}\right)^3\right] \\
&= p \cdot \left(\frac{q}{\sqrt{pq}}\right)^3 + q \cdot \left(-\frac{p}{\sqrt{pq}}\right)^3 \\
&= \frac{1}{\sqrt{pq}^3} \left(pq^3-qp^3\right) \\
&= \frac{pq}{\sqrt{pq}^3} (q-p) \\
&= \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
\end{align}</math>

=== Wölbung und Exzess ===
Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist
:<math> \gamma (X)=\frac{1-6pq}{pq} </math>

und damit ist die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]]

:<math> \beta _2 (X)= \frac{1-3pq}{pq}</math>.

=== Momente ===
Alle k-ten [[Moment (Stochastik)|Momente]] <math> m_k </math> sind gleich und es gilt
:<math> m_k=p </math>.

Es ist nämlich
:<math>m_k = \operatorname{E}\left(X^k\right) = p \cdot 1^k + q \cdot 0^k = p</math>.

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der Bernoulli-Verteilung ist
:<math>\Eta = -q\log_2(q)-p\log_2(p)</math>

gemessen in [[Bit]].

=== Modus ===
Der [[Modus (Stochastik)|Modus]] der Bernoulli-Verteilung ist
:<math>x_D=\begin{cases}
0 & \text{falls }\quad q > p\\
0; 1 & \text{falls }\quad q=p\\
1 & \text{falls }\quad q < p
\end{cases}</math>.

=== Median ===
Der [[Median (Stochastik)|Median]] der Bernoulli-Verteilung ist
:<math>\tilde m_X=\begin{cases}
0 & \text{falls }\quad q > p,\\
1 & \text{falls }\quad q<p,
\end{cases}</math>
falls <math>p = q</math> gilt, ist jedes <math>\tilde m_X \in [0,1]</math> ein Median.

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
:<math> g_X(t)=\ln (pe^t+q) </math>.
Damit sind die ersten [[Kumulante]]n <math> \kappa_1=p, \kappa_2=pq </math> und es gilt die Rekursionsgleichung
:<math>\kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}.</math>

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] ist
:<math> m_X(t) = 1-p + p t</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ist
:<math>\varphi_X(t)=1-p+pe^{\mathrm{i}t}</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] ist
:<math>M_X(t) = 1-p+pe^t</math>.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==

=== Beziehung zur Binomialverteilung ===
Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der [[Binomialverteilung]] für <math>n=1</math>. Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten [[Zufallsgröße]]n mit identischem Parameter <math>p</math> genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht [[Reproduktivität|reproduktiv]].
Die Binomialverteilung ist die <math>n</math>-fache [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter <math>p</math> bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit <math>p</math>.

=== Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung ===
Die Summe von <math> n </math> voneinander unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, die alle einen unterschiedlichen Parameter <math> p_i </math> besitzen, ist [[Verallgemeinerte Binomialverteilung|verallgemeinert binomialverteilt]].

=== Beziehung zur Poisson-Verteilung ===
Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für <math>n\to\infty</math>, <math>p_{n}\to 0</math> und <math>\lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0</math> einer [[Poisson-Verteilung]] mit dem Parameter <math>\lambda</math>. Dies folgt direkt daraus, dass die Summe binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung die [[Poisson-Approximation]] gilt.

=== Beziehung zur Zweipunktverteilung ===
Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der [[Zweipunktverteilung]] mit <math> a=0 , b=1 </math>. Umgekehrt ist die Zweipunktverteilung eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung auf beliebige zweielementige Punktmengen.

=== Beziehung zur Rademacher-Verteilung ===
Sowohl die Bernoulli-Verteilung mit <math> p=q=0{,}5 </math> als auch die [[Rademacher-Verteilung]] modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich codiert werden.

=== Beziehung zur geometrischen Verteilung ===
Bei Hintereinanderausführung von Bernoulli-verteilten Experimenten ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg (oder letzten Misserfolg, je nach Definition) [[Geometrische Verteilung|geometrisch verteilt]].

=== Beziehung zur diskreten Gleichverteilung ===
Die Bernoulli-Verteilung mit <math> p=q=\tfrac{1}{2} </math> ist eine [[diskrete Gleichverteilung]] auf <math> \{0,1\}</math>.

=== Urnenmodell ===
Die Bernoulli-Verteilung lässt sich auch aus dem [[Urnenmodell]] erzeugen, wenn <math> p=\tfrac{k}{n}</math> mit <math>k, n \in \N</math> ist. Dann entspricht dies dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit <math>n</math> Kugeln, von denen genau <math>k</math> rot sind und alle anderen eine andere Farbe besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist dann <math>p</math>.

== Simulation ==
Bei der Simulation macht man sich zunutze, dass, wenn <math> \mathcal{U} </math> eine [[Stetige Gleichverteilung|stetig gleichverteilte]] Zufallsvariable auf <math> [0,1] </math> ist, die Zufallsvariable <math> Y=\mathbf{1}_{\{\mathcal{U}\geq 1-p\}} </math> Bernoulli-verteilt ist mit Parameter <math> p </math>. Da fast jeder Computer [[Standardzufallszahl]]en erzeugen kann, ist die Simulation wie folgend:
# Erzeuge eine Standardzufallszahl <math> u_i </math>
# Ist <math> u_i \leq 1-p </math>, gib 0 aus, ansonsten gib 1 aus.

Dies entspricht genau der [[Inversionsmethode]]. Die einfache Simulierbarkeit von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen kann auch zur Simulation von [[Binomialverteilung|binomialverteilten]] oder [[Verallgemeinerte Binomialverteilung|verallgemeinert Binomialverteilten]] Zufallsvariablen genutzt werden.

== Literatur ==
* Hans-Otto Georgii: ''Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.'' 4. Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

{{SORTIERUNG:Bernoulliverteilung}}
[[Kategorie:Bernoulli (Familie)]]
[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Bernoulli-Verteilung - Versionsgeschichte

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