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2025-12-07T17:43:17Z

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Die '''Bandstruktur''' beschreibt die Zustände von [[Elektron]]en und [[Defektelektron|Löchern]] eines [[kristall]]inen [[Festkörper]]s im [[Reziproker Raum|Impulsraum]] und damit die Beschaffenheit dessen elektronischer Struktur. Sie ist die [[Dispersionsrelation]] von Elektronen unter dem Einfluss des Festkörpergitterpotentials. Das [[Energiebändermodell]] eines Festkörpers ist im Wesentlichen die im Impulsraum dargestellte Bandstruktur.

== Bedeutung ==
Die Bandstruktur zählt zu den zentralen Konzepten der [[Festkörperphysik]]. Viele grundlegende Eigenschaften eines Festkörpers können mit Hilfe der Bandstruktur verstanden werden, beispielsweise:
* [[elektrische Leitfähigkeit]]
* thermische Eigenschaften ([[Wärmekapazität]] und [[Wärmeleitfähigkeit|-leitfähigkeit]])
* optische Eigenschaften ([[Absorptionsspektrum]], [[Emissionsspektrum]])
* Größen wie [[effektive Masse]] oder [[Zustandsdichte]].

== Allgemeines ==
Freie Elektronen der Masse <math>m</math> besitzen eine [[Parabel (Mathematik)|parabolische]] Dispersionsrelation, d. h., der Zusammenhang zwischen [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math> (der Betrag des Wellenvektors ist die [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>) und [[Energie]] <math>E</math> ist gegeben durch

:<math>E(\vec k) = \frac{ \hbar^2 \vec k^2}{2m}</math>

mit dem reduzierten [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]] <math>\hbar.</math>

„[[Freies Teilchen|Frei]]“ bedeutet dabei, dass die Elektronen nicht mit anderen Elektronen wechselwirken und sich in keinem [[Elektrisches Potential|Potential]] befinden. Diese Situation wird durch folgende [[Hamilton-Funktion]] beschrieben:

:<math>H = \frac{\vec p^2}{2m}</math>

mit dem [[Impuls]] <math>\vec p.</math>

Elektronen in einem Festkörper, auch als [[Kristallelektron]]en bezeichnet, können durch den Einfluss des periodischen Gitterpotentials nicht mehr als freie Teilchen angesehen werden. Im einfachsten Fall kann ein Kristallelektron dann als ein [[Quasiteilchen]] mit einer von der [[Masse (Physik)|Masse]] des freien Elektrons <math>m</math> abweichenden [[effektive Masse|effektiven Masse]] <math>m^*</math> beschrieben werden, was in der Dispersionsrelation zu Parabelkurven abweichender Krümmung <math>\hbar^2/m^*</math> führt.

Die vollständige Dispersionsrelation <math>E(\vec k)</math> der Kristallelektronen wird durch die Bandstruktur beschrieben: diese stellt die Energie über dem Wellenvektor <math>\vec k</math> (graphisch) dar. In der direkten Umgebung der Hochsymmetriepunkte, wie dem Punkt <math>\Gamma</math>, ist die Parabelform der Kurven noch zu erkennen.

Ein Energieband, wie beispielsweise das [[Leitungsband|Leitungs-]] oder [[Valenzband]], ergibt sich durch den Energiebereich, welchen die zugehörige <math>E(\vec k)</math>-Kurve überdeckt: für diese Energien gibt es erlaubte Zustände im Impulsraum. Der Bereich der [[Bandlücke]] (nicht existent bei Metallen) ist jedoch frei von Elektronen, da es dort keine erlaubten elektronischen Zustände gibt. Deshalb wird dieser Bereich auch oft als „Energielücke“ oder auch „verbotene Zone“ bezeichnet.

== Bandübergänge ==
=== Interbandübergang ===
Interbandübergänge erfolgen von einem Band zu einem anderen. Das Ereignis der [[Absorption (Physik)|Absorption]] eines [[Photon]]s (und gegebenenfalls eines zusätzlichen [[Phonon]]s), also einer Interbandanregung, stellt ein Beispiel für einen Interbandübergang dar.

==== Direkter Bandübergang ====
[[Datei:Bandstruktur - direkter Bandübergang.svg|mini|Direkter Bandübergang<br />im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm]]
Direkte Bandübergänge erfolgen praktisch ohne Änderung des Impulsvektors <math> \vec k </math>, also senkrecht im Diagramm (der Impulsübertrag durch das Photon auf das Elektron ist vergleichsweise klein und daher zu vernachlässigen). Sie sind hoch wahrscheinlich, da neben der Zuführung der nötigen Sprungenergie, z. B. durch ein Photon, keine zusätzliche Bedingung erfüllt sein muss.

==== Indirekter Bandübergang ====
[[Datei:Bandstruktur - indirekter Bandübergang.svg|mini|Indirekter Bandübergang<br />im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm]]
Bei indirekten Bandübergängen ändert sich zusätzlich der Impulsvektor <math> \vec k </math>, im Diagramm erfolgen sie also „schräg“. Um solche Übergänge auszulösen, muss im Falle einer Interbandanregung also nicht nur die Energie zugeführt werden, sondern auch noch der zusätzliche Impuls. Dies kann z. B. durch ein passendes Phonon erfolgen, wie es bei Temperaturen oberhalb des [[absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkts]] durch die thermische [[Gitterschwingung]] existieren kann. Durch diese Verknüpfung zweier Bedingungen sind indirekte Übergänge in der Regel deutlich weniger wahrscheinlich als direkte Übergänge. Die Wahrscheinlichkeit indirekter Bandübergänge ist zudem temperaturabhängig.

Bei [[Halbleiter]]n spricht man je nach dieser Natur ihrer [[Fundamentalabsorption]] von ''direkten'' oder ''indirekten'' Halbleitern.

=== Intrabandübergang ===
Es sind auch Übergänge innerhalb eines Bands möglich, sie werden entsprechend ''Intrabandübergänge'' genannt. Dabei ändert sich immer der Impulsvektor <math> \vec k </math>, meistens auch die Energie. Genau wie bei einem indirekten Interbandübergang ist zur Auslösung also die Zuführung sowohl der Differenzenergie als auch des zusätzlichen Impulses notwendig.

== Darstellungsarten ==
Trägt man in einem Diagramm die Dispersionsrelation <math>E(\vec k)</math>, also die Energie <math>E</math> der Elektronen über deren [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math> auf, so erhält man bezüglich eines Wellenvektors <math>k</math> (entspricht der Ausbreitungsrichtung und ist proportional zum Impuls <math>\vec p</math>) abwechselnd erlaubte Energiebereiche (Energiebänder) und verbotene Energiebereiche (Energie- oder [[Bandlücke]]n). Ebenso können Überlappungen von Energiebändern auftreten (z. B. bei [[mehrwertig]]en Metallen). Einen kontinuierlichen Verlauf der Energie <math>E(\vec k)</math> in Abhängigkeit vom Wellenvektor erhält man nur für einen unendlich ausgedehnten Kristall.<ref>{{Literatur | Autor = Horst Hänsel, Werner Neumann | Titel = Physik, Band 4, Moleküle und Festkörper | Auflage = | Verlag = Spektrum Akademischer Verlag | Jahr = 2000 | ISBN = 3-8274-1037-1|Seiten=329–330}}</ref>

{| class="floatright"
|- style="vertical-align:top"
| [[Datei:Bandstruktur GaAs.svg|ohne|mini|Reduziertes Zonenschema von [[Galliumarsenid|GaAs]] bei 300 K (vereinfacht)]]
| [[Datei:Band structure Si schematic.svg|ohne|mini|Reduziertes Zonenschema von [[Silicium]], verbotene Bereiche grau.]]
|}

Es gibt drei Varianten derartiger Bandstrukturdiagramme (auch als Zonenschemata oder Energie-Wellenvektor-Diagramme bezeichnet):
* erweitertes Zonenschema: Darstellung der verschiedenen Bänder in verschiedenen Zonen
* '''reduziertes Zonenschema''': Darstellung aller Bänder in der 1. [[Brillouin-Zone]]
* periodisches Zonenschema: Darstellung aller Bänder in jeder Zone

Markante Punkte in der Bandstruktur sind die Symmetriepunkte wie unter anderem der Γ-Punkt, <math>\vec k=(0,0,0)</math>. Hier ist der Impuls <math>\vec p = \hbar \vec k =\vec 0</math>. Abhängig von der [[Kristallstruktur]] sind bestimmte Ausbreitungsrichtungen energetisch sehr günstig für Elektronen. An diesen Punkten kann man in der Bandstruktur Minima finden, was heißt, dass die Ladungsträgerdichte entlang dieser Ausbreitungsrichtungen (allerdings auch abhängig von der Temperatur) tendenziell höher ist.

== Theorie von Bandstrukturen ==
Die Berechnung von Bandstrukturen realer Materialien erfolgt im Allgemeinen mit Hilfe des [[Bändermodell]]s. Hierbei wird der Kristall lediglich über eine [[Schrödingergleichung|Einteilchen-Schrödingergleichung]] approximiert und mit Hilfe von [[Ansatz (Mathematik)|Ansatzfunktionen]] in Form von [[Bloch-Funktion|Blochfunktionen]] gelöst. Diese setzen sich zunächst aus einem vollständigen Satz von unendlich vielen [[Basis (Vektorraum)|Basisfunktionen]] zusammen, wobei die explizite mathematische Form je nach verwendetem Modell sehr unterschiedlich ausfallen kann. Die bedeutendsten Ansätze sind der Fourierreihenansatz im Modell der quasifreien Elektronen und die [[Linearkombination]] von [[Atomorbital]]en in der [[Tight-Binding-Methode]]. Die unendlich langen Summen approximiert man in der Praxis mit einer endlichen Anzahl von Basisfunktionen, wobei je nach verwendetem Modell und betrachtetem Material (v. a. Abhängigkeit des [[Chemische Bindung|Bindungstyp]]) die Zahl der verwendeten Terme bis zur Konvergenz der Energien stark unterschiedlich ausfallen kann. Häufig reduziert sich der numerische Aufwand unter Ausnutzung von [[Symmetriegruppe|Symmetrieeigenschaften]] erheblich. Dadurch kann nun mit relativ überschaubarem numerischem Aufwand die Bandstruktur realer Materialien ermittelt werden.

Die gebräuchlichsten drei Modelle sind:

* [[Modell der quasifreien Elektronen]] mit Fourierreihenansatz
* [[Tight-Binding-Methode]] mit Atomorbitalansatz
* [[k·p-Methode]] mit abstrakten, darstellungsunabhängigen Ansatz über die [[Gruppentheorie]] (genauer der [[Darstellungstheorie]])

== Bandstrukturen realer Festkörper ==

Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: [[Galliumarsenid|GaAs]]<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/materials/mp-2534?formula=GaAs#electronic_structure |titel=mp-2534: GaAs (Cubic, F-43m, 216) |werk=[[Materials Project]] |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. S. Blakemore |Titel=Semiconducting and other major properties of gallium arsenide |Sammelwerk=Journal of Applied Physics |Band=53 |Nummer=10 |Datum=1982-10 |Sprache=en |ISSN=0021-8979 |DOI=10.1063/1.331665 |Seiten=R123–R181 |Online=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.331665 |Abruf=2023-01-26}}</ref> und AlAs<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/materials/mp-2172?formula=AlAs#electronic_structure |titel=mp-2172: AlAs (Cubic, F-43m, 216) |werk=[[Materials Project]] |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref>). Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinander gehängt werden.

In jedem realen Kristall gibt es im Energiebereich der Bandlücke zusätzliche [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierte]] Zustände, die von Verunreinigungen, [[Gitterfehler]]n oder [[Oberflächenphysik|Oberflächeneffekten]] herrühren. Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z. B. beim [[Dotierung|Dotieren]] von [[Halbleiter]]n oder in [[Farbzentrum|Farbzentren]].

== Materialdatenbanken ==
Weltweit existieren verschiedene Sammlungen an Materialdaten, die u. a. die Bandstruktur als Teil der „elektronische Struktur“ sammeln und für wissenschaftliche Zwecke anbieten.<ref>{{Literatur |Autor=M. K. Horton, S. Dwaraknath, K. A. Persson |Titel=Promises and perils of computational materials databases |Sammelwerk=Nature Computational Science |Band=1 |Nummer=1 |Datum=2021-01 |Sprache=en |ISSN=2662-8457 |DOI=10.1038/s43588-020-00016-5 |Seiten=3–5 |Online=https://www.nature.com/articles/s43588-020-00016-5 |Abruf=2023-01-22}}</ref> Einige Beispiele sind,

* [https://matprop.ru NSM Archive] (Ersatz-Link bei [https://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html Ioffe]),
* [https://nomad-lab.eu/prod/rae/encyclopedia/ NOMAD] ([[Novel Materials Discovery]] in Verbund mit der ''[[FAIR Data Infrastructure|FAIR-DI]]''),
* [[Materials Project]] (angeboten vom [[Lawrence Berkeley National Laboratory]]).<ref>{{Internetquelle |url=https://materialsproject.org/ |titel=Materials Project - Home |hrsg=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]] |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://docs.materialsproject.org/methodology/materials-methodology/electronic-structure#references |titel=Electronic Structure |werk=[[Materials Project]] |hrsg=xxx |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref>

Für die Berechnung der Materialparameter wird z. B. das [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|DFT]]-Verfahren angewandt und gehört mittlerweile zum Standard im Bereich der [[Theoretische Chemie|Computergestützten Chemie]] oder Materialwissenschaften.<ref>{{Literatur |Autor=Zachary M. Gibbs, Francesco Ricci, Guodong Li, Hong Zhu, Kristin Persson, Gerbrand Ceder, Geoffroy Hautier, Anubhav Jain, G. Jeffrey Snyder |Titel=Effective mass and Fermi surface complexity factor from ab initio band structure calculations |Sammelwerk=npj Computational Materials |Band=3 |Nummer=1 |Datum=2017-02-23 |Sprache=en |ISSN=2057-3960 |DOI=10.1038/s41524-017-0013-3 |Seiten=1–7 |Online=https://www.nature.com/articles/s41524-017-0013-3 |Abruf=2023-01-22}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Richard M. Martin |Titel=Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods |Auflage=2 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2020-08-27 |Sprache=en |ISBN=978-1-108-55558-6 |DOI=10.1017/9781108555586 |Online=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781108555586/type/book |Abruf=2023-01-22}}</ref> Einige bekannte Werkzeuge (auch kommerzielle), die die Bandstrukturen, [[Zustandsdichte]]n (DoS) usw. berechnen, sind: [[CASTEP]] ([[Mike Payne (Physiker)|Mike Payne]] & Kollegen),<ref>{{Internetquelle |url=http://www.castep.org/Prop/Prop |titel=Capabilities |werk=CASTEP |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref> [[DFTB]]<ref>{{Internetquelle |url=https://dftbplus-recipes.readthedocs.io/en/latest/basics/bandstruct.html |titel=Band structure, DOS and PDOS — DFTB+ Recipes |werk=DFT+ |hrsg=DFTB+ developers group |datum=2022 |sprache=en |abruf=2023-01-22}}</ref> (vgl. [[Tight-Binding-Methode]]), [[Quantum Espresso|QE]] etc.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Festkörperphysik|Halbleiter}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Direct and indirect bandgaps|Direkte und indirekte Bandübergänge}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Wacker |Titel=An Introduction to the Concept of Band Structure |Datum=2018 |Sprache=en |Online=http://www.matfys.lth.se/staff/andreas.wacker/Scripts/bandstructure_intro.pdf}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4143994-6}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Quantenphysik]]

Bandstruktur - Versionsgeschichte

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