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2023-07-19T16:02:45Z

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

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[[File:2022-08-09 12 43 26-Barnes-G from -6 to 4.png|thumb|'''Barnessche <math>G</math>-Funktion''' entlang der realen x-Achse]]
Die '''Barnessche <math>G</math>-Funktion''', typischerweise mit <math>G(z)</math> bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der [[Superfakultät]]en auf die [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] darstellt. Sie steht in Beziehung zur [[Gammafunktion]], der [[K-Funktion|<math>K</math>-Funktion]] und der [[Konstante von Glaisher-Kinkelin|Konstanten von Glaisher-Kinkelin]] und ist nach dem [[Mathematiker]] [[Ernest William Barnes]] benannt.<ref>Ernest W. Barnes: ''[http://www.archive.org/stream/quarterlyjourna50unkngoog#page/n285 The theory of the <math>G</math>-function]''. In: ''The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics'', Bd. 31 (1900), Seiten 264–314.</ref>

Formal ist die Barnessche <math>G</math>-Funktion in der Form eines [[Weierstraßscher Produktsatz#Weierstraß-Produkt|Weierstraß-Produkts]] definiert als

:<math>G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]</math>

wobei <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] bezeichnet.

== Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte ==

Die Barnessche <math>G</math>-Funktion erfüllt die [[Differenzengleichung]]

:<math>G(z+1)=\Gamma(z)G(z) </math>

mit der Normierung <math>G(1)=1.</math> Die Differenzengleichung impliziert, dass <math>G</math> die folgenden Werte für [[Ganze Zahl|ganzzahlige]] Argumente annimmt:

:<math>G(n)=\begin{cases} 0,&\text{falls }n=0,-1,-2,\ldots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!,&\text{falls }n=1,2,\ldots\end{cases}</math>

so dass

:<math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>

wobei <math>\Gamma(n)</math> die Gammafunktion und <math>K(n)</math> die [[K-Funktion]] bezeichnen. Die [[Differenzengleichung]] definiert die <math>G</math>-Funktion eindeutig, wenn die [[Konvexe Funktion|Konvexitätsbedingung]]
:<math>(\forall x \geq 1) \, \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3}\log(G(x))\geq 0</math>
gestellt wird.<ref>[[Marie-France Vignéras]]: ''L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire <math>SL(2,\mathbb{Z})</math>''. In: ''Astérisque'', Bd. 61 (1979), Seiten 235–249, {{ISSN|0303-1179}}.</ref>

Die [[Differenzengleichung]] der <math>G</math>-Funktion und die [[Funktionalgleichung]] der [[Gamma-Funktion]] liefern die folgende Funktionalgleichung für die <math>G</math>-Funktion, wie ursprünglich von [[Hermann Kinkelin]] bewiesen wurde:

:<math> G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int\limits_0^z \pi t \cot \pi t \, \mathrm dt.</math>

== Multiplikationsformel ==
Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die <math>G</math>-Funktion eine Multiplikationsformel:<ref>[[Moshe Y. Vardi]]: ''Determinants of Laplacians and multiple gamma functions.'' In: ''SIAM Journal on Mathematical Analysis'', Bd. 19 (1988), Seiten 493–507, {{ISSN|0036-1410}}.</ref>
:<math>
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)
</math>
wobei <math>K(n)</math> eine Funktion ist, die durch

:<math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>

gegeben ist. Hierbei ist <math>\zeta^\prime</math> die Ableitung der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] und <math>A</math> die [[Konstante von Glaisher-Kinkelin]].

== Asymptotische Entwicklung ==
Die Funktion <math>\log \,G(z+1 )</math> hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:
:<math> \log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+
\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).</math>

Hierbei bezeichnet <math>B_{k}</math> die [[Bernoulli-Zahl]]en und <math>A</math> die [[Konstante von Glaisher-Kinkelin]]. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes<ref>[[Edmund Taylor Whittaker]], George N. Watson: ''A Course of Modern Analysis.'' 4. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 978-0-521-09189-3.</ref> die Bernoulli-Zahl <math>B_{2k}</math> als <math>(-1)^{k+1} B_k </math> geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für <math>z </math> in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

== Weblink ==

*{{MathWorld|BarnesG-Function|Barnes <math>G</math>-Function}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Barnessche G-Funktion - Versionsgeschichte

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