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2020-03-22T17:09:01Z

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Als '''Baric-Algebra''' bezeichnet man eine lineare [[Algebra (Struktur)|Algebra]] mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion ({{enS|baric}}, von {{elS|βάρος|báros|de=schwer, gewichtig}}). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der [[Theoretische Biologie|theoretischen Biologie]] betrachteten [[Genetische Algebra|genetischen Algebren]].

== Definition ==
Eine (nicht notwendigerweise assoziative) [[Algebra (Struktur)|Algebra]] <math>A</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus <math>w\colon A\longrightarrow K</math> gibt. <math>w</math> wird Gewichtsfunktion genannt, <math>w(x)</math> heißt Gewicht von <math>x \in A</math>.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus [[Darstellungstheorie|darstellungstheoretischer]] Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

== Charakterisierungen ==
* Eine nicht-assoziative <math>k</math>-Algebra <math>A</math> ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal <math>I \subset A</math> gibt, so dass <math>A/I \cong k</math>
* Eine nicht-assoziative <math>n</math>-dimensionale <math>\mathbb{R}</math>-Algebra <math>A</math> ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine [[genetische Basis]] besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen <math>u_1, u_2, \dots, u_k</math> besteht eine Beziehung <math>u_i \cdot u_j = \sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} u_k </math> mit Koeffizienten <math>\gamma_{ijk} \in \mathbb{R}</math>, für welche gilt: <math>\sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} = 1, \; \gamma_{ijk} \geq 0</math>.
* Eine nicht-assoziative <math>n</math>-dimensionale <math>\mathbb{R}</math>-Algebra <math>A</math> ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein <math>(n - 1)</math>-dimensionales Ideal <math>N \subset A</math> gibt, für das gilt: <math>A^{\rm 2} \nsubseteq N</math>.

== Beispiele ==
* <math>\mathbb{R}^3</math> mit dem [[Vektorprodukt]] als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative <math>\mathbb{R}</math>-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu <math>\mathbb{R}</math> isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
* <math>\mathbb{R}^2</math> mit zwei Basisvektoren <math>e_1, e_2</math>, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:
::<math>e_1 \cdot e_1 = e_2, \; e_1 \cdot e_2 = e_1, \; e_2 \cdot e_1 = e_2, \; e_2 \cdot e_2 = e_1</math>.
: Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:
::<math>(e_1 \cdot e_2) \cdot e_2 \neq e_1 \cdot (e_2 \cdot e_2)</math>.
: Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist <math>w(\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2) = \alpha_1 + \alpha_2</math>.
* Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:
:<math>\mathbb{R}^2</math> mit zwei Basisvektoren <math>a_1, a_2</math> und folgender Multiplikationstafel:
{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
|-
! . || <math>a_1</math> || <math>a_2</math>
|-
| <math>a_1</math> || <math>a_1</math> || <math>{1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2</math>
|-
| <math>a_2</math> || <math>{1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2</math> || <math>a_2</math>
|}
: ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion <math>w(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2) = \alpha_1 + \alpha_2</math>.

== Literatur ==
* Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: ''Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik''. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9
* Angelika Wörz-Busekros: ''Algebras in Genetics''. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
* I.M.H. Etherington: ''Genetic Algebras''. In: ''Proc. Roy. Soc. Edinburgh'', 59, 1939, S. 242–258

[[Kategorie:Algebra]]

Baric-Algebra - Versionsgeschichte

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