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{{Begriffsklärungshinweis}}
Die '''Bandbreite''' ist eine Kenngröße in der [[Signalverarbeitung]]. Sie legt die Breite des [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] in einem [[Frequenzspektrum]] fest, in dem die dominanten Frequenzanteile eines zu übertragenden oder zu speichernden Signals liegen. Die Bandbreite ist durch eine untere und eine obere [[Grenzfrequenz]] charakterisiert, wobei je nach Anwendung unterschiedliche Festlegungen der beiden Grenzwerte existieren und somit je nach Zusammenhang unterschiedliche Bandbreiten als Kennwert existieren. Der Begriff dient zur Beschreibung von Signalübertragungssystemen in verschiedenen Bereichen wie der [[Nachrichtentechnik]], [[Funktechnik]] oder [[Akustik]].

== Festlegungen ==
Jeder [[Kanal (Informationstheorie)|Übertragungskanal]] besitzt – abhängig von seinen physikalischen Eigenschaften – eine untere und eine obere Grenzfrequenz. Die untere Grenzfrequenz kann auch null sein; in diesem Fall spricht man von [[Basisband]]lage, andernfalls von Bandpasslage. Die Betragsdifferenz der beiden Grenzfrequenzwerte wird als Bandbreite bezeichnet. Die Grenzfrequenzen werden entweder in der Einheit [[Hertz (Einheit)|Hertz]] (Hz) und üblicherweise mit ''f'' abgekürzt oder mittels der [[Kreisfrequenz]] in der Einheit s<sup>−1</sup> und als <math>\omega</math> bezeichnet.

Für die Festlegung der Grenzfrequenzen und damit der Bandbreite sind je nach Anwendung und Bezug verschiedene Definitionen gebräuchlich. Diese unterschiedlichen Festlegungen können, bei identischen physikalischen Eigenschaften, zu abweichenden Bandbreitenangaben führen. Im Folgenden sind einige gebräuchliche Definitionen der Bandbreite beschrieben.

=== Strikte Bandbegrenzung ===
[[Datei:Bandlimited absolute LP.svg|miniatur|rechts|Betragsfrequenzgang im Basisband mit Bandbreite <math>B</math>]]
Ein Signal ist dann strikt bandbegrenzt, wenn der [[Frequenzgang|Betragsfrequenzgang]] <math>|X(\mathrm{j}\omega)|</math>, mit dem Parameter <math>\omega</math> als [[Kreisfrequenz]], außerhalb des Bereichs der Bandbreite gleich 0 ist. Dies ist real nur in Näherung möglich und die Art dieser Bandbreitendefinition dient im Rahmen der [[Signaltheorie]] als vereinfachtes Modell.

Bei Basisbandsignalen mit strikter Bandbegrenzung erfolgt die Bandbreitenbegrenzung durch einen [[Idealer Tiefpass|idealen Tiefpass]]. Reelle Signale in Basisbandlage weisen immer [[negative Frequenz]]anteile auf, so genanntes Spiegelspektrum, wie beispielhaft in nebenstehender Abbildung am Betragsfrequenzverlauf eines reellwertigen Signals dargestellt. Die Bandbreite ist ohne die negativen Frequenzanteile festgelegt zu:

:<math>B = \omega_g</math>

[[Datei:Bandlimited absolute BP.svg|mini|Betragsfrequenzgang in Bandpasslage mit Bandbreite <math>B'</math>]]
Bei Signalen in sogenannter Bandpasslage erfolgt die Bandbegrenzung durch einen [[Bandpassfilter]]. Signale in Bandpasslage entstehen beispielsweise durch [[Modulation (Technik)|Modulation]] eines Basisbandsignals, sie treten unter anderem in [[Zwischenfrequenz]]stufen in Funkgeräten auf. Durch die Modulation wird die Mittenfrequenz des Basisbandsignals von null auf die [[Trägerfrequenz]] <math>\omega_m</math> verschoben, womit die untere Grenzfrequenz <math>\omega_u</math> einen positiven Wert aufweist:

:<math>B' = \omega_g - \omega_u</math>

Negative Spektralanteile werden, wie im Basisband, nicht zur Bandbreite hinzugerechnet. Zu beachten ist dabei, dass das Spiegelspektrum des reellwertigen Basisbandsignals durch die Frequenzverschiebung bei einer linearen Modulation zu einer Verdopplung der Bandbreite in Bandpasslage führt, da die negativen Frequenzen durch die Modulation in den positiv Spektralbereich verschoben werden:

:<math>B' = 2 \cdot B</math>

Die beiden positiven Teilspektren unterhalb und oberhalb um die Mittenfrequenz <math>\omega_m</math> werden auch als unteres und oberes Seitenband bezeichnet und tragen bei reellwertigen Basisbandsignalen den gleichen Informationsgehalt. Für Basisbandsignale, welche keine negativen Frequenzen aufweisen, dies ist bei einem [[Analytisches Signal|analytischen Signal]] der Fall, ist die Bandbreite sowohl im Basisband als auch in Bandpasslage identisch – analytische Signale lassen sich im Basisband nur als [[Komplexe Zahl|komplexes]] Signal darstellen. Technisch wird diese Eigenschaft verschiedenartig realisiert wie beispielsweise bei der [[Einseitenbandmodulation]].

Bei nichtlinearen Modulationstechniken wie der [[Frequenzmodulation]] besteht kein direkter Zusammenhang zwischen der Bandbreite des Basisbandsignals und der benötigten Bandbreite in Bandpasslage. Die Bandbreite wird dabei näherungsweise durch den Frequenzhub in der [[Carson-Formel]] ausgedrückt.

{{Absatz}}

=== 3-dB-Bandbreite ===
[[Datei:Bandlimited 3dB LP.svg|mini|Leistungsdichtespektrum eines Signals in Basisbandlage mit 3-dB-Bandbreite <math>B</math>]]
[[Datei:Bandlimited 3dB BP.svg|mini|Leistungsdichtespektrum eines Signals in Bandpasslage mit 3-dB-Bandbreite <math>B'</math>]]
In realen Systemen liegen aufgrund der nur endlichen Dämpfungen von Filtern Spektralanteile über das komplette Spektrum verteilt, bei einer strikten Festlegung wäre die Kenngröße der Bandbreite unendlich groß und damit wenig aussagekräftig. Als praktische Kenngröße ist die 3-dB-Bandbreite üblich, die über das [[Leistungsdichtespektrum]] <math>|X(\mathrm{j}\omega)|^2</math> um das Betragsmaximum <math>A</math> definiert wird. Die Grenzfrequenzen werden bei dem halben maximalen Leistungswert <math>A/2</math> festgelegt, dies entspricht der [[Halbwertsbreite]], was einer Absenkung auf gerundet 3 [[Bel (Einheit)|dB]] entspricht:

:<math>10 \cdot \log \frac{1}{2} \approx -3{,}01\, \mathrm{dB}</math>

Bei der Grenzfrequenz entspricht dies einer Amplitudenabsenkung um den Faktor <math>1 / \sqrt{2}</math>.

Die Bandbreite ist damit in Basisbandlage zu

:<math>B = \omega_g</math>

und in Bandpasslage

:<math>B' = \omega_g - \omega_u</math>

festgelegt.

Beispielsweise entspricht bei dem System eines [[Tiefpassfilter]]s (1. Ordnung) die 3-dB-Bandbreite genau der Bandbreite <math>B</math> des Filters, sie wird daher auch als ''3-dB-Grenzfrequenz'' bezeichnet.

Bei einem Reihen- oder [[Schwingkreis|Parallelschwingkreis]] bezeichnet die dimensionslose relative Bandbreite <math>d</math> das Verhältnis aus der 3-dB-Bandbreite <math>B'</math> und der Mittenfrequenz <math>\omega_m</math>:

:<math>d = \frac{B'}{\omega_m} = \frac{1}{Q}</math>

Die relative Bandbreite ist identisch mit dem [[Verlustfaktor]] und reziprok zum [[Gütefaktor]] ''Q''.

{{Absatz}}

=== Carson-Bandbreite ===
{{Hauptartikel|Frequenzmodulation#Kenngrößen_der_Frequenzmodulation|titel1=Kenngrößen der Frequenzmodulation}}
Bei Winkelmodulationen wie der [[Frequenzmodulation]] oder der [[Phasenmodulation]] findet die nach [[John Renshaw Carson]] bezeichnete Carson-Bandbreite Anwendung.<ref name="Carson1922"/> Die 10-%-Carson-Bandbreite <math>B_{10\,\%}</math> ist die Bandbreite, die die Spektrallinien umfasst, die 90 % der Leistung des Signals ausmachen; die selten verwendete 1-%-Carson-Bandbreite <math>B_{1\,\%}</math> ist die Bandbreite, in der die Spektrallinien liegen, die 99 % davon ausmachen.

=== Nyquist-Bandbreite ===
In der Theorie zur [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] besitzt das [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]] eine zentrale Stellung. Es besagt, dass sich ein zeitkontinuierliches Signal dann beliebig genau aus der abgetasteten, zeitdiskreten [[Folge (Mathematik)|Folge]] rekonstruieren lässt, wenn die Bandbreite des Signals maximal die halbe [[Abtastfrequenz]] beträgt. Dieses Maximum wird als Nyquist-Bandbreite bezeichnet.

Die naive Rekonstruktion als Treppenfunktion ist zwar grob: Die Rechteckimpulse, die zeitlich aneinandergereiht die Treppenfunktion ausmachen, haben als Spektrum die [[Sinc-Funktion]], also unendliche Bandbreite. Aber die Bandbreite innerhalb der beiden ersten Nullstellen der Sinc-Funktion (für positive bzw. negative Frequenzen) ist gerade die Nyquist-Bandbreite. Deren Produkt mit der Abtastperiode beträgt 1, siehe [[Zeitdauer-Bandbreite-Produkt]].

=== Antennentechnik ===
Im Bereich der [[Antennentechnik]] werden unter anderem relative, d. h. dimensionslose, Bandbreitenangaben verwendet.<ref name="Stutzmann"/> Für Schmalbandantennen, dies sind Antennen deren Betragsfrequenzgang näherungsweise konstant verläuft, wird eine prozentuale Bandbreitenangabe verwendet:

:<math>B_\% = 2 \cdot \frac{\omega_g - \omega_u}{\omega_g + \omega_u} </math>

Der theoretische Maximalwert der prozentualen Bandbreite beträgt 200 %, wenn die untere Grenzfrequenz null ist.

Für Breitbandantennen, deren Betragsfrequenzgang nicht konstant ist, werden als relative Bandbreitenangabe die beiden Grenzfrequenzen der Antenne in Bezug gesetzt und in der Form <math>B_\text{N}:1</math> ausgedrückt:

:<math>B_\text{N} = \frac{\omega_g}{\omega_u}</math>

=== Rechtliche Bandbreitenfestlegungen ===
==== Belegte Bandbreite ====
Besonders in der [[Frequenzverwaltung#Besondere Begriffe der Frequenzverwaltung|Frequenzverwaltung]] ist der Begriff der belegten Bandbreite üblich, welche einen Frequenzbereich festlegt, der durch eine Funkaussendung benutzt wird. Die im rechtlichen Bezug zu sehende Definition entsprechend Artikel 1.153 der [[Vollzugsordnung für den Funkdienst]] (VO Funk) der [[Internationale Fernmeldeunion|Internationalen Fernmeldeunion]] (ITU) erfolgt als Integration über die [[spektrale Leistungsdichte]], wobei 99,0 % der in Summe ausgestrahlten Leistung innerhalb der Bandbreite zwischen unterer und oberer Frequenzgrenze liegt. Der Rest von 1,0 % (2 · 0,5 %) der ausgestrahlten Leistung liegt außerhalb dieses festgelegten Bandes.<ref name="AFV1"/><ref>VO Funk, Ausgabe 2012, Artikel 1.153, Definition: ''occupied (frequency) bandwidth / belegte (Frequenz)-Bandbreite''</ref>

==== Erforderliche Bandbreite ====
Die im rechtlichen Bezug zu sehende Definition der erforderlichen Bandbreite entsprechend Artikel 1.152 der Vollzugsordnung für den Funkdienst (VO Funk) der Internationalen Fernmeldeunion (ITU) ist jene Bandbreite die für eine [[Sendeart]] bei gegebener Geschwindigkeit gerade ausreicht um die Übertragung der Nachricht sicherzustellen.<ref>VO Funk, Ausgabe 2012, Artikel 1.152, Definition: ''necessary bandwidth/erforderliche Bandbreite''</ref>

== Beispiele von Bandbreiten ==
Das Übertragungssystem eines Telefons weist in erster Näherung eine untere Grenzfrequenz von 300 Hz und eine obere Grenzfrequenz von 3400 Hz auf, was einer Bandbreite von 3100 Hz entspricht und für eine verständliche Sprachübermittlung ausreicht. Frequenzanteile in der Sprache, welche unter- bzw. oberhalb der Grenzfrequenz liegen, werden in einem Telefonsystem mittels [[Bandbegrenzung]] unterdrückt und nicht übertragen.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Anwendung
! ungefähre Bandbreite
|-
| [[Kernspinresonanzspektroskopie#Auflösungsvermögen|Kernspinresonanzspektroskopie]]
| 0,1 Hz
|-
| [[Längstwelle]]
| 1 Hz
|-
| [[Elektrokardiogramm]] (EKG)
| 40 Hz
|-
| [[Telefon]], [[Slow Scan Television]]
| 3,1 kHz
|-
| AM-Rundfunk (Audio)
| 4,5 kHz
|-
| AM-Rundfunksignal (Sendekanalbreite)
| 9 kHz
|-
| analoger UKW-Rundfunk (Audio, mono)
| 15 kHz
|-
| [[Audio-CD]]
| 22 kHz
|-
| Mobilfunk ([[Global System for Mobile Communications|GSM]]), Signal in Bandpasslage
| 200 kHz
|-
| [[UKW-Rundfunk]]signal inkl. Zusatzdienste, in Bandpasslage
| 300 kHz
|-
| [[Phase Alternating Line|analoges AM-Fernsehsignal]] inkl. Ton
| rowspan="2"| 7 MHz
|-
| digitales [[DVB-T]]-Multiplexsignal (enthält meist vier Programme)
|-
| [[WLAN]] nach IEEE-802.11 a/b, Bandpasslage
| 22 MHz
|-
| [[Front Side Bus]] im Computer
| 400 MHz
|-
| [[Ultrabreitband]]
| > 500 MHz
|-
| Glasfaser-[[Ethernet#40-Gbit.2Fs und 100-Gbit.2Fs Ethernet|Ethernet]]
| bis zu 50 GHz
|}

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = Martin Werner
|Titel = Signale und Systeme
|Verlag = Vieweg Teubner | Auflage = 3. | Jahr = 2008 | ISBN = 978-3-8348-0233-0 }}
* {{Literatur
|Autor = [[Karl-Dirk Kammeyer]]
|Titel = Nachrichtenübertragung
|Verlag = Vieweg Teubner | Auflage = 4. | Jahr = 2008 | ISBN = 978-3-8351-0179-1 }}
* {{Literatur
|Autor = [[Michael Dickreiter]]
|Titel = Handbuch der Tonstudiotechnik
|Auflage = 6. | Verlag = K.G. Saur Verlag KG | Ort = München | Jahr = 1997 | ISBN = 3-598-11320-X }}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Stutzmann">{{Literatur | Autor = Warren L. Stutzman und Gary A. Theiele | Titel = Antenna Theory and Design | Auflage = 2. | Ort = New York | Jahr = 1998 | ISBN = 0-471-02590-9 }}</ref>
<ref name="AFV1">{{Internetquelle | url = https://www.ris.bka.gv.at/GeltendeFassung.wxe?Abfrage=Bundesnormen&Gesetzesnummer=10012930 | titel = Verordnung des Bundesministers für Wissenschaft und Verkehr zur Durchführung des Amateurfunkgesetzes (Amateurfunkverordnung – AFV), BGBl. II Nr. 126/1999, § 1. Begriffsbestimmungen, Abs (5) | zugriff = 2014-12-27 }}</ref>
<ref name="Carson1922">{{Literatur|Autor=John R. Carson|Titel=Notes on the Theory of Modulation|Sammelwerk=Proceedings of the IRE|Band=10|Nummer=1|Jahr=1922|Seiten=57–64}}</ref>
</references>

== Siehe auch ==
* [[Liste von Audio-Fachbegriffen]]

== Weblinks ==
* [https://www.sengpielaudio.com/Rechner-grenzfrequenzen.htm Die -3-dB-Bandbreite und der Gütefaktor (Q-Faktor)]

[[Kategorie:Nachrichtentechnik]]
[[Kategorie:VO Funk]]

Bandbreite - Versionsgeschichte

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