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2025-10-30T07:21:52Z

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In der [[Geometrie]] versteht man unter dem '''Beltrami-Klein-Modell''' ein [[Modell (Wissenschaft)|Modell]] der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]].<ref>Die [[endliche Geometrie]] kennt ebenfalls hyperbolische Ebenen – vgl. etwa {{Literatur |Autor=Heinz-Richard Halder, Werner Heise |Titel=Einführung in die Kombinatorik |Verlag=Carl Hanser Verlag |Ort=München [u. a.] |Datum=1976 |ISBN=3-446-12140-4 |Seiten=235–236}} – welche jedoch in dem vorliegenden Artikel nicht gemeint sind.</ref> Es ist eines der Standardbeispiele einer [[Nichteuklidische Geometrie|nicht-euklidischen Geometrie]] und geht auf den italienischen Mathematiker [[Eugenio Beltrami]] (1835–1900) und den deutschen Mathematiker [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] (1849–1925) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=Beltrami |Titel=Giornale di Matematiche |Datum=1868 |Seiten=284 ff}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klein |Titel=Math. Ann. |Band=4 |Datum=1871 |Seiten=573 ff}}</ref><ref>Knörrer: S. 148–153, 364.</ref> Im deutschen Sprachraum wird das Modell oft einfach als '''Kleinsches Modell''' bezeichnet;<ref>{{Literatur |Titel=Duden Rechnen und Mathematik |Datum= |Seiten=435}}</ref><ref name="S194">Filler: S. 194.</ref> manchmal auch als '''Modell von Cayley und Klein''',<ref name="S194" /> wobei die letztere Bezeichnung der Tatsache Rechnung trägt, dass die Entwicklung des Modells durch Felix Klein neben den Untersuchungen von Eugenio Beltrami in besonderem Maße auch Ergebnisse von [[Arthur Cayley]] (1821–1895) berücksichtigt.<ref>Siehe Einleitung der Originalarbeit von Felix Klein ({{Literatur |Titel=Math. Ann. |Band=4 |Datum= |Seiten=573 ff.}}) sowie Baldus: S. 146.</ref> [[Populär#Gemeinverständlichkeit|Populär]] wird das Beltrami-Klein-Modell von einzelnen Autoren auch '''Bierdeckelgeometrie''' genannt.<ref>{{Literatur |Titel=Duden Rechnen und Mathematik |Datum= |Seiten=435, 703}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Godehard Link |Titel=Collegium Logicum |Verlag=Mentis |Ort=Paderborn |Datum=2009 |Seiten=7–8 |DNB=996736883}}</ref> In Beltramis Definition handelt es sich um eine Realisierung der hyperbolischen Ebene als [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]], während Cayley und Klein das Modell als Teilmenge der [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] betrachteten. Ende des 19. Jahrhunderts stellte [[David Hilbert]] ein Axiomensystem der Geometrie auf, für welches die Cayley-Klein-Ebene ebenfalls ein Modell ist.

== Axiomatischer Zugang nach Hilbert ==
[[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]]<ref>David Hilbert: ''Grundlagen der Geometrie''. Leipzig 1899, mit zahlreichen Neuauflagen, zuletzt 14. Auflage bei Teubner, Stuttgart 1999, ISBN 3-519-00237-X; {{archive.org|grunddergeovon00hilbrich}} (Ausgabe von 1903).</ref> führt die Konzepte „Punkt“, „Gerade“, „inzident“, „zwischen“ und „kongruent“ als undefinierte Begriffe ein und formulierte für diese 20 Axiome, darunter das Parallelenaxiom. (Hilberts Axiomensystem baute auf den ursprünglichen Postulaten [[Euklid]]s sowie Vorarbeiten von [[Hermann Graßmann]], [[Moritz Pasch]], [[Giuseppe Peano]] und anderen auf.)

In Hilberts Axiomensystem der [[Hyperbolische Geometrie|hyperbolischen Geometrie]] wird das Parallelenaxiom ersetzt durch das Axiom, dass es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden beliebig viele Parallelen gibt. Ein Modell dieses Axiomensystems liefert die folgende aus dem Beltrami-Klein-Modell abgeleitete Konstruktion:<ref>Hilbert / Cohn-Vossen: S. 214.</ref><ref>Karzel et al.: S. 184–187.</ref><ref>Knörrer: S. 149.</ref><ref>Nöbeling: S. 19.</ref>
* Die zugrunde liegende ''Punktmenge'' ist die Menge der ''[[Innerer Punkt|inneren Punkte]] einer [[Kreis#Kreisfläche|Kreisscheibe]]'' der [[Ebene (Mathematik)#Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid|euklidischen Ebene]].
* Die zugrunde liegende ''Geradenmenge'' besteht aus allen ''innerhalb der offenen Kreisscheibe'' gelegenen ''[[Sehne (Geometrie)|Sehnen]]''.<ref>Es wird also von jeder [[Sekante]] durch die Kreisscheibe jeweils das innerhalb gelegene Segment unter Ausschluss der auf der [[Kreis]]linie gelegenen beiden Sekantenpunkte betrachtet.</ref>
* Die [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzrelation]] zwischen ''Punkten'' und ''Geraden'' und die [[Synthetische Geometrie#Geometrische Axiome|geometrische Anordnung]] (''Zwischen-Relation'') werden von der euklidischen Ebene übernommen.
* Die [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenzrelation]] wird mit Hilfe des hyperbolischen Abstandes
::<math>d(p,q)=\frac{1}{2} \log \frac{|qa||bp|}{|pa||bq|}</math>
: definiert, wobei die Betragsstriche für euklidische Abstände stehen und <math>a,b</math> die Schnittpunkte der Geraden durch <math>p,q</math> mit dem Rand der Kreisscheibe sind. (Diese Metrik ist ein spezielles Beispiel einer [[Hilbert-Metrik]].)

== Beltramis Modell als Riemannsche Mannigfaltigkeit ==
In seiner 1868 veröffentlichten Arbeit<ref>Eugenio Beltrami: ''Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea.'' Giornale Matemat. 6 (1868), 284–312</ref> betrachtete Beltrami zunächst das (heute kaum noch gebräuchliche) hemisphärische Modell der hyperbolischen Ebene – das ist die Menge
:<math>\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x^2+y^2+z^2=1, z>0\right\}</math>
mit der durch
:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{z}</math>
definierten [[Riemannsche Metrik|Riemannschen Metrik]] – und stellte dann fest, dass man durch [[Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf die Kreisscheibe
:<math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2<1\right\}</math>
ein weiteres Modell der hyperbolischen Ebene erhält, in welchem die Geraden gerade Geradenstücke der euklidischen Ebene sind.<ref>Milnor, John: ''Hyperbolic geometry: the first 150 years.'' Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 1, 9–24.</ref> Die offene Kreisscheibe – mit der Riemannschen Metrik, welche die Projektion von der Hemisphäre zu einer Isometrie macht – ist die heute als Beltrami-Klein-Modell bezeichnete [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]].

== Das Beltrami-Klein Modell im Erlanger Programm ==
Das Beltrami-Klein-Modell kam bereits 1859 in einer Arbeit [[Arthur Cayley|Cayleys]] zur [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] vor, allerdings ohne Herstellung des Zusammenhangs zur hyperbolischen Geometrie. Beltrami wie auch Klein erkannten, dass mit diesem Modell die hyperbolische Geometrie als Teil der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] aufgefasst werden kann:<ref>John Stillwell: ''Sources of hyperbolic geometry.'' In: ''History of Mathematics.'' 10. American Mathematical Society, Providence RI; London Mathematical Society, London 1996, ISBN 0-8218-0529-0, x+153 S.</ref>
wenn man das Beltrami-Klein-Modell als Teilmenge des <math>\mathbb R^2\subset \mathbb RP^2=\mathbb R^2\cup\mathbb RP^1</math> betrachtet, dann sind die Isometrien des Beltrami-Klein-Modells Einschränkungen [[Projektive Abbildung|projektiver Abbildungen]], welche die Kreisscheibe auf sich abbilden.

== Zur Bedeutung des Beltrami-Klein-Modells ==
Im Beltrami-Klein-Modell ist das [[Parallelenaxiom|euklidische Parallelenaxiom]] nicht erfüllt, jedoch alle anderen [[Ebene (Mathematik)#Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid|Axiome der euklidischen Ebene]]. Da nun das Beltrami-Klein-Modell mittels Strukturelementen der euklidischen Ebene [[widerspruchsfrei]] entwickelt wurde, ist mit den Worten des Mathematikers [[Richard Baldus]] (Geometer und 1933–34 Präsident der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]) folgende zusammenfassende Feststellung zu treffen:
{{Zitat
|Text=Man kann aus der Euklidischen Geometrie beweisen, daß es nicht möglich ist, die Aussage des Euklidischen Parallelenaxioms aus den übrigen Axiomen der Euklidischen Geometrie als Satz abzuleiten.<br />Damit ist … die Lösung des uralten Rätsels des Euklidischen Parallelenaxioms gegeben. Sie rechtfertigt Euklid, der in genialer Weise die Notwendigkeit seines V. Postulats gefühlt hat.
|ref=<ref>Richard Baldus: ''Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene.'' Walter de Gruyter, Berlin 1964, S. 66.</ref>}}

Der Logiker und Wissenschaftstheoretiker [[Godehard Link]] kommentiert dazu folgendes:
{{Zitat
|Text=''Nicht-euklidische Geometrien'' sind genau von dieser Art: sie sind Modelle der Kernaxiome, die zugleich das Parallelenaxiom falsch machen. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurden solche Geometrien gefunden.<ref>Tatsächlich wurden erst 1868 von Beltrami hyperbolische Geometrien gefunden. Ab Ende der 1820er Jahre hatten [[Lobatschewski]] und andere weitreichende Folgerungen der Axiome der hyperbolischen Geometrie ausgearbeitet, aber kein Modell gefunden und damit auch die Widerspruchsfreiheit der hyperbolischen Geometrie nicht bewiesen.</ref> Sie beruhen auf einer radikalen ''Uminterpretation'' der anschaulichen Bedeutung geometrischer Begriffe. Dennoch kann man sich auch diese Geometrien veranschaulichen, indem man ihre Axiome mit Hilfe der derart umgedeuteten Begriffe in der klassischen ebenen Geometrie darstellt. Wiederum modern gesprochen, ''interpretiert man die nicht-euklidische Geometrie in der euklidischen Geometrie''. …
Im Fall der Geometrie kann man das Verfahren der Interpretation etwa durch das sogenannte ''Kleinsche Modell'' der hyperbolischen Geometrie innerhalb einer euklidischen Ebene illustrieren.
|ref=<ref>Godehard Link: ''Collegium Logicum''. Mentis, Paderborn 2009.</ref>}}

Hinsichtlich der von Godehard Link getroffenen Feststellung, man könne „die nicht-euklidische Geometrie in der euklidischen Geometrie uminterpretieren“ ist hervorzuheben, dass der Begriff der [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]] im Beltrami-Klein-Modell nicht mit dem Kongruenzbegriff der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] übereinstimmt. Im Beltrami-Klein-Modell kongruente Geradenstücke sind (wegen des anders definierten Abstandsbegriffes) im Allgemeinen '''nicht''' kongruent in der euklidischen Geometrie. Dagegen stimmen die [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzrelation]] und die [[Strecke (Geometrie)#Streckenaxiome|Zwischen-Relation]] des Beltrami-Klein-Modells mit denen der euklidischen Ebene überein. Richtig ist weiter, dass der hyperbolische Abstand aus euklidischen Abständen berechnet werden kann, nämlich mit der Formel
: <math>d(p,q)=\frac{1}{2} \log \frac{|qa||bp|}{|pa||bq|}</math>  ,

und insofern die Widerspruchsfreiheit der hyperbolischen Geometrie aus der Widerspruchsfreiheit der euklidischen Geometrie folgt.

== Literatur ==
* [[Norbert A’Campo]], Athanase Papadopoulos: ''On Klein’s so-called non-euclidean geometry.'' In: Sophus Lie, Felix Klein: ''The Erlangen program and its impact in mathematics and physics'' Hrsg.: L. Ji, A. Papadopoulos, European Mathematical Society Publishing House, 2014, {{arXiv|1406.7309v1}}.
* {{Literatur
|Autor=Richard Baldus
|Titel=Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene. Bearbeitet und ergänzt von Frank Löbell
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=970 / 970a
|Auflage=4.
|Verlag=Verlag Walter de Gruyter
|Ort=Berlin
|Datum=1964}}
* {{Literatur
|Autor=Eugenio Beltrami
|Titel=Saggio di interpetrazione della geometria non-euclidea
|Sammelwerk=[[Giornale di Matematiche]]
|Band=6
|Datum=1868
|Seiten=284–312
|Online=[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99432q/f399 gallica.bnf.fr]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Andreas Filler]]
|Titel=Euklidische und nichteuklidische Geometrie
|Reihe=Mathematische Texte
|BandReihe=7
|Verlag=BI Wissenschaftsverlag
|Ort=Mannheim [u. a.]
|Datum=1993
|ISBN=3-411-16371-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[David Hilbert]] und [[Stefan Cohn-Vossen|Stephan Cohn-Vossen]]
|Titel=Anschauliche Geometrie
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin [u. a.]
|Datum=1996
|ISBN=3-540-59069-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Helmut Karzel]]; Kay Sörensen; Dirk Windelberg
|Titel=Einführung in die Geometrie
|Reihe=Uni-Taschenbücher
|BandReihe=184
|Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht
|Ort=Göttingen
|Datum=1973
|ISBN=3-525-03406-7}}
* {{Literatur
|Autor=Felix Klein
|Titel=Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie
|Sammelwerk=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]]
|Band=4
|Datum=1871
|Seiten=573–625}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Knörrer]]
|Titel=Geometrie
|Auflage=2., aktualisierte
|Verlag=Vieweg-Verlag
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2006
|ISBN=978-3-8348-0210-1}}
* {{Literatur
|Autor=Godehard Link
|Titel=Collegium Logicum
|Verlag=Mentis
|Ort=Paderborn
|Datum=2009
|DNB=996736883}}
* {{Literatur
|Autor=[[Georg Nöbeling]]
|Titel=Einführung in die nichteuklidischen Geometrien der Ebene
|Verlag=Verlag Walter de Gruyter
|Ort=Berlin
|Datum=1976
|ISBN=3-11-002001-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harald Scheid]] [Bearbeiter]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik
|Auflage=4., völlig neu bearbeitete
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim [u. a.]
|Datum=1985
|ISBN=3-411-02423-2}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Beltrami–Klein models|Beltrami-Klein-Modell|audio=0|video=0}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Projektive Geometrie]]

Beltrami-Klein-Modell - Versionsgeschichte

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