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[[Datei:DecayChain241Pu-Version2.svg|alternativtext=Zerfallsreihe 241Pu|mini|Menge der Isotope in der Zerfallsreihe 241Pu als Funktion der Zeit]]
In der [[Kernphysik]] ist die '''Bateman-Funktion''' die Lösung für das [[Mathematisches Modell|mathematische Modell]] einer radioaktiver [[Zerfallsreihe]] als gekoppelte [[gewöhnliche Differentialgleichung]]en, das die Menge <math>N_t</math> und Aktivitäten in einer Zerfallskette als Funktion der Zeit <math>t</math> beschreibt.

Die Parameter sind
* die Anzahl der [[Isotop]]e (<math>decaysteps</math>), für die die Berechnung durchgeführt werden soll,
* die Anzahl der [[Zerfallsprodukt (Radioaktivität)|Zerfallsprodukte]], für die die Menge <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> (eben <math>N_t</math>) berechnet werden soll,
* die Zerfallsraten ([[Halbwertszeiten|Halbwertszeit]]) <math>\lambda[i]</math> der einzelnen Isotope <math>i</math> oder <math>j</math> in der Zerfallskette,
* die anfänglichen Menge an Isotopen <math>N_{t=0}</math> und die Menge <math>N_{t}</math> an Isotopen zum Zeitpunkt <math>t</math>,
* <math>a[j]</math> die Häufigkeit für eine Zerfallsart (branching ratio) (z. B. <math>\alpha</math>- oder <math>\beta</math>-Zerfall, wenn es denn alternative Wege in der Zerfallskette gibt).

Das Modell wurde 1905 von [[Ernest Rutherford]] formuliert und die analytische Lösung wurde 1910 von [[Harry Bateman]] bereitgestellt.

:<math>N_{t} = \sum _{i=1}^{decaysteps} N_{t=0}[i] \left(\prod _{j=1}^{{decaysteps}-1} {a[j] \lambda}[j]\right) \sum _{j=1}^{{decaysteps}} \frac{\mathrm e^{t (-{\lambda}[j])}}{\prod _{n=1}^{{decaysteps}} {If}[n\neq j,{\lambda}[n]-{\lambda}[j],1]}</math>

Die Lösung des Modells ist auch unter Verwendung des [[Matrixexponential]]s einer Matrix, die die Zerfallskonstanten der Mutter- und Tochternuklide enthält, möglich und in Computerprogrammen einfach umsetzbar.<ref>Edmond Levy: ''[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465518302613 Decay chain differential equations: Solutions through matrix analysis.]'' Computer Physics Communications 234, 2019, Seiten 188–194. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2018.07.011.</ref>

Die Bateman-Lösung für die gekoppelte Differentialgleichung für exponentielle Zerfallsprozesse wird auch verwendet, um (bio-)chemische oder pharmazeutische Abbauprozesse (auch in der Medizin) quantitativ zu beschreiben.

== Bateman-Funktion in der Pharmazie ==
[[Datei:Bateman1.jpg|mini|Graph der Bateman-Funktion Blutplasma]]
Die Bateman-Funktion ist eine mathematische Beziehung, die ein vereinfachtes Modell der Aufnahme (Invasion) oder Bildung und [[Elimination (Pharmakokinetik)|Elimination]] eines Stoffes (meist eines [[Arzneistoff]]s oder eines Zwischenprodukt in einer radioaktiven Zerfallsreihe) in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Bei der Bateman-Funktion wird angenommen, dass der Stoff sich in nur einem [[Kompartiment]] verteilt und die Aufnahme und Elimination einer [[Kinetik (Chemie)#Reaktionen erster Ordnung|Reaktion erster Ordnung]] folgt. Sie enthält daher zwei [[Exponentialfunktion|exponentielle]] Terme, die voraussetzen, dass Aufnahme und Elimination nur von der [[Stoffmengenkonzentration|Stoffkonzentration]] <math>c</math> und damit von der [[Diffusionskoeffizient|Diffusionskonstanten]] abhängt. Aktive Prozesse zum Stofftransport oder die unterschiedliche Verteilung und Anreicherung z. B. durch die [[Hydrophobie]] des Stoffes bleiben unberücksichtigt. Die Bateman-Funktion wird verwendet, um beispielsweise den Zeitpunkt und die Höhe der maximalen Stoffkonzentration oder das Unterschreiten einer minimalen Wirkkonzentration abzuschätzen. Sie ist nach dem britischen Mathematiker [[Harry Bateman]] (1882–1946) benannt. Eine Variante der Bateman-Funktion lautet:

:<math> c(t)=f \cdot \frac{D}{V}\cdot\frac{k_\mathrm a}{k_\mathrm a-k_\mathrm e}\cdot \left(\mathrm e^{-k_\mathrm e\cdot t}-\mathrm e^{-k_\mathrm a\cdot t}\right)</math>

Dabei bezeichnet <math>k_\mathrm a</math> die Absorptionsrate, <math>k_\mathrm e</math> die Eliminationsrate, <math>D</math> die [[Dosis]], <math>V</math> das [[Verteilungsvolumen]] und <math>f</math> die [[Bioverfügbarkeit]].

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Harry Bateman]]|Titel=Solution of a System of Differential Equations Occurring in the Theory of Radioactive Transformations|Sammelwerk=Proc. Cambridge Phil. Soc.|Band=15|Jahr=1910|Seiten=423–427}}
* E. R. Garrett: ''The Bateman function revisited: a critical reevaluation of the quantitative expressions to characterize concentrations in the one compartment body model as a function of time with first-order invasion and first-order elimination''. In: ''[[J Pharmacokinet Biopharm]]''. (1994) 22(2): S. 103–128, PMID 7815308
* E. R. Garrett: ''Simplified methods for the evaluation of the parameters of the time course of plasma concentration in the one-compartment body model with first-order invasion and first-order drug elimination including methods for ascertaining when such rate constants are equal''. In: ''J Pharmacokinet Biopharm''. (1993) 21(6): S. 689–734, PMID 8138893
* Bauer, Frömming, Führer: ''Lehrbuch der pharmazeutischen Technologie''
* Langguth, Fricker, Wunderli-Allenspach: ''Biopharmazie''
* J. Gabrielsson, D. Weiner: ''Pharmacokinetic & Pharmacodynamic Data Analysis: Concepts and Applications''

[[Kategorie:Pharmakologie]]

Bateman-Funktion - Versionsgeschichte

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