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2026-03-29T11:08:18Z

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Die '''Basquin-Gleichung''' (nach [[Olin Hanson Basquin]], 1910)<ref>O. H. Basquin: ''The exponential law of endurance tests.'' In: ''Proc. [[American Society for Testing and Materials Proceedings|ASTM]].'' 11, 1910, S. 625.</ref> liefert in der [[Werkstofftechnik]] grundlegende [[Kennwert]]e zur [[Materialermüdung|Ermüdung]] von [[Werkstoff]]en und Bauteilen. Die Gleichung beschreibt den Verlauf der [[Wöhlerlinie]] in doppel[[Logarithmische Darstellung|logarithmischer Darstellung]] im Bereich der [[Zeitfestigkeit]] als Gerade, also etwa zwischen 10<sup>4</sup> und 10<sup>6</sup> [[Schwingspiel]]en. Die Darstellung erfolgt über ein [[Potenzfunktion|Potenzgesetz]], das die [[Belastung (Physik)|Last]][[amplitude]] mit der Schwingspielzahl verknüpft.

== Vorbetrachtung ==
Bei der Durchführung von [[Schwingfestigkeit]]s<nowiki></nowiki>versuchen, bei denen [[Prüfkörper|Probekörper]] oder Bauteile mit einer sich periodisch ändernden Last [[Beanspruchung (Technische Mechanik)|beansprucht]] werden, können diese vorzeitig ausfallen, oder sie durchlaufen den Versuch vollständig; bei letzteren spricht man auch von Durchläufern.

Wurde der Schwingfestigkeitsversuch nach dem [[Perlschnurverfahren]] durchgeführt, dann liegen Versuchsergebnisse auf mehreren Lasthorizonten vor. Die sich daraus ergebende Wöhlerlinie kann bei doppelt-logarithmischer Darstellung im Zeitfestigkeitsbereich als Gerade (Zeitfestigkeitsgerade) angenähert werden. Die Lage <math>C</math> und Neigung <math>k</math> dieser Gerade werden durch die Basquin-Gleichung beschrieben:

:<math>N = C \cdot L_{a}^{-k}</math>

mit
: <math>N</math> – Schwingspielzahl
: <math>C</math> – Konstante zur Beschreibung der Lage der Zeitfestigkeitsgerade (in der Einheit der Lastgröße)
: <math>L_{a}</math> – Amplitude einer Lastgröße (Kraft, [[Mechanische Spannung|Spannung]], Weg)
: <math>k</math> – Neigung der Zeitfestigkeitsgerade (ohne Einheit).
Durch [[Logarithmieren]] und Überführen der Basquin-Gleichung in eine [[Geradengleichung]]

:<math>\log N = \log C -k \cdot \log L_{a}</math>

können durch Anwendung der [[Regressionsanalyse]] die Parameter <math>C</math> und <math>k</math> bestimmt werden.<ref>DIN 50100: ''Schwingfestigkeitsversuch - Durchführung und Auswertung von zyklischen Versuchen mit konstanter Lastamplitude für metallische Werkstoffproben und Bauteile'', DIN Deutsches Institut für Normung e.V., 2016.</ref>

== Spannungs-Wöhlerlinie ==
In einem Wöhler-Diagramm wird die Schwingspielzahl <math>N</math> bis zum [[Mechanisches Versagen|Versagen]] in Abhängigkeit von der Spannungsamplitude <math>\sigma_{A}</math> aufgetragen. Basquin erkannte, dass die Wöhlerlinie bei reiner [[Wechselbeanspruchung]] (d. h. Mittelspannung <math>\sigma_{m} = 0</math>) von einer einmaligen Belastung bis zur Dauer[[schwingfestigkeit]] einen linearen Verlauf nimmt, wenn die Amplituden der wahren Spannung und die Schwingspielzahlen logarithmisch aufgetragen sind.<ref>Ralf Bürgel, Hans Jürgen Maier, T. Niendorf: ''Handbuch Hochtemperatur-Werkstofftechnik Grundlagen, Werkstoffbeanspruchungen, Hochtemperaturlegierungen und -beschichtungen.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1388-6.</ref>

Mit der umgeformten Basquin-Gleichung gilt für reine Wechselbeanspruchung:<ref>S. Lampman: ''ASM Handbook.'' Volume 19: ''Fatigue and Fracture.'' ASM International, 1996, ISBN 0-87170-385-8.</ref>

:<math>\sigma_{A} = \sigma_{f}'(2N)^b</math>

mit
* der Amplitude <math>\sigma_{A}</math> der wahren Spannung in [[Pascal (Einheit) #Megapascal|MPa]]
* der Anzahl <math>2N</math> der Belastungsumkehrungen bis zum [[Bruchmechanik|Bruch]] (1 Zyklus entspricht 2 Umkehrungen)
* dem Schwingfestigkeitskoeffizient <math>{\sigma_f}'</math> in MPa (basiert auf einer Umkehrung und nicht auf einem Zyklus; entspricht nahezu der wahren [[Bruchspannung]] im [[Zugversuch]].<ref>Ralf Bürgel, H. J. Maier, T. Niendorf: ''Handbuch Hochtemperatur-Werkstofftechnik Grundlagen, Werkstoffbeanspruchungen, Hochtemperaturlegierungen und -beschichtungen.'' Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1388-6.</ref>; als grober Richtwert gilt für un- und niedriglegierte Stähle <math>\sigma_{f}' = R_m \cdot 1{,}5</math> sowie für Aluminium- und Titanlegierungen <math>\sigma_{f}' = R_m \cdot 1{,}67</math><ref>Dieter Radaj, M. Vormwald: ''Ermüdungsfestigkeit Grundlagen für Ingenieure.'' Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-44063-5.</ref>, jeweils mit der [[Zugfestigkeit]] <math>R_m</math>)
* dem Schwingfestigkeitsexponent <math>b</math> (einheitenlos; basiert auf einer Umkehrung und nicht auf einem Zyklus; hängt von vielen Faktoren ab, für die meisten Werkstoffe gilt bei ungekerbten Proben ein Wert zwischen −0,05 und −0,12.<ref>Erwin Haibach: ''Betriebsfestigkeit Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung.'' Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-29363-9.</ref>).

In einer doppeltlogarithmischen Auftragung (Amplituden der wahren Spannung auf der Ordinatenachse und Schwingspielzahl auf der Abszissenachse) ergibt sich daraus eine fallende Gerade. Die Dauerfestigkeit tritt bei <math>N > 10^6</math> Zyklen bzw. bei <math>2N > 2 \cdot 10^6</math> Lastumkehrungen auf, was einem Logarithmus der Belastungsumkehrungen von <math>\log (2N) > 6{,}3</math> entspricht.

Die Gleichung ist jedoch rein [[empirisch]] und ohne „echten“ physikalischen Hintergrund, da eigentlich die [[Plastische Verformung|plastischen]] [[Dehnung]]s<nowiki></nowiki>amplituden Schädigungen in der [[Gefüge (Werkstoffkunde)|Mikrostruktur]] des Werkstoffes und damit eine Reduzierung der [[Lebensdauer (Technik)|Lebensdauer]] hervorrufen, siehe [[Coffin-Manson-Modell]].

Für hohe Lebensdauern sind die plastischen Amplituden jedoch so gering und [[messtechnisch]] schwierig erfassbar, dass insbesondere im HCF-Bereich (''high-cycle-fatigue'') oftmals spannungskontrolliert die Lebensdauer ermittelt wird. Hier hat sich die Basquin-Gleichung als vorteilhaft erwiesen.

== Erweiterung für die Dehnungs-Wöhlerlinie ==
Durch die Nutzung des [[Hookesches Gesetz|Hooke’schen Gesetzes]] gilt folgender Zusammenhang:

::<math>\sigma_{A} = E \cdot \varepsilon_{A,el}</math>

mit dem [[Elastizitätsmodul]] <math>{E}</math> in MPa.

Mit dem Hooke’schen Gesetz und der Basquin-Gleichung für die Spannungs-Wöhlerlinie erhält man durch Umstellen und Zusammenfassen die Beziehung zwischen der Anzahl <math>2N</math> der Belastungsumkehrungen bis zum [[Bruchmechanik|Bruch]] und der elastischen [[Dehnung]]s<nowiki></nowiki>amplitude <math>\varepsilon_{A,el}</math>:

:<math>\varepsilon_{A,el} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{E} \cdot (2N)^{b}</math>

mit <math>\sigma_{f}^'</math> und <math>b</math> wie oben.

Dieser Ausdruck kann zur Erstellung einer Dehnungs-Wöhlerlinie herangezogen werden (siehe [[Kerbgrundkonzept]]).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Werkstoffprüfung]]
[[Kategorie:Betriebsfestigkeit]]

Basquin-Gleichung - Versionsgeschichte

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