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2023-01-07T15:59:13Z

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Mit '''Bandmatrix''' wird in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] bezeichnet, bei der zusätzlich zur [[Hauptdiagonale]]n nur eine bestimmte Anzahl von [[Nebendiagonale]]n Elemente ungleich null aufweist. Sind nur eine untere und eine obere Nebendiagonale ungleich null, so spricht man von [[Tridiagonalmatrix|Tridiagonalmatrizen]]. Diese Matrizen sind damit [[Dünnbesetzte Matrix|dünnbesetzte Matrizen]] mit einer speziellen Struktur. Bandmatrizen entstehen häufig bei der [[Diskretisierung]] von [[Differentialgleichung|Differentialgleichungen]].

== Beschreibung ==

Seien <math>p,q \in \mathbb{N}</math> mit <math>p,q\ge 0</math>, so ist die Matrix A eine Bandmatrix der Bandbreite <math>l=p+q+1</math>, falls für ihre Elemente <math>a_{ij}</math> gilt:

:<math>a_{ij}=0</math> für <math>j+p<i</math> oder <math>i+q<j.</math>

Neben der Hauptdiagonale sind also nur p untere und q obere Nebendiagonalen besetzt.

:<math>\left(
\begin{matrix}
a_{11} & \ldots & a_{1(q+1)} & 0 & \ldots& \ldots & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & & \ddots & \ddots & & & \vdots \\
a_{(p+1)1}& & \ddots & & \ddots & \ddots & & \vdots\\
0& \ddots & & \ddots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots& &\ddots & & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots&\ddots & & \ddots & & a_{(n-q)n} \\
\vdots & & & \ddots& \ddots& & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots &\ldots & \ldots & 0 & a_{n(n-p)} & \ldots & a_{nn}
\end{matrix}
\right)</math>

== Eigenschaften ==
Für [[Definitheit|positiv definite]] Bandmatrizen bleibt die Bandstruktur in der [[Cholesky-Zerlegung]] erhalten. Verwendet man Spaltenpivotisierung zur Lösung, so gilt dies auch für die [[Gaußsches Eliminationsverfahren|LR-Zerlegung]] einer [[Reguläre Matrix|regulären]] Bandmatrix. Dabei erhöht sich lediglich die Anzahl der Diagonalen leicht. Der Aufwand für die Berechnung reduziert sich jeweils auf <math>O(n)</math>.

== Weblinks ==
* [https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1021 LP – Bandmatrizen] (Definition, Sätze, Beweise, Pseudo-Code zur LU-Zerlegung)

{{Normdaten|TYP=s|GND=4134366-9}}

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Bandmatrix - Versionsgeschichte

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