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In der Differentialgeometrie ist ein '''Band''' die Kombination von einer [[Glatte Funktion|glatten]] [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] und deren dazugehörigem [[Normalenvektor|Normalvektor]]. Formal beinhaltet ein Band, welches als <math>(X,U)</math> definiert ist, eine Kurve <math>X</math>, welche als ein dreidimensionaler [[Vektor]] <math>X(s)</math> gegeben ist, wobei dieser [[Stetige Funktion|stetig]] von der [[Länge (Mathematik)|Bogenlänge]] <math>s</math> <math>(a\leq s \leq b)</math> der Kurve abhängt, und einem Einheitsvektor <math>U(s)</math> besteht, welcher orthogonal an jeder Stelle zu <math>{\partial X \over \partial s}(s)</math> liegt.<ref>{{Literatur |Autor=Benno Klotzek |Titel=Einführung in die Differentialgeometrie: mit 58 Aufgaben und zahlreichen Beispielen |Auflage=3 |Verlag=Deutsch |Ort=Thun Frankfurt am Main |Datum=1997 |ISBN=978-3-8171-1549-5 |Sprache=de}}</ref> Bänder haben Anwendung im Zusammenhang mit [[Desoxyribonukleinsäure|DNA]] gefunden.<ref>{{Literatur |Autor=Alexander Vologodskii |Titel=Topology and Physics of Circular DNA (1992) |Auflage=1 |Verlag=CRC Press |Ort=Milton |Datum=2017 |Reihe=CRC Press Revivals |ISBN=978-1-138-10505-8 |Sprache=en}}</ref>

== Eigenschaften ==
Das Band <math>(X,U)</math> ist einfach, wenn <math>X</math> eine geschlossene [[Jordan-Kurve]] (selbstschnittlos) ist und <math>U</math> und all ihre Ableitungen an Stellen <math>a</math> und <math>b</math> übereinstimmen.

Für jenes einfaches, geschlossenes Band sind die Kurven <math>X+\varepsilon U</math>, parametrisiert durch <math>X(s)+\varepsilon U(s)</math>, für alle genügend kleinen, positiven <math>\varepsilon</math> einfache, geschlossene Kurven, welche disjunkt von <math>X</math> sind.

Bänder spielen eine wichtige Rolle in der ''Formel von Călugăreanu'',<ref>{{cite journal |first=F. Brock |last=Fuller |year=1971 |title=The writhing number of a space curve |work=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] |volume=68 |issue=4 |pages=815–819 |bibcode=1971PNAS...68..815B |doi=10.1073/pnas.68.4.815 |pmid=5279522 |pmc=389050 |url=http://www.pnas.org/content/68/4/815.full.pdf |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=M. R. |last=Dennis |first2=J. H. |last2=Hannay |title=Geometry of Călugăreanu's theorem |work=Proceedings of the Royal Society A |volume=461 |issue=2062 |pages=3245–3254 |bibcode=2005RSPSA.461.3245D |doi=10.1098/rspa.2005.1527 |arxiv=math-ph/0503012 |date=2005-08-26 |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2005.1527 |language=en}}</ref> welche besagt, dass

: <math>Lk = Wr + Tw ,</math>

wobei <math>Lk</math> die asymptotische ''[[Verschlingungszahl]]'' ist, welche die ganze Anzahl an Drehungen des Bandes um dessen eigene Achse beträgt; <math>Wr</math> bezeichnet die totale Anzahl an ''[[Verwringung]]en (oder vereinfacht Drall),'' welches ein Maß der nicht-Planarität der Achsenkurve des Bandes ist; <math>Tw</math> ist die totale Anzahl der ''Drehungen'', welche die Rotatonsrate des Bandes um dessen eigene Achse ist.

Die Bandtheorie erforscht geometrische und topologische Aspekte bandmathematischer Eigenschaften von biologischen und physischen Eigenschaften, wie topologische [[Strömungsdynamik|Strömungsdymanik]], [[Desoxyribonukleinsäure|DNA]] und [[Materialwissenschaft und Werkstofftechnik|Materialwissenschaft]].

== Siehe auch ==
* [[Bollobás–Riordan polynomial]]
* [[Knoten (Topologie)|Knotentheorie]]
* [[Supercoiled DNA]]
* [[Möbiusband]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Band (Mathematik) - Versionsgeschichte

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