~2026-24199-92 am 20. April 2026 um 14:22 Uhr

2026-04-20T14:22:15Z

Neue Seite

Ein '''bayessches Netz''' oder '''Bayes’sches Netz''' (benannt nach [[Thomas Bayes]]) ist in der [[Bayessche Inferenz|Bayesschen Inferenz]] ein [[Graph (Graphentheorie)#Gerichteter azyklischer Graph|gerichteter azyklischer Graph]] (DAG), in dem die Knoten [[Zufallsvariable]]n und die [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] bedingte Abhängigkeiten zwischen den Variablen beschreiben. Jedem [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] des Netzes ist eine [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingte]] [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] der durch ihn repräsentierten Zufallsvariable, gegeben die Zufallsvariablen an den Elternknoten, zugeordnet. Sie werden durch Wahrscheinlichkeitstabellen beschrieben. Diese Verteilung kann beliebig sein, jedoch wird häufig mit diskreten oder [[Normalverteilung]]en gearbeitet. [[Gewurzelter Baum#Weitere Begriffe|Eltern]] eines Knotens v sind diejenigen Knoten, von denen eine Kante zu v führt.

Ein bayessches Netz dient dazu, die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung aller beteiligten Variablen unter Ausnutzung bekannter bedingter [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|Unabhängigkeiten]] möglichst kompakt zu repräsentieren. Dabei wird die bedingte (Un)abhängigkeit von Untermengen der Variablen mit dem A-priori-Wissen kombiniert.

Sind ''X''1, …, ''X''''n'' einige der im Graphen vorkommenden Zufallsvariablen (die abgeschlossen sind unter Hinzufügen von Elternvariablen), so berechnet sich deren [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung]] als
:<math>P(X_1,\dots,X_n) = \prod_{i=1}^{n}P(X_i | \mathrm{Eltern}(X_i))\;. </math>

Dabei ist <math>P(X_1,\dots,X_n)</math> eine symbolische Schreibweise für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math>.
Hat ein Knoten keine Eltern, so handelt es sich bei der assoziierten Wahrscheinlichkeitsverteilung um eine unbedingte Verteilung.

Wie im Beispiel unten interessiert man sich häufig für eine [[Randwahrscheinlichkeit]], die man durch Marginalisierung über alle möglichen Realisierungen <math>x_j</math> im [[Stochastischer Prozess#Definition|Zustandsraum]] <math>E_j</math> der Zufallsvariable <math>X_j</math> erhält:
:<math>P(X_1=x_1)=\sum_{x_2 \in E_2}\dots \sum_{x_n \in E_n} P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n).</math>

== Beispiel ==
[[Datei:Bayessches Netz.png|links|mini|400px|Beispiel für ein bayessches Netz mit drei Knoten und zwei Kanten. In den Tabellen sind oben links die Werte der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] <math>P(W)</math>, rechts die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion <math>P(M)</math>, und unten die Werte von <math>P(S|W,M)</math> tabelliert.]]
Im Beispiel bilden die drei Zufallsvariablen <math>W</math> = Wetter, <math>M</math> = Mensaessen und <math>S</math> = Stimmung die Knoten eines bayesschen Netzes. Neben den Knoten für die Zufallsvariablen <math>W</math> und <math>M</math> sind tabellarisch deren unbedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen angegeben. Neben dem Knoten für die Zufallsvariable <math>S</math> sind vier bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zufallsvariable <math>S</math>, gegeben die vier möglichen Kombinationen von <math>W</math> und <math>M</math>, angegeben.
Die beiden Zufallsvariablen <math>W</math> und <math>M</math> sind die Eltern von <math>S</math> und haben keine Eltern. Die beiden Pfeile (Kanten) werden kausal interpretiert.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet sich wegen der [[Stochastische Unabhängigkeit]] von M und W wie folgt:
:<math>\operatorname{P}(S, W, M) = \operatorname{P}(S \mid W, M) \cdot \operatorname{P}(W) \cdot \operatorname{P}(M)</math>
Daher folgt die mit Hilfe des [[Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit|Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit]] die [[Randverteilung]]
:<math>\operatorname{P}(S) = \sum_{w\in E_w}\sum_{m\in E_m}\operatorname{P}(S \mid W=w, M=m) \cdot \operatorname{P}(W=w) \cdot \operatorname{P}(M=m)</math>

Mit den angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen lässt sich die Randverteilung von <math>S</math> bestimmen. Beispielsweise gilt
:<math>\begin{alignat}{1}
\operatorname{P}(S = \text{gut}) & =\ & \operatorname{P}(S = \text{gut}\mid W = \text{Sonne}, M = \text{genießbar}) \cdot \operatorname{P}(W = \text{Sonne}) \cdot \operatorname{P}(M = \text{genießbar})\\
&& +\ \operatorname{P}(S = \text{gut}\mid W = \text{Sonne}, M = \text{ungenießbar}) \cdot \operatorname{P}(W = \text{Sonne}) \cdot \operatorname{P}(M = \text{ungenießbar}) \\
&& +\ \operatorname{P}(S = \text{gut}\mid W = \text{Regen}, M = \text{genießbar}) \cdot \operatorname{P}(W = \text{Regen}) \cdot \operatorname{P}(M = \text{genießbar})\\
&& +\ \operatorname{P}(S = \text{gut}\mid W = \text{Regen}, M = \text{ungenießbar})\cdot \operatorname{P}(W = \text{Regen}) \cdot \operatorname{P}(M = \text{ungenießbar})\\
& =\ & 0{,}95 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}90 + 0{,}70 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}10 + 0{,}75 \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}90 + 0{,}10 \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}10\;,
\end{alignat}</math>
wobei alle benötigten Wahrscheinlichkeiten den drei Tabellen entnommen werden können.

Außerdem lässt sich über
:<math>\operatorname{P}(S=s,W=w,M=m) = \operatorname{P}(S =s\mid W =w,M=m)\operatorname{P}(W=w,M=m) = \operatorname{P}(S=s\mid W=w,M=m)P(W=w)P(M=m)</math>
für <math>s \in \{\text{gut},\text{schlecht}\} </math>, <math>w \in \{ \text{Sonne}, \text{Regen} \} </math> und <math>m \in \{ \text{genießbar}, \text{ungenießbar} \} </math>
die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>S</math>, <math>W</math> und <math>M</math> bestimmen. Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Definition einer [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]] und das zweite Gleichheitszeichen verwendet die [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen]] <math>W</math> und <math>M</math>. Z. B. gilt
: <math>\begin{align}\operatorname{P}(S = \text{gut}, W = \text{Sonne}, M = \text{genießbar}) & = \operatorname{P}(S = \text{gut}\mid W = \text{Sonne},M = \text{genießbar})P(W = \text{Sonne})P(M = \text{genießbar})\\
& = 0{,}95 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}90\end{align} </math>.
Analog lassen sich sieben weitere Wahrscheinlichkeiten für alle weiteren Kombinationen von Werten der Zufallsvariablen <math>S</math>, <math>W</math> und <math>M</math> berechnen.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>S</math> und <math>W</math> erhält man aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>S</math>, <math>W</math> und <math>M</math> als
: <math>\operatorname{P}(S=s,W=w) = \operatorname{P}(S=s,W=w,M = \text{genießbar}) + \operatorname{P}(S=s,W=w, M= \text{ungenießbar})</math>
für <math>s \in \{\text{gut},\text{schlecht}\} </math> und <math>w \in \{ \text{Sonne}, \text{Regen}\}</math>.

Ist bekannt, dass die Stimmung gut ist, so lässt sich auf die Wahrscheinlichkeit sonnigen Wetters rückschließen:
: <math>\begin{align}\operatorname{P}(W = \text{Sonne} \mid S = \text{gut}) & = \frac{\operatorname{P}( S = \text{gut},W = \text{Sonne})}{\operatorname{P}(S = \text{gut})} \\
& = \frac{\operatorname{P}( S = \text{gut},W = \text{Sonne})}{\operatorname{P}(S = \text{gut},W = \text{Sonne}) + \operatorname{P}( S = \text{gut},W = \text{Regen})}\;, \end{align}</math>
wobei sich alle benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>S</math> und <math>W</math> ergeben.

== Schließen in bayesschen Netzen ==
Ist von manchen der Variablen, etwa ''E''1, ..., ''E''''m'', der Wert bekannt, d. h. es liegt [[Evidenztheorie|Evidenz]] vor, so kann mit Hilfe verschiedener [[Algorithmus|Algorithmen]] auch die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von ''X''1, ..., ''X''''n'' mit gegebenen ''E''1, ..., ''E''''m'' berechnet und damit [[Schlussfolgerung|Inferenz]] betrieben werden.

Das Inferenzproblem, sowohl das exakte wie auch das approximative, in Bayes’schen Netzen ist [[NP-Schwere|NP-schwer]]. In größeren Netzen bieten sich jedoch approximative Verfahren an. Exakte Verfahren sind zwar etwas genauer als approximative, dies spielt aber in der Praxis oft nur eine unwesentliche Rolle, da bayessche Netze zur Entscheidungsfindung eingesetzt werden, wo die genauen Wahrscheinlichkeiten nicht benötigt werden.

Zu beachten ist, dass bei Softwareumsetzungen exakter Inferenzverfahren oft nur doppelt genaue [[Gleitkommazahl]]en eingesetzt werden. Dadurch ist die Genauigkeit dieser Berechnungen eingeschränkt.

=== Exakte Inferenz ===
Zur exakten Inferenz in bayesschen Netzen eignen sich u. a. folgende
Algorithmen:

* [[Variablenelimination]]
* [[Clusterkoeffizient|Clustering]]-Algorithmen

=== Approximative Inferenz ===
* [[Rejection Sampling]]
* [[Likelihood weighting]]
* [[Self-Importance]]
* [[Adaptive Importance]]
* [[Markow-Kette]]n
* [[Monte-Carlo-Algorithmus]], z. B. [[Gibbs-Sampling]]

=== Inferenztypen ===
* Diagnostisch: Von Effekten zu Ursachen
* Kausal: Von Ursachen zu Effekten
* Interkausal: Zwischen Ursachen eines gemeinsamen Effekts
* Gemischt: Kombination der Vorangegangenen

== Lernen bayesscher Netze ==
Soll aus vorliegenden Daten automatisch ein bayessches Netz generiert werden, das die Daten möglichst gut beschreibt, so stellen sich zwei mögliche Probleme: Entweder ist die [[Graphentheorie|Graphenstruktur]] des Netzes bereits gegeben und man muss sich nicht mehr um die Ermittlung bedingter Unabhängigkeiten, sondern nur noch um die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen an den Knoten des Netzes kümmern, oder man muss neben den Parametern auch eine Struktur eines geeigneten Netzes lernen.

=== Parameterlernen ===
Geht man nicht von einem vollen (bayesschen) Wahrscheinlichkeitsmodell aus, wählt man im Allgemeinen

* [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzung]] (MLE)

als Schätzmethode. Für den Fall eines vollständigen (bayesschen) Wahrscheinlichkeitsmodells bietet sich zur Punktschätzung die

* [[Maximum a posteriori|Maximum-A-Posteriori-Schätzung]] (MAP)

an. [[Extremwert|Lokale Maxima]] der Likelihood- bzw. A-Posteriorifunktionen können im Fall von vollständigen Daten und vollständig beobachteten Variablen üblicherweise mit gängigen [[Optimierung (Mathematik)|Optimierungsalgorithmen]] wie

* [[Gradientenverfahren]] oder
* [[Newton-Verfahren|Newton-Raphson-Verfahren]]

gefunden werden. Für den (als die Regel anzusehenden) Fall fehlender Beobachtungen wird üblicherweise der mächtige und weit verbreitete

* [[EM-Algorithmus|Expectation-Maximization-Algorithmus]] (EM), bzw. der
* Generalisierte Expectation-Maximization-Algorithmus (GEM)

verwendet.

=== Strukturlernen ===
[[Strukturlernen]] kann u. a. mit dem [[K2-Algorithmus]] (approximativ, unter Verwendung einer geeigneten Zielfunktion) oder dem [[PC-Algorithmus]] erfolgen.

== Bedingte Unabhängigkeit ==
Zur Ermittlung bedingter Unabhängigkeiten zweier Variablenmengen gegeben eine dritte solche Menge genügt es, die Graphenstruktur des Netzes zu untersuchen. Man kann zeigen, dass der (graphentheoretische) Begriff der [[d-Separation]] mit dem Begriff der bedingten Unabhängigkeit zusammenfällt.

== Anwendung ==
Bayessche Netze werden als Form probabilistischer [[Expertensystem]]e eingesetzt, wobei die Anwendungsgebiete unter anderem in [[Bioinformatik]], [[Musteranalyse]], Medizin und Ingenieurwissenschaften liegen. In der Tradition der [[Künstliche Intelligenz|Künstlichen Intelligenz]] liegt der Fokus bayesscher Netze auf der Ausnutzung derer graphischen Strukturen zur Ermöglichung [[Abduktion|abduktiver]] und [[Deduktion|deduktiver]] [[Schlussfolgerung|Schlüsse]], die in einem unfaktorisierten Wahrscheinlichkeitsmodell undurchführbar wären. Realisiert wird dies durch die verschiedenen Inferenzalgorithmen.

Die Grundidee bayesscher Netze, nämlich die graphische Faktorisierung eines Wahrscheinlichkeitsmodells, wird auch in anderen Traditionen eingesetzt, wie in der [[Bayessche Statistik|Bayesschen Statistik]] und in der Tradition der sogenannten Graphischen Modelle zu Zwecken der Datenmodellierung. Anwendungsgebiete sind hier vor allem [[Epidemiologie]], Medizin und Sozialwissenschaften.

[[Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en können in der Praxis leicht durch Bayessche Netze simuliert werden.

== Software ==
* [http://pyro.ai/ Pyro]
* [https://www.pymc.io/welcome.html PyMc]
== Siehe auch ==
* [[Approximate Bayesian Computation]]
* [[Strukturgleichungsmodell]]

== Weblinks ==
* [https://github.com/CamDavidsonPilon/Probabilistic-Programming-and-Bayesian-Methods-for-Hackers Probabilistic Programming and Bayesian Methods for Hackers]

== Literatur ==
* Enrique Castillo, Jose Manuel Gutierrez, Ali S. Hadi: ''Expert Systems and Probabilistic Network Models''. Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94858-9.
* Finn V. Jensen: ''Bayesian Networks and Decision Graphs''. Springer-Verlag, New York 2001, ISBN 0-387-95259-4.
* Richard E. Neapolitan: ''Learning Bayesian Networks''. Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-012534-2.
* [[Judea Pearl]]: ''Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference''. Morgan Kauffmann Publishers, San Francisco 1988, ISBN 0-934613-73-7.
* Judea Pearl: ''Causality''. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-77362-8.
* [[Stuart Russell]], Peter Norvig: ''Künstliche Intelligenz – Ein moderner Ansatz''. Pearson Education Deutschland, Deutschland 2004, ISBN 3-8273-7089-2.

[[Kategorie:Bayessche Statistik]]
[[Kategorie:Gerichteter Graph]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Maschinelles Lernen]]

Bayessches Netz - Versionsgeschichte

~2026-24199-92 am 20. April 2026 um 14:22 Uhr