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2025-12-28T17:46:32Z

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Die '''Begleitmatrix''' ist eine spezielle [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die einem normierten [[Polynom]] zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der [[lineare Algebra|linearen Algebra]].

== Definition ==
Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms <math>n</math>-ten Grades <math> f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ist die quadratische <math>n \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]].<ref>{{Literatur | Autor = Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler | Titel = Lineare Algebra | Jahr = 2003 | Verlag = de Gruyter | Ort = Berlin | ISBN = 3-11-017963-6 | Seiten = 349 }}</ref>

:<math>A(f) = \begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \ddots & \vdots & -a_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\
0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}.</math>

Manchmal wird auch die [[transponierte Matrix]] von <math>A(f)</math> verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

== Eigenschaften ==
Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] und das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] von <math>A(f)</math> sind gerade <math>f</math>. Andererseits ist eine <math>n\times n</math>-Matrix <math>A</math> ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von <math>A</math> genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von <math>A</math> identisch sind.<ref>Roger A. Horn, Charles R. Johnson: ''Matrix Analysis.'' Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 ({{Google Buch |BuchID=f6_r93Of544C |Seite=147}}).</ref>

Hat das Polynom <math>f</math> genau <math>n</math> verschiedene [[Nullstelle]]n <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math>, dann ist <math>A(f)</math> [[Diagonalmatrix|diagonalisierbar]]: <math>V A(f) V^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math> für die [[Vandermonde-Matrix]] <math>V = V(\lambda_1, \dots, \lambda_n)</math>.

Hiervon gilt sogar die Umkehrung, das heißt, eine Begleitmatrix <math>A(f)</math> ist genau dann diagonalisierbar, wenn <math>f</math> genau <math>\mathrm{grad}(f)</math> verschiedene [[Nullstelle]]n hat.

Ein endlich-dimensionaler [[Vektorraum]] ist genau dann zyklisch durch einen [[Endomorphismus]] erzeugt, wenn eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Vektorraums existiert bezüglich der die Darstellende [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] des Endomorphismus die Form einer Begleitmatrix hat.<ref>{{Literatur |Autor=Kenneth Hoffman, Ray A. Kunze |Titel=Linear algebra |Auflage=2. ed |Verlag=Prentice-Hall |Ort=Englewood Cliffs, N.J |Datum=1971 |ISBN=978-0-13-536797-1}}</ref>

Im Falle der ebenfalls gebräuchlichen Definition des [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynoms]] als <math>\chi_A = \operatorname{det}(A_f {-} \lambda E_n)</math>, ist das Solche von <math>A(f)</math> durch <math>(-1)^n f</math> gegeben. Der Beweis erfolgt durch [[Laplace-Entwicklung]] nach der letzten Spalte, wobei sich das Ergebnis von der Normierten Definition des charakteristischen Polynoms nach der Multilinearität der Determinante um den Faktor <math>(-1)^n</math> unterscheidet:

Sei <math>B := A_f-\lambda E_n</math>. Dann gilt
:<math>\chi_A = \operatorname{det}(B) = \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname{det}(\acute{B}_{in})</math>

Für alle <math>i \in \{1,...,n\}</math> ist <math>\acute{B}_{in}</math> in Blockgestalt, also

<math>\acute{B}_{in} = \begin{pmatrix} C_i & 0 \\ 0 & D_i \end{pmatrix}</math> mit <math>C_i =\begin{pmatrix} -\lambda & & & 0 \\ 1 & -\lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ 0 & & 1 & -\lambda\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(i-1,K)</math> ,<math>D_i =\begin{pmatrix} 1 & -\lambda & & 0 \\ & 1 & \ddots & \\ & & \ddots & -\lambda\\ 0 & & & 1\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(n-i,K)</math>

Mit dem Satz über Determinanten von [[Blockmatrix|Blockmatrizen]] und [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]] folgt
:<math>\operatorname{det}(\acute{B}_{in}) = \operatorname{det}({C}_{i}) \cdot \operatorname{det}({D}_{i}) = (-\lambda)^{i-1}</math>

Also gilt
:<math>\begin{align}
\chi_A &= \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname{det}(\acute{B}_{in}) \\
&= \left(\sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{n+i}(-a_{i-1})\cdot (-\lambda)^{i-1}\right) +(-1)^{2n}(-a_{n-1}-\lambda)\cdot(-\lambda)^{n-1} \\
&= \left(\sum_{i=1}^n(-1)^n(a_{i-1})\cdot \lambda^{i-1}\right) + (-1)^n \cdot \lambda^n \\
&= (-1)^n \left(\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i\lambda^i\right) + \lambda^n \right) \\
&= (-1)^n \cdot f \\
\end{align}
</math>

== Anwendung ==
Begleitmatrizen treten in der [[Normalform]]theorie auf. Die Existenz der [[Frobenius-Normalform]] besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer [[Blockdiagonalmatrix]] ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
[[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.

[[Kategorie:Matrix]]

Begleitmatrix - Versionsgeschichte

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