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2026-02-25T07:05:52Z

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Das '''Basler Problem''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem [[Basel|Basler]] Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der [[Kehrwert|reziproken]] [[Quadratzahl]]en, also nach dem Wert der [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots</math> .

Es wurde 1735 durch [[Leonhard Euler]] gelöst, der den Reihenwert <math>\tfrac{\pi^2}{6} = 1{,}64493 \, 40668 \, 48226 \, \ldots</math><ref>{{OEIS|A013661}}.</ref> fand. Man kann dies auch auffassen als Suche nach dem Wert <math>\zeta (2)</math> der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen ζ-Funktion]] an der Stelle 2, die definitionsgemäß durch die angegebene unendliche Reihe dargestellt wird.

Das Basler Problem ist äquivalent zu

:<math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac {1}{{(2k+1)}^2}=\frac {{\pi}^2}{8}</math>

wegen

:<math>\frac {3}{4} \zeta (2)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n^2} - \sum_{m=1}^{\infty} \frac {1}{{(2m)}^2}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac {1}{{(2k+1)}^2}.</math>

== Lösungsversuche ==
[[Datei:RR5110-0079R.gif|mini|150px|Silbermünze Russland 2007 mit Euler und der Lösung des ''Basler Problems'']]
1644 fragte sich der Italiener [[Pietro Mengoli]], ob diese Summe konvergiere, und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten. Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker [[Jakob I Bernoulli]] von diesem Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich mehrere Mathematiker an der Fragestellung, hatten aber durchweg keinen Erfolg. Dann begann im Jahre 1726 [[Leonhard Euler]], der ebenfalls ein in Basel geborener Mathematiker und zudem ein Schüler von Jakob Bernoullis Bruder [[Johann I Bernoulli|Johann]] war, sich mit dem Problem zu befassen. 1735 fand er schließlich die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk ''De Summis Serierum Reciprocarum''.<ref>Euler: ''De summis serierum reciprocarum,'' Opera Omnia, Reihe I, Band 14, S. 73–86, in der Standard-Notation der Werke von Euler von Eneström ist das E 41, zuerst erschienen in Comm. Acad. Petrop. 7 (1734/35), St. Petersburg 1740, S. 123–134. Die Arbeit wurde im Dezember 1735 der Akademie vorgelegt.</ref> Diese überraschende Lösung des Problems, welche die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> enthält, trug wesentlich dazu bei, dass der Name Eulers in Mathematikerkreisen rasch bekannt wurde. Vor Euler hatten nämlich andere Mathematiker auf numerischem Wege lediglich herausgefunden, dass der Wert der Reihe, sofern existent, nahe der Zahl <math>\tfrac {8}{5}</math> liegen muss.<ref>Dunham: ''Euler, the master of us all,'' MAA, S. XXII.</ref>

Der Beweis erschien zwar erst im Jahre 1740 in gedruckter Form, verbreitete sich aber schon bald nach seiner Entdeckung unter den führenden Mathematikern im damaligen Europa.<ref>Eine Liste gibt André Weil: ''Number Theory from Hammurabi to Legendre,'' Birkhäuser 1984, S. 262, darunter Daniel und Johann Bernoulli, James Stirling, Abraham de Moivre. Euler kündigte das Ergebnis in einem Brief im Dezember 1735 an. Der Brief ist in Euler: ''Opera Omnia,'' Reihe III, Band 2, S. 73–74, teilweise übersetzt in Calinger: ''Euler,'' S. 119, Weil: ''Number Theory from Hammurabi to Legendre,'' S. 261.</ref>

Euler hatte sich dem Problem seit 1728 gewidmet. Vor dem exakten Beweis war es ihm durch numerische Rechnungen gelungen, den Wert der Reihe bis auf 20 Dezimalstellen genau zu berechnen (1732), was ihn schon den genauen Wert vermuten ließ.<ref>Calinger: ''Leonhard Euler,'' Princeton UP 2016, S. 119.</ref> Ein zweiter Beweis von Euler stammt aus dem Jahr 1741.<ref>Euler: ''Demonstration de la somme de cette suite 1+1/4 + 1/9 +1/16 + 1/25 + 1/36 + etc.'' Opera Omnia, Reihe I, Band 14, S. 177–186, in der Standardnotation der Werke E 63, zuerst erschienen in Journal littéraire d’Allemagne, de Suisse et du Nord, Band 2:1, Den Haag 1743, S. 115–127.</ref>

Es gibt viele verschiedene Beweise für die Lösung des Basler Problems. Im ''[[Das Buch der Beweise|Buch der Beweise]]''<ref>Martin Aigner, Günter M. Ziegler: ''Das Buch der Beweise'', Springer 2018, S. 61–72.</ref> werden neben einem (unten dargestellten) Beweis von [[William LeVeque]] (1956)<ref>LeVeque: ''Topics in Number Theory,'' Band 1, Addison-Wesley, 1956.</ref> Beweise von [[Jonathan Borwein]] und [[Peter Borwein]] präsentiert (aus einer Übungsaufgabe in ihrem Buch ''Pi and the AGM'' von 1987, er basiert auf einer „Quadrierung“ der [[Leibniz-Reihe]]),<ref>Robin Chapman: ''Evaluating ζ(2).'' Beweis 13, siehe Weblinks.</ref> ein elementarer Beweis von [[Akiwa Moissejewitsch Jaglom]] und [[Isaak Moissejewitsch Jaglom]] (1954, Ausgangspunkt ist eine Identität für eine Summe von Quadraten der Kotangensfunktion und wird unten dargestellt),<ref>A. M. Yaglom, I. M. Yaglom: ''Challenging mathematical problems with elementary solutions,'' Band 2, Holden-Day, 1967.</ref> der mehrfach wiederentdeckt wurde und sich schon bei [[Augustin-Louis Cauchy]] 1821 findet (''Cours d’Analyse'', Note VIII), und ein Beweis von [[Frits Beukers]], A. C. Kolk und [[Eugenio Calabi]] (1993), bei dem ein Doppelintegral durch geschickte Koordinatentransformation ausgewertet wird.<ref>Beukers, Kolk, Calabi: ''Sums of generalized harmonic series and volumes,'' Nieuw Archief voor Wiskunde, Band 11, 1993, S. 217–224.</ref><ref>Robin Chapman: ''Evaluating ζ(2).'' Beweis 2, siehe Weblinks.</ref> Ein Beweis aus der komplexen Analysis nutzt den [[Residuenkalkül]] für die Auswertung eines Integrals über die Funktion <math>f(z)=\pi \tfrac {\cot (\pi z)}{z^2}</math>, die Pole genau an den ganzen Zahlen hat.<ref>Robin Chapman: ''Evaluating ζ(2).'' Beweis 8, siehe Weblinks.</ref>

Euler behandelte 1755 auch allgemein Werte der Zetafunktion bei geradzahligen Stellen mit Hilfe der Partialbruchentwicklung der Kotangensfunktion.<ref>Aigner, Ziegler: ''Das Buch der Beweise'', Springer, 2018, S. 210 ff.</ref><ref>Euler: ''Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi infinitorum ac doctrina serierum,'' St. Petersburg 1755, Opera Omnia, Reihe I, Band 10.</ref>

== Lösungswege ==
=== Eulers erste Lösung ===
Für seine ursprüngliche Lösung<ref>Siehe z. B. C. J. Sangwin: [https://plus.maths.org/content/tags/eulers-solution-basel-problem ''An infinite series of Surprises''], Euler’s Solution of the Basel problem, Plus Magazine, abgerufen am 19. Oktober 2023.</ref> betrachtete Euler die [[Taylorreihe]] der [[Sinc-Funktion|Kardinalsinusfunktion]], also
: <math> \operatorname{si}(x) = \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots </math>
und setzte sie mit der Produktdarstellung jener Funktion gleich:
:<math> \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right) = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots</math>
Beim (hypothetischen) Ausmultiplizieren des unendlichen Produkts betrachtete er nur diejenigen Produkte, die <math>1</math> und <math>x^2</math> enthalten. Da es keine weitere Möglichkeit gibt, dass ein Term ein quadratisches Glied enthalten kann, müssen die beiden quadratischen Terme auf den jeweiligen Seiten gleich sein, also
:<math> -x^2 \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} + \frac{1}{4^2\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{x^2}{3!} = -\frac{x^2}{6}</math>.
Daraus folgerte Euler seine Lösung:
:<math> 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>

Für eine strenge Begründung der Produktdarstellung ist allerdings der erst später bewiesene [[Weierstraßscher Produktsatz|Weierstraßsche Produktsatz]] nötig.

=== Geometrische Lösung ===
Diese Lösung benutzt den [[Satz des Thales]], den [[Kreiswinkelsatz]], den [[Inverser Satz des Pythagoras|inversen Satz des Pythagoras]] und das [[Abstandsquadratgesetz]].<ref>{{Internetquelle |autor=M. Bischoff |url=https://www.spektrum.de/kolumne/pi-ist-ueberall-basler-problem-und-unendliche-summen/2024383 |titel=Pi ist überall – Teil 3.1: Was ergibt 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …? |werk=[[Spektrum.de]] |datum=2022-06-03 |abruf=2023-10-19}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Reimund Albers |url=http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Materialien/MatVortr/Vortragsmat/BaselerProbl_Praes.pdf |titel=Das Baseler Problem |titelerg=Eine geometrische Lösung. 2. Vorbereitung |werk=Math.Uni-Bremen.de |format=PDF |abruf=2023-10-19}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Johan Wästlund |url=https://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf |titel=Summing inverse squares by euclidean geometry |werk=Math.Chalmers.se |datum=2010-12-08 |format=PDF |sprache=en |abruf=2023-10-19}}</ref>
{|
|[[Datei:Theorems for the proof of the Basel problem.svg|224px]]
|[[Datei:Illustration to the Basel problem.svg|400px]]
|- style="vertical-align:top"
|Abb. 1: Illustration zum Satz von Thales (blau), Kreiswinkelsatz (grün) und inversen Satz des Pythagoras (gelb und rot)
|Abb. 2: Die Lichtmenge, die das Segelboot in Summe von den schwarzen Leuchttürmen empfängt, ist dieselbe, die es vom roten Leuchtturm erhält
|}

Der rote [[Kreisbogen]] in Abbildung 2 über dem [[Durchmesser]] vom Segelboot zum roten Leuchtturm hat die Länge 1, und der Umfang des roten Kreises ist 2, womit sein Durchmesser <math>2/\pi</math> ist. Das Segelboot empfängt vom roten Leuchtturm eine Lichtmenge ''C,'' die nach dem Abstandsquadratgesetz umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat ist oder, der Einfachheit halber, gleich dem Kehrwert des Abstandsquadrates ist, womit hier <math>C = \pi^2/4</math> ist.

Im Folgenden leuchten alle betrachteten Leuchttürme so hell wie der rote, bezeichnet ''Intensität'' die vom Segelboot empfangene Lichtmenge und ''Bogenabstand'' die Länge des zwischen zwei Orten liegenden Kreisbogens. Der rote Leuchtturm hat in Abbildung 2 den Bogenabstand 1 zum Segelboot und die Intensität C. Die beiden gelben Leuchttürme liegen auf dem doppelt so großen gelben Kreis, sodass sie den Bogenabstand 2 zueinander und den Bogenabstand 1 zum Segelboot haben.

Die Intensität der beiden gelben Leuchttürme ist in Summe dieselbe wie die des roten Leuchtturms. Denn die gelben Leuchttürme erzeugen mit dem Segelboot nach dem Satz von Thales ein rechtwinkliges Dreieck und der rote Leuchtturm liegt am Fußpunkt der Höhe des Segelbootes über der Hypotenuse des Dreiecks, womit die Aussage aus dem inversen Satz des Pythagoras und dem Abstandsquadratgesetz folgt, siehe Abbildung 1.

Ebenso ist die Intensität der vier grünen Leuchttürme in Abbildung 2 in Summe dieselbe wie die der beiden gelben Leuchttürme, deren Intensität in Summe der des einen roten Leuchtturms entspricht. Die grünen Leuchttürme liegen nach dem Kreiswinkelsatz ebenfalls im Bogenabstand 2 zueinander und der nächstgelegene im Bogenabstand 1 zum Segelboot, siehe Abbildung 1. Dieses Verfahren kann durch Verdoppelung der Anzahl der Leuchttürme auf doppelt so großen Kreisen immer weiter fortgesetzt werden, wobei
* der Bogenabstand des Segelbootes zum nächstgelegenen Leuchtturm immer 1 ist,
* der Bogenabstand zwischen zwei benachbarten Leuchttürmen immer 2 ist,
* die Intensität aller Leuchttürme auf dem Kreis in Summe immer gleich derjenigen des roten Leuchtturms ist und
* die Leuchttürme, die einen bestimmten Bogenabstand vom Segelboot haben, Endpunkte von Durchmessern sind, die sich einer Senkrechten im Bild immer mehr nähern und an deren anderem Endpunkt ein Leuchtturm scheint, der immer weniger zur Intensität beiträgt.

Indem der Trägerkreis der Leuchttürme immer größer wird, nähert er sich immer mehr einer Geraden an, schwarz in Abbildung 2, auf der Leuchttürme (ebenfalls schwarz) immer im Abstand 2 an den Stellen <math>\pm1, \pm3, \pm5, \dots</math> stehen, wenn das Segelboot im Ursprung schwimmt, und nur diese Leuchttürme tragen nennenswert zur Intensität bei. Daher ist die Intensität der schwarzen Leuchttürme in Summe gleich der des roten Leuchtturms <math>C = \tfrac{\pi^2}4</math>.

Wenn die schwarzen Leuchttürme links vom Segelboot ausgeschaltet werden, halbiert sich die Intensität zu <math>\textstyle \frac{\pi^2}{8}</math> und entspricht der Summe

:<math>h = \frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\dots=\frac{\pi^2}8.</math>

Beim Basler Problem ist

:<math>H=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\dots</math>

gesucht, was Leuchttürmen an den Stellen 1, 2, 3, … im Abstand 1 entspricht. Werden deren Abstände verdoppelt, viertelt sich nach dem Abstandsquadratgesetz die Intensität:

:<math>\frac H4 = \frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{6^2}+\dots</math>

Addition von ''h'' ergibt das Gesuchte:

:<math>\begin{align}
\frac H4 + h = & \ \frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{6^2}+\dots
+\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\dots
\\
= & \ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\frac1{5^2}
+\frac1{6^2}+\dots = H
\\
\iff H-\frac H4 = & \ \frac34H = h = \frac{\pi^2}8,
\end{align}</math>
was äquivalent zu <math>\textstyle H = \frac{\pi^2}{6}</math> ist.

Bemerkung: Die geometrische Lösung ist für sich genommen kein Beweis der Konvergenz der Reihe, da hier nur eine konvergente [[Teilfolge]] (ausschließlich Zweierpotenzen bei der Zahl der Leuchttürme) betrachtet wird. Allerdings hatte ja schon Jakob Bernoulli die Konvergenz der Reihe bewiesen, sodass die Bestimmung des Grenzwerts einer konvergenten Teilfolge ausreicht.

Daher kann man auch mit <math>n</math> gleichmäßig verteilten Leuchttürmen bei einem Kreis mit Umfang <math>2n</math> beginnen (<math>n>1</math>), sodass das Segelboot den Bogenabstand <math>1</math> von den beiden nächsten Leuchttürmen entfernt ist. Durch Anwendung der obigen Verdoppelungstechnik erzeugt man dann eine weitere Teilfolge mit konstanter Leuchtstärke <math>C_n</math>. Da alle Teilfolgen in einer konvergenten Folge gegen denselben Wert konvergieren, muss zwangsweise <math>C_n = C</math> gelten.

Die durchgehende Konstanz der Intensität erlaubt schließlich durch Rückskalierung noch die Berechnung der Leuchtstärke von <math>n</math> derartig (mit entsprechend geringerem Bogenabstand) gleichverteilten Leuchttürmen im Einheitskreis: Sie beträgt <math>n^2/4</math>.

=== Über ein Doppelintegral ===
Der Beweis über ein Doppelintegral erscheint als eine Übung in [[William LeVeque|William J. LeVeques]] Lehrbuch zur Zahlentheorie von 1956.

Über die [[geometrische Reihe]] erhält man zuerst die Darstellung
:<math> \zeta(2) = \int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y}{1 - xy}.</math>
Mittels einer [[Transformationssatz|Variablensubstitution]] <math>u = \frac{y+x}{2}</math> und <math>v = \frac{y-x}{2}</math> gelangt man zu
:<math> \zeta(2) = 4 \int_0^{\frac12} \left( \int_0^u \frac{\mathrm{d}v}{1-u^2 + v^2}\right)\mathrm{d}u + 4 \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( \int_0^{1-u}\frac{\mathrm{d}v}{1- u^2 + v^2} \right) \mathrm{d}u,</math>
wobei sich die inneren Integrale mit Hilfe des [[Arkustangens]] auflösen lassen zu
:<math> \zeta(2) = 4 \int_0^{\frac12} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \arctan\left( \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right) \mathrm{d}u + 4 \int_{\frac12}^1 \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \arctan\left( \frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}} \right)\mathrm{d}u.</math>
Mit <math> g(u) = \arctan\left( \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)</math> und <math> h(u) = \arctan\left( \frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}\right)</math> erhält man die Schreibweise
:<math> \zeta(2) = 4 \int_0^{\frac12} g'(u)g(u) \mathrm{d}u -8\int_{\frac12}^1 h'(u)h(u) \mathrm{d}u = 2\Big[g(u)^2\Big]_0^{\frac12} -4\Big[h(u)^2\Big]_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{\pi^2}{6}.</math>

=== Über die Reihenentwicklung des Arkussinus ===
Der Beweis über die Reihenentwicklung des Arkussinus entspricht dem zweiten Beweis von Euler von 1741.

Es gilt folgende Formel:
:<math>(2k+2) \int_{0}^{1} \frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm{d}x
- (2k+3) \int_{0}^{1} \frac{x^{2k+3}}{\sqrt{1-x^2}}\, \mathrm{d}x</math>
:<math>= \int_{0}^{1}\biggl[ (2k+2)\frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}}
- (2k+3)\frac{x^{2k+3}}{\sqrt{1-x^2}}\biggr]\, \mathrm{d}x</math>
:<math>= \int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2k+2}\sqrt{1-x^2}\right)\,\mathrm{d}x
=\left[x^{2k+2}\sqrt{1-x^2}\right]_0^1
=0.</math>
Daraus folgt für alle <math>k \in \N_0</math>:
:<math>\int_{0}^{1} \frac{x^{2k+3}}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \frac{2k+2}{2k+3} \int_{0}^{1} \frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x.</math>
Zusammen mit dem initialen Wert <math>\textstyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = 1</math> kann durch [[Vollständige Induktion|Induktion]] für alle <math>k \in \N_0</math>
:<math>\int_{0}^{1} \frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \frac{4^k(k!)^2}{(2k)!(2k+1)}</math>
gezeigt werden. Außerdem gilt mittels [[Taylorreihe|Taylor-Entwicklung]]:
:<math>\sum_{k = 0}^\infty \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)} x^{2k+1} = \arcsin(x)</math>
Durch Synthese der beiden zuletzt genannten Formeln folgt:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{4}{3}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}</math>
:<math>= \frac{4}{3}\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)}\,\frac{4^k(k!)^2}{(2k)!(2k+1)}</math>
:<math>= \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)} \int_{0}^{1} \frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x</math>
:<math>= \frac{4}{3} \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2(2k+1)} \,\frac{x^{2k+1}}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x</math>
:<math>= \frac{4}{3} \int_{0}^{1} \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x</math>
:<math>= \frac{4}{3} \biggl[ \frac{1}{2}\arcsin(x)^2 \biggr]_{x = 0}^{x = 1}</math>
:<math>= \frac{\pi^2}{6}</math>

=== Über eine Kotangenssumme ===
{{Belege fehlen|1=}}
Dieser Beweis findet sich schon bei Cauchy und wurde mehrfach neu entdeckt (darunter durch die Gebrüder Jaglom). Ausgangspunkt ist die Kotangenssumme:
:<math> \sum_{n=1}^m \cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2 = \frac{m(2m-1)}{3}</math>
Dies kann auf folgende Weise erklärt werden:
:<math> \tan[(2m+1)\varphi] = \left[\sum_{k=0}^{m} \binom{2m+1}{2k+1}(-1)^{k}\cot(\varphi)^{2m-2k}\right]\left[\sum_{k=0}^{m} \binom{2m+1}{2k}(-1)^{k}\cot(\varphi)^{2m+1-2k}\right]^{-1}</math>
Diese Gleichung resultiert aus dem [[Additionstheoreme (Trigonometrie)|Additionstheorem]] der Tangensfunktion.

Deswegen hat die Gleichung
:<math> \sum_{k=0}^{m} \binom{2m+1}{2k+1}(-1)^{k}x^{m-k} = 0</math>
folgende Lösungen:
:<math> x_n = \cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2, \qquad n = 1, 2, \dots, m</math>
Da die obige Gleichung vom Grad <math>m</math> ist und die Werte <math>x_n</math> [[paarweise verschieden]] sind, bilden sie die vollständige Lösungsmenge. Der [[Satz von Vieta]] besagt, dass man die negative Summe aller Lösungen der gesamten Lösungsmenge dadurch erhält, dass man den Koeffizienten des rangmäßig zweithöchsten Gliedes durch den Koeffizienten des rangmäßig höchsten Gliedes teilt. Das rangmäßig höchste Glied nimmt den Wert 1 aus <math>2m+1</math> an. Das rangmäßig zweithöchste Glied nimmt das Negative des Wertes 3 aus <math>2m+1</math> an. Somit gilt folgende Formel:
:<math> \sum_{n=1}^m \cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2 = \binom{2m+1}{3}\binom{2m+1}{1}^{-1} = \frac{m(2m-1)}{3}</math>
Diese kann auch elementar unter Verwendung der [[Eulersche Identität|Eulerschen Identität]] gezeigt werden.

Deswegen gilt Folgendes:
:<math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2</math>
:<math> = \lim_{m\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{m} \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2</math>
:<math> = \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{\pi^2}{(2m+1)^2} \sum_{n=1}^{m} \cot\left( \frac{\pi n}{2m+1}\right)^2</math>
:<math> = \lim_{m\rightarrow\infty} \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\,\frac{m(2m-1)}{3} = \frac{\pi^2}{6}</math>

=== Beweis über Fourier-Reihen ===
Der [[Satz von Parseval]] angewandt auf die [[Identische Abbildung]] <math>x \mapsto x</math> ergibt
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2 \, \mathrm{d}x</math>

mit
:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x e^{-inx} \, \mathrm{d}x = \frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^2} i= \frac{\cos(n\pi)}{n} i= \frac{(-1)^n}{n} i</math>

für <math>n \neq 0</math> und <math>c_0=0</math>, sodass zusammenfassend gilt:
:<math>|c_n|^2 = \begin{cases}
\dfrac{1}{n^2}, & \text{falls} \, \, n \neq 0, \\
0, & \text{falls} \, \, n = 0,
\end{cases}
</math>

und
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 \, \mathrm{d}x.</math>

Damit ergibt sich die Lösung des Basler Problems:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{6}.</math>

Ein weiterer Beweis ergibt sich aus der Berechnung der [[Fourierreihe]] für <math>f(x)=x(1-x)</math> auf <math>[0, 1]</math>:
<math>x(1-x)=\frac {1}{6} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\cos (2 \pi n x)}{{\pi}^2 n^2}</math>

Die Lösung des Basler Problems ergibt sich, wenn man <math>x=0</math> setzt.<ref>Robin Chapman: ''Evaluating ζ(2).'' Beweis 5, siehe Weblinks.</ref>

Ein weiterer Beweis über Fourierreihen der Form <math>\textstyle \sum_{n \not= 0} \frac {\cos (nx)}{n ^2}</math> findet sich in einem Buch von Fridtjof Toenniessen.<ref>Fridtjof Toenniessen: ''Das Geheimnis der transzendenten Zahlen.'' Springer 2019, S. 331–333.</ref><ref>Robin Chapman: ''Evaluating ζ(2).'' Beweis 6, siehe Weblinks.</ref>

== Verallgemeinerungen ==
Auch verallgemeinerte Euler das Problem.<ref>Markus Brede: ''Eulers Identitäten für die Werte von ζ(2).'' Mathematische Semesterberichte, Bd. 54, S. 135–140.</ref> Er untersuchte dafür die später [[riemannsche ζ-Funktion]] genannte Funktion
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots</math>
und fand einen allgemeinen geschlossenen Ausdruck für alle geradzahligen natürlichen Argumente <math>s = 2k</math>, nämlich
:<math> \zeta(2k) = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k}</math>,
wobei <math>B_{2k}</math> die <math>2k</math>-te [[Bernoulli-Zahl]] bezeichnet.
Zur Ermittlung der Zeta-Funktionswerte von geraden Zahlen dient auch folgende Formel:
:<math> \zeta(2k+2) = \frac{2}{2k+3} \sum_{n = 1}^{k} \zeta(2n)\zeta(2k+2-2n)</math>
Dabei ist <math>k \in \N</math>. Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente <math>s</math> (siehe z. B. [[Apéry-Konstante]]) ist bisher unbekannt. Die Erweiterung auf reziproke Kuben hatte schon Euler versucht.<ref>[[William Dunham]]: ''Euler and the Cubic Basel Problem,'' American Mathematical Monthly, Band 128, 2021, Nr. 4.</ref>

Der [[Dilogarithmus]] <math>\operatorname{Li}_2</math>, als eine Abwandlung des Logarithmus, hat an der Stelle 1 die gleiche Reihenentwicklung wie das Basler Problem. Daher gilt ebenfalls
:<math> \frac {\pi^2}6 = \operatorname{Li}_2(1)\ .</math>
Ebenso lässt sich die Verallgemeinerung des Basler Problems hin zu anderen Potenzen als Stellenwertsuche des [[Polylogarithmus]], einer Verallgemeinerung des Logarithmus, auffassen. Es gilt die Beziehung <math>\zeta(k) = \operatorname{Li}_k(1)</math>.

== Verbesserung der Konvergenz ==
In seinem Werk ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' verweist [[Konrad Knopp]] in Hinblick auf die Frage der Konvergenz der eulerschen Reihe auf die Möglichkeit einer deutlichen Verbesserung, die von ihm und [[Issai Schur]] im Jahre 1918 gefunden wurde.<ref>Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' Springer-Verlag, 1996, S. 275.</ref> Es handelt sich um die Gleichung

: <math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = 3 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(n-1)!}^2}{(2n)!}</math> ,

die sich nicht zuletzt durch die [[Arkussinus und Arkuskosinus#Reihenentwicklungen|Reihenentwicklung]] der Funktion <math>\arcsin(x)^2</math> und deren Auswertung für <math>x=\frac{1}{2}</math> ergibt.

== Literatur ==
* [[Martin Aigner]], [[Günter Ziegler|Günter M. Ziegler]]: ''Das Buch der Beweise.'' Springer, 2018.
* {{Literatur
|Autor=Markus Brede
|Titel=Eulers Identitäten für die Werte von ζ(2n)
|Sammelwerk=[[Mathematische Semesterberichte]]
|Band=54
|Datum=2007
|Seiten=135–140
|DOI=10.1007/s00591-007-0022-2}}
* {{Literatur
|Autor=Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers
|Titel=Beyond the Basel Problem. Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
|Sammelwerk=The College Mathematics Journal
|Band=39
|Nummer=5
|Datum=2008-11
|Seiten=391–394
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jonathan Borwein]], [[Peter Borwein]]
|Titel=Pi and the AGM
|TitelErg=A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original
|Reihe=Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts
|Auflage=2.
|Verlag=[[John Wiley & Sons]]
|Ort=New York
|Datum=1998
|ISBN=0-471-31515-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Konrad Knopp]]
|Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
|TitelErg=Mit einem Vorwort von [[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]
|Auflage=6., berichtigte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Budapest, Hongkong, London, Mailand, Paris, Santa Clara, Singapur, Tokio
|Datum=1996
|ISBN=3-642-64825-8
|DOI=10.1007/978-3-642-61406-4}}
* {{Literatur
|Autor=K. Knopp, I. Schur
|Titel=Über die Herleitung der Gleichung <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}</math>
|Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik und Physik]], 3. Reihe
|Band=27
|Datum=1918
|Seiten=174–176
|Online=[https://zbmath.org/46.0345.02 JFM 46.0345.02]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Max Koecher]]
|Titel=Klassische elementare Analysis
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
|Ort=Basel, Boston
|Datum=1987
|ISBN=3-7643-1824-4}}
* {{Literatur
|Autor=C. Edward Sandifer
|Hrsg=Robert E. Bradley
|Titel=Euler’s solution of the Basel problem—the longer story
|Sammelwerk=Euler at 300
|Reihe=The MAA tercentenary Euler celebration. Spectrum series
|BandReihe=5
|Verlag=Mathematical Association of America
|Ort=Washington DC
|Datum=2007
|ISBN=978-0-88385-565-2
|Seiten=105–117
|Sprache=en}}

== Weblinks ==
* Leonhard Euler: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/41/ ''De Summis Serierum Reciprocarum''] (lateinisch, englisch), englische Übersetzung bei {{arXiv|math/0506415}} (Eulers erster Beweis, Euler-Verzeichnis E 41).
* {{Internetquelle |autor=Robin Chapman |url=https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf |titel=Evaluating ζ(2) – 14 Beweise für den Wert von ζ(2) |werk=empslocal.ex.ac.uk |hrsg=[[University of Exeter]] |datum=1999-04-30 |format=PDF; 181 kB |sprache=en |abruf=2023-10-19 |abruf-verborgen=1}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls ''Die beeindruckende Geometrie hinter einer wundervollen Formel.''] (Video englisch, Untertitel deutsch).
* [https://www.youtube.com/watch?v=od9lUVypXrQ ''Wie Euler einmal pfuschte: Das Basler Problem.''] Von [[Edmund Weitz]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Basler Problem - Versionsgeschichte

imported>Zampel: Wort ergänzt