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2024-09-23T19:23:20Z

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Als '''Bartlett-Test''' (auch: '''Bartletts Test''') werden zwei verschiedene [[statistischer Test|statistische Tests]] bezeichnet:

* der Bartlett-Test ''auf Gleichheit der [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]]'' in <math>k</math> [[Stichprobe]]n und
* der Bartlett-Test ''auf [[Sphärische Kovarianzstruktur|Sphärizität]]'' zur Durchführung einer [[Faktorenanalyse]].

Beide Tests beruhen auf einem [[Likelihood-Quotienten-Test]] und setzen eine [[Normalverteilung]] voraus.

== Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen ==
Dieser Test prüft, ob <math>k</math> Stichproben aus [[Grundgesamtheit]]en mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die [[Varianzanalyse]], setzen voraus, dass die Varianzen der <math>k</math> Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett-Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von [[Maurice Bartlett]] entwickelt.<ref>{{Literatur |Autor = Maurice Bartlett |Titel = Properties of sufficiency and statistical tests |Sammelwerk = Proceedings of the Royal Statistical Society Series A |Band = 160 |Seiten = 268–282 |Jahr=1937 |DOI=10.1098/rspa.1937.0109 |JSTOR=96803}}
</ref> Dieser Test wird auch ''Bartletts M-Test'' oder ''Neyman-Pearson-Bartlett-Test'' genannt.<ref>{{Literatur|Autor = R.E. Glaser|Titel= Bartlett's test for homogeneity of variances| Hrsg= Samuel Kotz et al.|Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences|Verlag=Wiley|Ort=New York |Datum= 2006|Seiten=3211-3213 |ISBN= 978-0-471-15044-2 |Auflage = 2}}</ref>

=== Voraussetzung ===
Der Bartlett-Test setzt eine [[Normalverteilung]] für jede der <math>k</math> Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte <math>\mu_i</math> und die Varianzen <math>\sigma^2_i</math> unbekannt sind, <math>i=1,\ldots, k</math>. Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der [[Levene-Test]] oder [[Brown-Forsythe-Test]], die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

=== Hypothesen ===
Der Bartlett-Test testet die [[Nullhypothese]], dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

:<math>H_0: \sigma_1^2 = \dots = \sigma_k^2</math> gegen <math>H_1: \exists i,j \quad \text{mit} \quad \sigma_i^2\neq\sigma_j^2 </math>

=== Teststatistik ===
Wenn die <math>k</math> Gruppen die [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] <math>n_i</math>, die [[Stichprobenmittel]] <math>\bar X_i = \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} X_{ij} </math> und die [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianzen]] <math>S_i^2 = \frac{1}{n_i-1}\sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar X_i)^2</math> für <math>i=1,\ldots,k</math> haben, dann wird die [[Teststatistik]] definiert als

:<math>X^2 = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum\limits_{i=1}^k(n_i - 1)\ln(S_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)} \left( \left[\sum \limits_{i=1}^k\frac{1}{n_i-1} \right] - \frac{1}{N-k} \right)}
</math>
mit <math>N = \sum_{i=1}^k n_i</math> und <math>S_p^2 = \frac{1}{N-k} \sum_{i=1}^k (n_i-1)S_i^2</math>.

=== Testverteilung ===

Die Teststatistik <math>X^2</math> ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>k-1</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] der Teststatistik größer als <math>\chi^2_{k-1,1-\alpha}</math> ist.
Dabei bezeichnet <math>\chi^2_{k-1,1-\alpha}</math> das <math>(1-\alpha)</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>k-1</math> Freiheitsgraden. Dieser [[kritischer Wert (Statistik)|kritische Wert]] wird manchmal auch als oberer <math>100\alpha</math>-Prozentpunkt (engl. ''upper <math>100\alpha</math> percentage point'') der Verteilung bezeichnet und dann auch als <math>\chi^2_{k-1,\alpha}</math> notiert.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden [[Likelihood-Quotienten-Test]]s.

== Bartlett-Test auf Sphärizität ==

Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die [[Korrelation]]smatrix der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der [[Einheitsmatrix]] ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

=== Voraussetzung ===

Der Test setzt eine [[Mehrdimensionale Normalverteilung|multivariate Normalverteilung]] der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

=== Hypothesen ===

Der Test testet die Nullhypothese, dass die [[Korrelationsmatrix]] <math>R</math> gleich der [[Einheitsmatrix]] <math>E</math> ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

:<math>H_0: R=E\,</math> gegen <math>H_1: R\neq E</math>

=== Teststatistik ===

Wenn <math>p</math> die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix <math>R</math> berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

:<math>X^2 = -\left(n-1 - \frac{2p+5}{6}\right)\log(|R|)</math>

wobei <math>n</math> die Anzahl der Beobachtungen und <math>|R|</math> die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] von <math>R</math> ist.<ref>SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.</ref>

Die Teststatistik <math>X^2</math> ist approximativ <math>\chi^2_{p(p-1)/2}</math>-verteilt mit <math>p(p-1)/2</math> Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als <math>\chi^2_{p(p-1)/2,\alpha}</math>.

=== Zum Verständnis ===
Ein vereinfachtes Verständnis des Prinzips ist aus einer geometrischen Metapher herleitbar: man stelle sich die untersuchten Fälle als Punkte im Raum der Variablen vor. Die Variablenwerte bilden dabei die Koordinaten. Bei einer sphärischen Kovarianzstruktur bilden die Punkte eine etwa kugelförmige Wolke -[[Sphäre]] ist ein selten gebrauchtes Wort für Kugel. Solch eine Situation ist ungünstig für Verfahren wie die [[Hauptkomponentenanalyse|Hauptkomponenten-]] oder die [[Faktorenanalyse]], die ja versuchen, die Längsachse der Punktwolke zu finden, denn eine Kugel besitzt so etwas nicht.

== Einzelnachweise ==

<references />

== Weblinks ==

* [https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda357.htm NIST page on Bartlett's test]

[[Kategorie:Parametrischer Test]]
[[Kategorie:Latentes Variablenmodell]]

Bartlett-Test - Versionsgeschichte

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