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2025-03-21T21:13:07Z

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Der Begriff der '''Basis''' eines [[Modul (Mathematik)|Modul]]s ist im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] eine Verallgemeinerung des Begriffes der [[Basis (Vektorraum)|Basis eines Vektorraumes]]. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.

== Definition ==
Ein System von Elementen <math>\{x_i\mid i\in I\}</math> eines [[Modul (Mathematik)|Moduls]] <math>M</math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> mit Einselement definiert eine Abbildung
:<math>\xi\colon R^{(I)}\longrightarrow M</math>
von der [[direkte Summe|direkten Summe]] von Kopien von <math>R</math> nach <math>M</math>, die von den Abbildungen
:<math>R\to M,\quad 1\mapsto x_i</math>
induziert wird.

* Ist <math>\xi</math> [[Injektivität|injektiv]], so heißt <math>\{x_i\mid i\in I\}</math> '''linear unabhängig'''.
* Ist <math>\xi</math> [[surjektiv]], so heißt <math>\{x_i\mid i\in I\}</math> ein [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugendensystem]].
* Ist <math>\xi</math> [[bijektiv]], so heißt <math>\{x_i\mid i\in I\}</math> eine '''Basis''' von <math>M</math>.
Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.<ref name="meyberg_def" />

== Eigenschaften ==
Die lineare Unabhängigkeit von <math>\{x_i\mid i\in I\}</math> ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale [[Linearkombination]] darstellen lässt:
:<math>\sum a_ix_i=0\quad\Longrightarrow\quad a_i=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ i\in I.</math>

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:
* Eine linear unabhängige [[Teilmenge]] lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
* Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
* Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.
Als Beispiele betrachte man den <math>\mathbb Z</math>-Modul <math>\mathbb Z</math>: Das System <math>\{2\}</math> ist maximal linear unabhängig, das System <math>\{2,3\}</math> ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er ''frei'' ist.<ref name="rowen" /> Der Begriff [[freier Modul]] ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat.
Über [[Hauptidealring]]en ist jeder [[Untermodul]] eines freien Moduls wieder frei.<ref name="meyberg_hid" />

== Induktive Berechnung einer Basis ==
Ist <math>M</math> ein freier Modul über einem Hauptidealring <math>R</math> und <math>N</math> ein Untermodul von <math>M</math>, dann kann eine Basis von <math>N</math> induktiv berechnet werden:

Sei <math>\{ m_1,\dotsc ,m_n \} </math> eine Basis von <math>M</math>, betrachte <math> N_i = N \cap \langle m_1, \dotsc , m_i \rangle </math>.

Das Ideal
<math> \{ r \in R : \exists m \in N_{i+1} \text{ mit } m = m' + r \cdot m_{i+1} \text{ und } m' \in \langle m_1, \dotsc ,m_i \rangle \} </math>
werde von dem Ringelement <math> a_{i+1} </math> erzeugt und es sei

<math> n_{i+1} = m' + a_{i+1} \cdot m_{i+1} \in N_{i+1} \text{ mit } m' \in \langle m_1, \dotsc ,m_i \rangle </math>,

dann gilt <math> N_{i+1} = N_i \oplus R \cdot n_{i+1} </math>.

=== Beispiel ===
Sei <math>M=\Z^3 = \langle(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle</math> ein <math>\mathbb Z</math>-Modul und der Untermodul definiert durch <math>N := \{ z \in \Z^3 : 2z_1 + 3z_2 + 4z_3 = 0 \land 5 \text{ teilt } z_2 \}</math>.

Eine Basis von <math>N</math> kann nun wie folgt berechnet werden:

:<math>N_1 = N \cap \langle(1,0,0)\rangle = \{ z \in \Z^3 : 2z_1 = 0 \} = \{ (0,0,0) \} </math>

:<math>N_2 = N \cap \langle(1,0,0),(0,1,0)\rangle = \{ z \in \Z^3 : 2z_1 + 3z_2 = 0 \land 5 \vert z_2 \} </math>

Wir suchen nun das kleinste positive <math>z_2</math>, welches obige Gleichung erfüllt.

<math>\Rightarrow N_2 = \langle(-15,10,0)\rangle </math>

:<math>N_3 = N \cap \langle(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle = N </math>

Wir suchen das kleinste positive <math>z_3</math>, welches die Gleichung erfüllt.

<math>\Rightarrow N_3 = N_2 \oplus \langle(-2,0,1)\rangle </math>

Wir haben eine Basis <math>N = \langle(-15,10,0),(-2,0,1)\rangle</math> gefunden.

== Beispiele ==

=== ℤ als ℤ-Modul ===
Es sei <math>M=\mathbb Z</math> die [[abelsche Gruppe]] der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist
* <math>\{2\}</math> eine maximale linear unabhängige Teilmenge, aber kein Erzeugendensystem.
* <math>\{2,3\}</math> ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.
Die einzigen Basen von <math>M</math> sind <math>\{1\}</math> und <math>\{-1\}</math>.

=== Gitter in ℝ<sup>n</sup> als ℤ-Modul ===
[[Datei:Lattice in R2.svg|miniatur|rechts|Gitter mit Basisvektoren <math>b_1=(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3})</math> und <math>b_2=(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3})</math>]]
Es seien <math>b_1, b_2, \ldots, b_m</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Vektoren des [[Euklidischer Raum#Euklidische Vektorräume|euklidischen Vektorraums]] <math>\mathbb{R}^n</math>. Dann nennt man den <math>\mathbb Z</math>-Modul
:<math>\Gamma := \langle b_1,\dots,b_m \rangle_\mathbb{Z} := \left\{\left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^m g_i b_i \ \right|\, g_i\in\mathbb{Z}\right\}</math>
ein [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] mit Basis <math>\{b_1, b_2, \ldots, b_m\}</math> vom Rang <math>m</math>.

Gitter in <math>\mathbb C=\mathbb R^2</math> spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der [[Elliptische Funktion|elliptischen Funktionen]] und [[Elliptische Kurve|elliptischen Kurven]], Gitter in <math>\mathbb C^g=\mathbb R^{2g}</math> stehen in Beziehung zu [[Komplexer Torus|komplexen Tori]] und [[Abelsche Varietät|abelschen Varietäten]].

== Einzelnachweise ==

<references>
<ref name="meyberg_def">
{{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra, Teil 1
|Verlag=Carl Hanser
|Ort=München, Wien
|Datum=1979
|ISBN=3-446-13079-9
|Fundstelle=Kap. 5.1 Linksmoduln, Kap. 5.3 Freie Moduln
|Sprache=de}}
</ref>
<ref name="meyberg_hid">
{{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra, Teil 1
|Verlag=Carl Hanser
|Ort=München, Wien
|Datum=1979
|ISBN=3-446-13079-9
|Fundstelle=Satz 5.5.1
|Sprache=de}}
</ref>
<ref name="rowen">
{{Literatur
|Autor=Louis H. Rowen
|Titel=Ring Theory I
|Verlag=Academic Press Inc.
|Reihe=Pure and Applied Mathematics
|BandReihe=127
|Datum=1988
|ISBN=0-125-99841-4
|Fundstelle=Proposition 1.3.3
|Seiten=54
|Sprache=en}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Algebra]]

Basis (Modul) - Versionsgeschichte

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