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2024-12-13T06:00:49Z

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Ein '''Bernoulli-Prozess''' oder eine '''Bernoulli-Kette''' (benannt nach [[Jakob I Bernoulli]]) ist eine Folge von [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängigen]] [[Bernoulli-Experiment]]en. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Erfolg oder Misserfolg. Zudem muss die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg und somit auch die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg bei jedem der Experimente dieselbe sein.

== Eigenschaften ==
In mathematischer Terminologie ist ein Bernoulli-Prozess ein zeitlich diskreter [[stochastischer Prozess]], der aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Folge von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängigen]] Versuchen mit [[Bernoulli-Verteilung]] zum selben Parameter <math>p\in\left[0,1\right]</math> besteht. Das heißt, für jeden der Zeitpunkte 1, 2, 3, … wird „ausgewürfelt“, ob ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> eintritt oder nicht.

Der Prozess kann durch eine Folge von unabhängigen [[Zufallsvariable]]n <math>X_1, X_2, X_3,\dotsc</math> beschrieben werden, von denen jede mit der konstanten Wahrscheinlichkeit <math>p</math> den Wert 1 (''Erfolg'') und mit der Wahrscheinlichkeit <math>1-p</math> den Wert 0 (''Misserfolg'') annimmt.

Je nach Fragestellung interessiert man sich für eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen:
* Die Anzahl <math>S_n</math> erfolgreicher Versuche nach Durchführung von insgesamt <math>n</math> Versuchen. Sie folgt einer [[Binomialverteilung]]. Es gilt <math>S_n = X_1 + \dotsb + X_n</math>.
* Die Anzahl <math>T_r</math> von Versuchen, die benötigt werden, um eine vorgegebene Anzahl von <math>r</math> Erfolgen zu erzielen. Sie folgt der [[Negative Binomialverteilung|negativen Binomialverteilung]]. Insbesondere ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg [[Geometrische Verteilung|geometrisch verteilt]].
Die Anzahl der Erfolge nach <math>n</math> Versuchen bei einem Bernoulli-Prozess ist eine spezielle [[Markow-Kette]]: Beim Schritt von <math>n</math> nach <math>n+1</math> geht das System mit der Wahrscheinlichkeit <math>p</math> aus dem Zustand <math>k</math> in den Zustand <math>k+1</math> über, sonst bleibt es im Zustand <math>k</math>.

Ein Bernoulli-Prozess hat die [[Ergebnismenge]] <math>\Omega = \{S, F\}^\N</math> und jede [[Zufallsvariable]] <math>X_i</math> hat zwei möglichen Ergebnisse, <math>S</math> (Erfolg) und <math>F</math> (Misserfolg), also ist <math>X_i \in \{S, F\}</math>. Für jede Zufallsvariable <math>X_i</math> tritt mit der gleichen [[Wahrscheinlichkeit]] Erfolg bzw. Misserfolg auf. Ist <math>p</math> die Wahrscheinlichkeit für Erfolg, dann ist <math>1 - p</math> die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg, also <math>P\{X_i = S\} = p</math> und <math>P\{X_i = F\} = 1 - p</math>.

Die Anzahl <math>S_n = \sum_{i=1}^n 1\{X_i = S\}</math> der erfolgreichen Versuche hat den [[Erwartungswert]] <math>\operatorname{E}(S_n) = np</math> und die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\operatorname{Var}(S_n) = np(1-p)</math>.<ref>Indian Institute of Science: [https://ece.iisc.ac.in/~parimal/2017/spqt/lecture-02.pdf Bernoulli Processes]</ref>

Die Zufallsvariable <math>S_n</math>, die angibt, wie viele von <math>n</math> Bernoulli-Versuchen erfolgreich waren, folgt der [[Binomialverteilung]]. Wir leiten diese Verteilung im folgenden Beispiel mit einem Würfel her.

== Beispiele ==

=== Würfel ===
Beim Würfeln werde die Sechs als Erfolg gewertet. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also <math>p = \tfrac{1}{6}</math>, die komplementäre [[Wahrscheinlichkeit]] für einen Misserfolg ist <math>1 - p = \tfrac{5}{6}</math>. Gefragt sei nun nach der Wahrscheinlichkeit, in <math>n=5</math> Würfen genau <math>k=2</math> Sechsen zu werfen. Die Antwort auf diese Frage findet man wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, erst 2 Sechsen, dann 3 andere Augenzahlen zu werfen, ist <math>p^2(1-p)^3</math>. Da es auf die Reihenfolge aber nicht ankommt, ist diese Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren mit der Anzahl der Möglichkeiten, zwei (ununterscheidbare) Sechsen auf 5 Würfe zu verteilen. Der [[Kombinatorik]] zufolge ist diese Anzahl durch den [[Binomialkoeffizient]]en <math>\tbinom{5}{2}</math> gegeben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet also:
:<math>B(2 |p,5) = \binom{5}{2} p^2 (1-p)^{5-2}</math>
Davon verallgemeinert lautet die Wahrscheinlichkeit in <math>n</math> [[Bernoulli-Versuch|Bernoulli-Versuchen]] genau <math>k</math> mal Erfolg zu haben
:<math>P(S_n = k) = B(k|p,n) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} </math>
Diese Funktion heißt [[Binomialverteilung]].

=== Irrfahrt ===
{{Hauptartikel|Irrfahrt (Stochastik)}}
Ein betrunkener Fußgänger (oder ein [[Diffusion|diffundierendes]] Teilchen) bewegt sich auf einer Linie bei jedem Schritt mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p</math> vorwärts, mit der Wahrscheinlichkeit <math>1-p</math> rückwärts. Man interessiert sich beispielsweise für die Entfernung vom Ausgangspunkt. Ein solches Modell wird in der Physik als eindimensionale [[Zufallsbewegung]] bezeichnet. Die Position <math>Y_n</math> des Fußgängers nach <math>n</math> Schritten lässt sich mithilfe des Bernoulli-Prozesses <math>(X_k)</math> darstellen als
:<math>Y_n = Y_0 + \sum_{k=1}^n (2X_k - 1) = Y_0 + 2S_n - n</math>
Ist beispielsweise eine Realisierung des Bernoulli-Prozesses durch die [[Folge (Mathematik)|Folge]]
:<math>(X_n) = 1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,\ldots</math>
gegeben, dann ist die Folge
:<math>(Y_n) = 1,0,-1,0,1,2,1,2,3,2,\ldots</math>
mit <math>Y_0=0</math> die zugehörige Irrfahrt.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Christian Hesse|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=1.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2003|ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:BernoulliProzess}}
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Bernoulli (Familie)]]

Bernoulli-Prozess - Versionsgeschichte

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