~2026-38874-6: a Priori -> a priori

2026-01-18T18:15:19Z

a Priori -> a priori

Neue Seite

Ein '''Bayes-Spiel''' (''[[Internationales Phonetisches Alphabet|IPA]]:'' [{{IPA|ˈbɛɪ̯zˌʃpiːl}}], {{Audio|De-Bayes-Spiel.ogg|anhören}}), '''bayessches Spiel''', oder '''bayesianisches Spiel''', bezeichnet in der [[Spieltheorie]] ein [[Spiel (Spieltheorie)|Spiel]] mit [[Spiel mit vollständiger Information|unvollständiger Information]], welches nach dem englischen Mathematiker [[Thomas Bayes]] benannt ist. Der [[Satz von Bayes]], mit dessen Hilfe man [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingte Wahrscheinlichkeiten]] berechnen kann, bildet die Grundlage für Lösungskonzepte dieser Spielart.

Bayes-Spiele sind als Spiele mit [[Spiel mit perfekter Information|imperfekter Information]] modellierbar.

== Definition ==
In einem Spiel mit unvollständiger Information gibt es mindestens einen Spieler, welcher nicht sämtliche, für das Spiel entscheidende Informationen (i. A. Auszahlungsfunktionen) über die anderen Spieler besitzt. Bayes-Spiele sind damit [[A-priori-Wahrscheinlichkeit|a priori]] nicht analysierbar. Es müssen Vermutungen über die [[Strategie (Spieltheorie)|Strategien]] und Entscheidungen der anderen Spieler in Form von [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en (''beliefs'') aufgestellt werden.

Nach einem Modell von [[John Harsanyi|Harsanyi]]<ref>{{Literatur |Autor=John C. Harsanyi |Titel=Games with Incomplete Information Played by "Bayesian" Players Part I. The Basic Model |Sammelwerk=Management Science |Band=14 |Nummer=3 |Datum=1967 |Seiten=127-261 |DOI=10.1287/mnsc.14.3.159 |JSTOR=30046151}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Drew Fudenberg, Jean Tirole |Titel=Game Theory |Verlag=The MIT Press |Ort=Cambridge, Massachusetts |Datum=1991 |ISBN=978-0-262-06141-4 |Seiten=209 ff.}}</ref> werden Bayes-Spiele mit Hilfe solcher ''beliefs'' als Spiele mit imperfekter Information dargestellt und analysiert. In einem solchen Spiel gibt es mindestens einen Spieler, welchem nicht jede zuvor getroffene Entscheidung (sowohl anderer Spieler als auch Zufallsentscheidungen) bekannt ist. Für alle nicht von Spielern getroffenen Zufallsentscheidungen wird ein neuer Spieler (''Natur'' genannt) eingeführt, der diese vor allen anderen Entscheidungen trifft. Somit können dieselben Lösungskonzepte wie bei Spielen mit imperfekter Information angewendet werden.

Beispielsweise ist in Kartenspielen die Verteilung der Karten zufällig und damit in den meisten Fällen unbekannt. Betrachtet man die Verteilung der Karten als ersten Zug des Spielers ''Natur'', so haben die Spieler imperfekte Information über die bisher getroffenen Entscheidungen. Im Gegensatz dazu ist [[Schach]] ein klassisches Beispiel für Spiele mit perfekter Information.

Dabei gilt formal für ein Spiel <math>G=<N;\; <T_i; \;S_i;\; u_i;\; p_i>_{i\in N}></math>:
# N bezeichnet die Menge der Spieler
#<math>T_i</math> bezeichnet die möglichen Typen des Spielers i. Dabei ist <math>t_i</math> der von der Natur gewählte Typ, <math>t_{-i}</math> sind die Typen aller anderen Spieler.
#<math>S_i</math> ist die Menge aller möglichen Strategien von Spieler i. Dabei ist <math>s_i</math> eine gewählte Strategie und <math>s_{-i}</math> sind die Strategien aller anderen Spieler.
#<math>u_i(s_i;\;s_{-i};\;t_i;\;t_{-i})</math> ist die Auszahlungsfunktion für Spieler i. Diese ist abhängig von allen gewählten Strategien und Typen.
#<math>p_i</math> sind die ''beliefs'' des Spielers i.

Ein Gleichgewicht besteht aus der Strategie jedes Spielers und deren ''beliefs''. Eine Strategie ist eine Menge von Aktionen für jeden möglichen Typ.

== Mathematische Grundlagen (Satz von Bayes) ==
[[Datei:Spieltheorie Bayes.svg|mini|350px|Graphische Veranschaulichung des Bayes-Theorems]]
{{Hauptartikel|Satz von Bayes}}
Mit Hilfe des Satzes von Bayes lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen:
: <math> P(A_i|B) \; = \; \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} {P(B)} </math>

Dabei gilt für die Wahrscheinlichkeit von ''<math>A_i</math> bedingt <math>B</math> '':
: <math> \begin{align}
P(A_i|B) \; &= \; \frac {P(A_i \cap B)}{P(B) }\\ &= \; \frac {\frac {P(A_i \cap B)}{P(A_i)} \cdot P(A_i)}{P(B)} \\ &= \; \frac {P(B|A_i) \cdot P(A_i)} {P(B)}
\end{align} </math>
Anschaulich also – wie im Bild rechts – ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>A_i</math> (rot) eintrifft, unter dem Wissen, dass <math>B</math> eingetroffen ist (gelber Bereich), gerade der Anteil des über <math>A_i</math> zu <math>B</math> führenden Astes an allen zu <math>B</math> führenden Ästen.

== Nicht-sequentielle Spiele und sequentielle Spiele ==
Sequentielle Spiele sind runden-basierte Spiele, bei denen die Auszahlungen der Spieler gerade die Summen der Auszahlungen der Spieler in jeder Runde sind. Sind in jeder Runde die Strategiemengen und Auszahlungsfunktionen identisch, spricht man auch von [[Wiederholte Spiele|wiederholten Spielen]]. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für sequentielle Spiele.

Je nach Spielart eignen sich unterschiedliche Darstellungsformen. Üblicherweise verwendet man die [[Normalform (Spieltheorie)|Normalform]] nur für nicht-sequentielle Spiele. Die [[Extensivform]] wird hingegen sowohl für nicht-sequentielle als auch für sequentielle Spiele benutzt.

[[Signalspiele]] bezeichnen eine besondere Art sequentieller Bayes-Spiele, die meist in einer Variante der Extensivform dargestellt werden.

Stochastische Bayes-Spiele modellieren sequentielle Bayes-Spiele mit Umgebungszuständen und stochastischen Zustandsübergängen.<ref>Stefano Albrecht, Jacob Crandall, and Subramanian Ramamoorthy. Belief and Truth in Hypothesised Behaviours. Artificial Intelligence, 235, 2016, S. 63–94, [[doi:10.1016/j.artint.2016.02.004]]</ref>

=== Nicht-sequentielle Spiele ===
==== Bayessches Nash-Gleichgewicht ====
[[Datei:Game theory schwimmbad kino.svg|mini|350px|Beispiel 1: nicht sequentielles Bayes-Spiel mit Spielertypen]]
Das bayessche Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination (falls vorhanden), bei der kein Spieler seine erwartete Auszahlung durch einen Strategiewechsel verbessern kann. Dabei muss er seine Vermutungen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung (''beliefs'') für die Strategien der anderen Spieler berücksichtigen. Dieses Konzept ist analog zum [[Nash-Gleichgewicht]] im Fall von Spielen mit perfekter und vollständiger Information.

==== Beispiel ====
In diesem Spiel planen zwei Arbeitskollegen ihre Freizeitbeschäftigung. Dabei stehen die Möglichkeiten Schwimmbad und Kino zur Wahl. Spieler 1 geht lieber in das Kino, Spieler 2 würde das Schwimmbad vorziehen. Natürlich verbringen beide ihre Freizeit lieber mit einem Freund als mit einem Feind. Allerdings weiß Spieler 2 nicht, wie sehr Spieler 1 ihn mag.

Spieler 1 ist entweder vom Typ ''Freund'' oder ''Feind'' und er selbst kennt seinen Typ. Die Auszahlungen sind abhängig von ihrem Verhältnis zueinander und der Wahl der Freizeitbeschäftigung: Sind sie Freunde und besuchen die gleiche Einrichtung, erhalten sie eine Auszahlung von 3. Sind sie Feinde möchten sie sich lieber meiden und erhalten eine Auszahlung von 3, wenn sie nicht am selben Ort sind. Zusätzlich erhalten sie die Auszahlung 2 für die bevorzugte Freizeitbeschäftigung.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Typen von Spieler 1 ist ''[[Common Knowledge|common knowledge]]'' und gleichverteilt: <math>P(\text{Freund}) = P(\text{Feind}) = \tfrac{1}{2}</math>. Da die Spieler gleichzeitig entscheiden (keine Absprache möglich), muss Spieler 2 Vermutungen über die Wahl von Spieler 1 aufstellen.

Es gibt zwei bayessche Nash-Gleichgewichte, bei denen sich kein Spieler durch Abweichen von seiner Strategie besser stellen kann.

Im ersten Gleichgewicht mit ([Kino, Schwimmbad]; Kino) gilt gerade P(Kino|Freund)=1 und P(Schwimmbad|Feind)=1. Damit folgt nach Bayes P(Freund|Kino)=P(Feind|Schwimmbad)=1. Analoges Vorgehen im zweiten Gleichgewicht mit ([Schwimmbad, Kino]; Schwimmbad)
liefert insgesamt:

<math>
\begin{align}
&([\text{Kino}, \text{Schwimmbad}; &\text{Kino})&; \text{ mit } P(\text{Freund}|\text{Kino})= P(\text{Feind}|\text{Schwimmbad})=1 \;) \\
&([\text{Schwimmbad}, \text{Kino}; &\text{Schwimmbad})&; \text{ mit } P(\text{Feind}|\text{Kino})=P(\text{Freund}|\text{Schwimmbad})=1 \;) \\
\end{align}
</math>

=== Sequentielle Spiele ===
==== Perfekt bayessches Gleichgewicht ====
{{Hauptartikel|Perfekt bayessches Gleichgewicht}}
Das perfekt bayessche Gleichgewicht ist eine Weiterentwicklung des [[Teilspielperfektes Gleichgewicht|teilspielperfekten Gleichgewichts]] für Spiele mit unvollständiger Information.

Eine Menge von Strategien und Vermutungen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen (''beliefs'') nennt man ''perfekt bayessches Gleichgewicht'', wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
# Jeder Spieler muss für jede Informationsmenge ''beliefs'' angeben können, welche jedem Knoten dieser Menge eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
# Jeder Spieler handelt, gegeben seiner ''beliefs'' und der Strategie der Gegner, rational. Das heißt, die Strategien führen zu teilspielperfekten Ergebnissen.
# Die ''beliefs'' auf dem Gleichgewichtspfad werden mit Hilfe des Bayes-Theorems ermittelt.

Bemerkung: Diese Forderungen definieren streng genommen nur ein schwach perfektes bayessches Gleichgewicht. Für ein [[perfekt bayessches Gleichgewicht]] bedarf es einer weiteren Bedingung.

==== Beispiele ====
===== Beispiel 1 =====
[[Datei:Bier Quiche.svg|mini|350px|Beispiel 1: Bier-Quiche Spiel]]
Im sogenannten ''Bier-Quiche-Spiel'' (erstmals von Cho und [[David Kreps|Kreps]] behandelt<ref>{{Literatur |Autor=In-Koo Cho and David M. Kreps |Titel=Signaling Games and Stable Equilibria |Sammelwerk=The Quarterly Journal of Economics |Band=102 |Nummer=2 |Datum=1987 |Seiten=183–187 |JSTOR=1885060}}</ref>)
gibt es zwei Spieler:

Spieler 1 ist entweder ein Softie oder ein Macho. Von welchem Typ Spieler 1 ist, wird von der ''Natur'' vorgegeben und ist nur ihm selbst bekannt. Dabei kennen beide Spieler die Wahrscheinlichkeitsverteilung: <math>P(Softie) = 0,1</math> und <math>P(Macho) = 0,9</math>. Er hat die Wahl zum Frühstück Bier oder Quiche zu bestellen. Als Softie erhält er durch Quiche eine Auszahlung von 1 und durch Bier 0, als Macho umgekehrt.

Spieler 2 trifft später Spieler 1 und hat die Möglichkeit sich zu duellieren. Er möchte sich jedoch nur duellieren, falls Spieler 1 ein Softie ist. Jedoch kennt Spieler 2 von Spieler 1 nicht den Typ, sondern nur dessen Frühstücksbestellung (Signal). Spieler 1 möchte in keinem Fall ein Duell und bekommt für kein Duell immer Auszahlung 2. Spieler 2 bekommt Auszahlung 1, falls er sich mit einem Softie duelliert oder das Duell mit einem Macho meidet. In allen anderen Fällen erhält er Auszahlung 0.

Die Graphik rechts veranschaulicht dieses Signalspiel mit aufaddierter Auszahlung.

Mögliche Strategien für Spieler 1 sind:
# Spiele ''Bier'' egal ob Macho oder Softie, kurz: [Bier, Bier],
# Spiele ''Quiche'' egal ob Macho oder Softie: [Quiche, Quiche],
# Spiele ''Bier'' als Macho und ''Quiche'' als Softie: [Bier, Quiche] und
# Spiele ''Quiche'' als Macho und ''Bier'' als Softie: [Quiche, Bier].

Mögliche Strategien für Spieler 2 sind:
# Spiele immer ''Duell'', egal welches Signal, kurz: [Duell, Duell],
# Spiele immer ''Kein Duell'', egal welches Signal: [Kein Duell, Kein Duell],
# Spiele ''Duell'', falls Signal ''Bier'', sonst ''Kein Duell'': [Duell, Kein Duell] und
# Spiele ''Kein Duell'', falls Signal ''Bier'', sonst ''Duell'': [Kein Duell, Duell].

Es gibt zwei perfekt bayessche Gleichgewichte:

Im ersten Gleichgewicht mit ([Quiche, Quiche]; [Duell, Kein Duell]), gilt P(Quiche|Softie) = P(Quiche|Macho) = 1. Mit dem Bayes-Theorem ergibt sich gemäß Forderung 3 der ''belief'' von Spieler 2:

<math>P(Softie|Quiche) =\frac{P(Quiche|Softie) \cdot P(Softie)}{P(Quiche)}=\frac{1\cdot 0,1}{1}=0,1</math>.

Analog ergibt sich im zweiten Gleichgewicht ([Bier, Bier]; [Kein Duell, Duell]) die ''beliefs'' <math>P(Softie|Bier) = 0,1 </math>.

Insgesamt gilt also:

<math>
\begin{align}
&((&[Quiche&, Quiche]&;\;[Duell,Kein \; Duell])&;\; P(Softie|Quiche) =0,1)\text{ und}\\
&((&[Bier&, Bier]&;\;[Kein \; Duell, Duell])&;\; P(Softie|Bier) =0,1)
\end{align}
</math>

Beide Gleichgewichte erfüllen zwar die Bedingungen an ein perfekt bayessches Gleichgewicht, Cho und Kreps erweitern aber den Gleichgewichtsbegriff um eine weitere Forderung. Im Allgemeinen wird diese ''intuitives Kriterium'' genannt und sorgt dafür, dass das erste Gleichgewicht ausgeschlossen wird<ref>{{Literatur |Autor=In-Koo Cho and David M. Kreps |Titel=Signaling Games and Stable Equilibria |Sammelwerk=The Quarterly Journal of Economics |Band=102 |Nummer=2 |Datum=1987 |Seiten=185 |JSTOR=1885060}}</ref>.

===== Beispiel 2 =====
Dieses Beispiel veranschaulicht, wie ''beliefs'' im Laufe eines wiederholten Spiels mit Hilfe des Bayes-Theorems angepasst werden. Es gibt nur einen Spieler, der auf das Ergebnis eines eventuell manipulierten Münzwurfs wettet. Eine richtige Voraussage bringt eine Auszahlung von 1, ansonsten 0. Die möglichen Münztypen werden von der ''Natur'' vorgegeben und sind gleich wahrscheinlich: ''Immer Kopf (IK)'', ''Faire Münze (FM)'' und ''Immer Zahl (IZ)''.

In der ersten Runde setzt der Spieler seine ''beliefs'' entsprechend der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Typen auf (1/3; 1/3; 1/3) für (IK; FM; IZ). Zunächst bringt Strategie ''Kopf'' dieselbe erwartete Auszahlung wie Strategie ''Zahl''. Der Spieler setzt also beliebig auf ''Kopf'' oder ''Zahl'' und wirft anschließend die Münze. Bevor er ein weiteres Mal setzt, passt er seine ''beliefs'' mit Hilfe des Bayes-Theorems an:

''Kopf'' (''K'') wird geworfen:
[[Datei:Münzwurf Bayes-Spiel.svg|mini|350px|Änderung der ''beliefs'' in Abhängigkeit vom Ereignis]]
<math>
\begin{align}
P(IK|K)&=\frac{P(K|IK)\cdot P(IK)}{P(K)}&&= \frac{1 \cdot 1/3}{1/2}&&= \frac{2}{3} \\
P(FM|K)&=\frac{P(K|FM)\cdot P(FM)}{P(K)}&&=\frac{1/2 \cdot 1/3}{1/2}&&=\frac{1}{3} \\
P(IZ|K)&=\frac{P(K|IZ)\cdot P(IZ)}{P(K)}&&= \frac{0 \cdot 1/3}{1/2}&&=0 \\
\end{align}
</math>

''Zahl'' (''Z'') wird geworfen:

<math>
\begin{align}
P(IK|Z)&=\frac{P(Z|IK)\cdot P(IK)}{P(Z)}&&= \frac{0 \cdot 1/3}{1/2}&&=0 \\
P(FM|Z)&=\frac{P(Z|FM)\cdot P(FM)}{P(Z)}&&= \frac{1/2 \cdot 1/3}{1/2}&&=\frac{1}{3} \\
P(IZ|Z)&=\frac{P(Z|IZ)\cdot P(IZ)}{P(Z)}&&= \frac{1 \cdot 1/3}{1/2}&&= \frac{2}{3} \\
\end{align}
</math>

Geht das Spiel weiter, werden die ''beliefs'' wie oben angepasst. Dabei ist nur zu beachten, dass sich die Wahrscheinlichkeiten <math>P(K)</math> beziehungsweise <math>P(Z)</math> nach jedem Wurf ändern. Unter der Annahme, dass im ersten Wurf ''Kopf'' gefallen ist, gilt:

<math>
\begin{align}
P(K)&= P(IK|K)\cdot P(IK)+P(FM|K)\cdot P(FM)+P(IZ|K)\cdot P(IZ)=\tfrac{2}{3} \cdot 1 + \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{2} + 0 \cdot 0= \tfrac{5}{6} \text{ und} \\
P(Z)&=1-P(K)=\tfrac{1}{6}
\end{align}
</math>

Insgesamt setzt der Spieler also im ersten Zug zufällig ([[Gleichverteilung|gleichverteilt]]) auf ''Kopf'' oder ''Zahl''. Danach wird er solange auf das Ergebnis der ersten Runde setzten, bis das Gegenteilige eintritt. Sofern dieser Fall überhaupt irgendwann eintritt, wird er ab diesem Zeitpunkt seine Strategie wieder zufällig wählen, da es sich mit Sicherheit um eine faire Münze handelt.

== Siehe auch ==
* [[Spieltheorie]]
* [[Nash-Gleichgewicht]]
* [[Teilspielperfektes Gleichgewicht]]
* [[Signalspiel]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Robert Gibbons
|Titel=A Primer in Game Theory
|Verlag=Financial Times
|Ort=Harlow
|Datum=1992
|ISBN=0-7450-1159-4}}
* {{Literatur
|Autor=Drew Fudenberg, Jean Tirole
|Titel=Game Theory
|Verlag=The MIT Press
|Ort=Cambridge, Massachusetts
|Datum=1991
|ISBN=0-262-06141-4}}
* {{Literatur
|Autor=John A. Hartigan
|Titel=Bayes Theory
|Verlag=Springer
|Ort=New York, Heidelberg
|Datum=1983
|ISBN=3-540-90883-8}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Spieltheorie]]
[[Kategorie:Bayessche Statistik]]

Bayes-Spiel - Versionsgeschichte

~2026-38874-6: a Priori -> a priori