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Ein '''Banachraum''' (auch '''Banach-Raum''', '''Banachscher Raum''') ist in der [[Mathematik]] ein [[Vollständiger Raum|vollständiger]] [[Normierter Raum|normierter]] [[Vektorraum]]. Banachräume gehören zu den zentralen Studienobjekten der [[Funktionalanalysis]]. Insbesondere sind viele unendlichdimensionale [[Funktionenraum|Funktionenräume]] Banachräume. Sie sind nach dem Mathematiker [[Stefan Banach]] benannt, der sie 1920–1922 gemeinsam mit [[Hans Hahn]] und [[Eduard Helly]] vorstellte.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=A. Pietsch |Titel=History of Banach spaces and linear operators |Verlag=Birkhäuser |Ort=Boston, Mass. |Datum=2007 |ISBN=978-0-8176-4596-0}}</ref>

== Definition ==
Ein Banachraum ist ein [[Vollständiger Raum|vollständiger]] [[normierter Raum]]

:<math>(X, \| \cdot \|)</math>,

das heißt ein [[Vektorraum]] <math>X</math> über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb K</math> der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \|</math>, in dem jede [[Cauchy-Folge]] aus Elementen von <math>X</math> in der von der Norm induzierten [[Metrischer Raum|Metrik]] <math>d(x,y)=\| x-y \|</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]].

== Erläuterungen ==

Bei metrischen Räumen ist die Vollständigkeit eine Eigenschaft der Metrik, nicht des [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] selbst. Geht man zu einer äquivalenten Metrik über (das heißt zu einer Metrik, die dieselbe Topologie erzeugt), dann kann die Vollständigkeit verloren gehen.
Für zwei [[äquivalente Normen]] auf einem normierten Raum hingegen gilt, dass die eine genau dann vollständig ist, wenn die andere es ist. Im Falle der normierten Räume ist die Vollständigkeit daher eine Eigenschaft der [[Normtopologie]], die nicht von der konkreten Norm abhängt.

== Lineare Operatoren ==
{{Hauptartikel|Linearer Operator}}
Die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Banachräumen sind dieselben wie zwischen normierten Räume, das heißt die stetigen, linearen Abbildungen, die man auch Operatoren nennt. In unendlichdimensionalen Räumen sind lineare Abbildungen nicht notwendigerweise stetig.
Eine <math>\mathbb{K}</math>-[[lineare Abbildung]] <math>T\colon X\rightarrow Y</math> zwischen normierten <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen ist genau dann stetig, wenn das [[Supremum]] <math>\mathrm{sup}\{\|Tx\| \colon x \in X\text{ mit }\|x\|\le 1\}</math> endlich ist. Dieses Supremum bezeichnet man mit <math>\|T\|</math> und heißt Norm von <math>T</math>, es gilt <math>\|Tx\| \le \|T\|\|x\|</math> für alle <math>x\in X</math>.

Tatsächlich wird <math>B(X, Y)</math>, der Vektorraum aller stetigen, linearen Operatoren <math>X\rightarrow Y</math>, durch diese Definition zu einem normierten Raum.
Ist <math>Y</math> ein Banachraum, so auch <math>B(X, Y)</math>.

Ist <math>X</math> ein Banachraum, so ist <math>B(X) = B(X, X)</math> eine [[Banachalgebra]] mit dem [[Identische Abbildung|identischen Operator]] <math>\mathrm{id}_X</math> als [[Einselement]]; die Multiplikationsoperation ist durch die Komposition linearer Abbildungen gegeben.

Die Isomorphismen unter diesen strukturerhaltenden Abbildungen sind die bijektiven, linearen und in beiden Richtungen stetigen Operatoren, wobei die Stetigkeit der Umkehrabbildung bei Banachräumen automatisch gilt, siehe unten ''Satz von der offenen Abbildung''. Solche Isomorphismen erhalten die Vektorraumstruktur und die Topologie, nicht aber die Norm, man spricht von Banachraumisomorphie.
In manchen Situationen möchte man aber auch die Norm erhalten, das heißt man möchte Isomorphismen <math>T\colon X\rightarrow Y</math> betrachten, für die <math>\|Tx\|=\|x\|</math> für alle <math>x\in X</math> gilt. Man spricht dann von isometrischer Isomorphie.

Betrachtet man die [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Banachräume mit den stetigen, linearen Operatoren als Morphismen, so ist die Banachraumisomorphie genau der Isomorphiebegriff in dieser Kategorie. Man erhält eine weitere Kategorie, wenn man als Morphismen nur die stetigen, linearen Operatoren mit Norm <math>\le 1</math> zulässt. Der Isomorphiebegriff in dieser Kategorie ist genau die isometrische Isomorphie.

== Sätze und Eigenschaften ==
* Ein [[normierter Raum]] ist genau dann ein Banachraum, wenn in ihm jede [[Absolute Konvergenz|absolut konvergente]] Reihe konvergiert.

* Jeder normierte Raum lässt sich [[Vollständiger Raum#Vervollständigung|vervollständigen]], wodurch man einen Banachraum erhält, der den ursprünglichen Raum als [[Dichte Teilmenge|dichten Teilraum]] enthält.

* Ist eine [[lineare Abbildung]] <math>T \colon X \rightarrow Y</math> zwischen zwei normierten Räumen ein [[Isomorphismus]], dann folgt aus der Vollständigkeit von <math>X</math> die Vollständigkeit von <math>T(X)</math>.

* Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist ein Banachraum. Umgekehrt ist ein Banachraum, der eine höchstens [[Abzählbare Menge|abzählbare]] [[Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] besitzt, endlichdimensional. Letzteres ist eine Konsequenz aus der [[Satz von Baire|Baireschen Eigenschaft]] vollständiger metrischer Räume.

* Ist <math>M</math> ein abgeschlossener [[Untervektorraum]] eines Banachraums <math>X</math>, dann ist <math>M</math> wieder ein Banachraum. Auch der [[Faktorraum]] <math>X/M</math> mit der Norm <math> \| x + M\| = \inf\limits_{m \in M} \|x+m\| </math> ist dann ein Banachraum.

* Der erste Isomorphiesatz für Banachräume: Ist das Bild einer [[Beschränkte lineare Abbildung|beschränkten linearen Abbildung]] <math>T</math> zwischen zwei Banachräumen [[abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], dann ist <math> X/\operatorname{ker}(T) \cong T(X)</math>. Hierbei handelt es sich um den Begriff der topologischen Isomorphie, d. h., es existiert eine bijektive lineare Abbildung <math>L</math> von <math> X/\operatorname{ker}(T) </math> nach <math> T(X)</math> sodass sowohl <math>L</math> als auch <math>L^{-1}</math> stetig sind.

* Die [[direkte Summe (Banachraum)|direkte Summe]] <math> X_1 \oplus \cdots \oplus X_n </math> normierter Räume ist genau dann ein Banachraum, wenn jeder der Einzelräume <math>X_j</math> ein Banachraum ist.

* [[Satz von Banach-Steinhaus]]: Ist <math>(T_i)_{i \in I}</math> eine Familie stetiger, linearer Operatoren von einem Banachraum in einen normierten Raum, dann folgt aus der [[Punktweise beschränkte Funktionenfolge|punktweisen Beschränktheit]] die [[gleichmäßige Beschränktheit]].

* [[Satz über die offene Abbildung|Satz von der offenen Abbildung]]: Eine [[stetig]]e lineare Abbildung <math>T</math> zwischen zwei Banachräumen ist genau dann [[surjektiv]], wenn sie offen ist. Ist <math>T</math> [[bijektiv]] und stetig, dann ist die [[inverse Abbildung]] <math>T^{-1}</math> ebenfalls stetig. Daraus ergibt sich, dass jeder bijektive [[beschränkt]]e lineare Operator zwischen Banachräumen ein [[Isomorphismus]] ist.

* [[Satz vom abgeschlossenen Graphen]]: Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer linearen Abbildung <math>T \colon X \to Y</math> zwischen zwei Banachräumen ist genau dann im Produkt <math>X \times Y</math> abgeschlossen, wenn die Abbildung stetig ist.

* [[Satz von Banach-Alaoglu]]: Die abgeschlossene [[Einheitskugel]] im [[Dualraum]] eines Banachraums ist [[Schwach-*-Topologie|schwach-*-kompakt]].

* Für jeden [[Separabler Raum|separablen]] Banachraum <math>X</math> existiert ein abgeschlossener Unterraum <math>M</math> von <math> l^1</math>, sodass <math> X \cong l^1/M</math> ist.

* Jeder Banachraum ist ein [[Fréchet-Raum]].

== Dualer Raum ==
{{Hauptartikel|Dualraum}}

Ist <math>X</math> ein normierter Raum und <math>\mathbb{K}</math> der zugrunde liegende [[Körper (Algebra)|Körper]], dann ist <math>\mathbb{K}</math> selbst ebenfalls ein Banachraum (mit dem [[Absoluter Betrag|Absolutbetrag]] als Norm), und man kann den ''topologischen Dualraum (auch stetigen Dualraum)'' definieren durch <math>X' = B(X, \mathbb{K})</math>. Er ist in der Regel ein echter Teilraum des algebraischen Dualraums <math>X^*</math>.

* Ist <math>X</math> ein normierter Raum, so ist <math>X'</math> ein Banachraum.

* Sei <math>X</math> ein normierter Raum. Ist <math>X'</math> [[Separabler Raum | separabel]] so auch <math>X</math>.

Der topologische Dualraum kann verwendet werden, um eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf <math>X</math> zu definieren: die [[schwache Topologie]]. Die schwache Topologie ist nicht äquivalent zur Normtopologie auf <math>X</math>, wenn der Raum <math>X</math> unendlichdimensional ist. Aus der Konvergenz einer Folge in der Normtopologie folgt immer die Konvergenz in der schwachen Topologie, umgekehrt im Allgemeinen nicht. In diesem Sinne ist die Konvergenzbedingung, die sich aus der schwachen Topologie ergibt, „schwächer“.

Es gibt eine natürliche Abbildung <math>F</math> von <math>X</math> nach <math>X'' = (X')' = B(X',\mathbb{K})</math> (der Bidualraum), definiert durch:
<math>F\colon X \to X'', F(x)(f) = f(x)</math>
für alle <math>x \in X</math> und <math>f \in X'</math>. Aus dem [[Satz von Hahn-Banach]] folgt, dass für jedes <math>x</math> aus <math>X</math> die Abbildung <math>F(x)\colon X' \to \mathbb{K}</math> stetig ist und daher ein Element von <math>X''</math>. Die Abbildung <math>F</math> ist stets [[Injektivität|injektiv]] und stetig (sogar isometrisch).

== Reflexivität ==
{{Hauptartikel|Reflexiver Raum}}
Falls die natürliche Abbildung <math>F\colon X \to X''</math> zudem noch [[surjektiv]] (und somit ein isometrischer Isomorphismus) ist, so nennt man den normierten Raum <math>X</math> [[Reflexiver Raum|reflexiv]]. Es gelten folgende Zusammenhänge:

* Jeder reflexive normierter Raum ist ein Banachraum.

* Ein Banachraum <math>X</math> ist genau dann reflexiv, wenn <math>X'</math> reflexiv ist. Äquivalent zu dieser Aussage ist, dass die Einheitskugel von <math>X</math> in der [[Schwache Topologie|schwachen Topologie]] [[Kompakter Raum|kompakt]] ist.

* Ist <math>X</math> ein reflexiver normierter Raum, <math>Y</math> ein Banachraum und existiert ein beschränkter linearer Operator von <math>X</math> nach <math>Y</math>, dann ist <math>Y</math> reflexiv.

* Ist <math>X</math> ein reflexiver normierter Raum. Dann ist <math>X</math> genau dann [[separabler Raum|separabel]], wenn <math>X'</math> separabel ist.

* [[Kompaktheitskriterium von James | Satz von James]] Für einen Banachraum <math>X</math> sind äquivalent:
** <math>X</math> ist reflexiv.
** <math> \forall f \in X' \ \exists x \in X </math> mit <math> \left\| x \right\| \leq 1 </math>, so dass <math> f(x) = \left\| f \right\|</math>.

== Tensorprodukt ==
{{Hauptartikel | Tensorprodukt}}
[[Datei:Tensor-diagram.jpg|mini|Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts]]
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräume. Das [[Tensorprodukt]] <math>X\otimes Y</math> von <math>X</math> und <math>Y</math> ist ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>Z</math>, versehen mit einer bilinearen Abbildung <math>T\colon X\times Y\rightarrow Z</math>, die die folgende ''universelle Eigenschaft'' besitzt:
Ist <math>T'\colon X\times Y\rightarrow Z'</math> eine beliebige bilineare Abbildung in einen <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum <math>Z'</math>, so existiert genau eine lineare Abbildung <math>f \colon Z\rightarrow Z'</math> mit <math>T'=f \circ T</math>.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Norm auf dem Tensorprodukt der zugrunde liegenden Vektorräume zu definieren, unter anderem das [[Projektives Tensorprodukt| projektive Tensorprodukt]] und das [[Injektives Tensorprodukt |injektive Tensorprodukt]]. Das Tensorprodukt vollständiger Räume ist im Allgemeinen nicht wieder vollständig. Daher versteht man in der Theorie der Banachräume unter einem Tensorprodukt häufig dessen Vervollständigung, welche natürlich von der Wahl der Norm abhängt.

== Beispiele ==
Im Folgenden ist <math>\mathbb{K}</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>, <math>X</math> ein kompakter [[Hausdorffraum]] und <math>I = [a,b]</math> ein abgeschlossenes Intervall. <math>p</math> und <math>q</math> sind reelle Zahlen mit <math>1 < p, q < \infty</math> und <math>\tfrac{1}{q}+\tfrac{1}{p}=1</math>. Weiter ist <math>\Sigma</math> eine [[σ-Algebra]], <math>\Xi</math> eine [[Mengenalgebra]] und <math>\mu</math> ein [[Maß (Mathematik)|Maß]].

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Name des <br />Banachraums !! [[Dualraum]] !! [[Reflexiver Raum |reflexiv]] !! [[Schwache Topologie|schwach]] <br /> [[Vollständiger Raum|vollständig]] !! [[Norm (Mathematik)|Norm]] !! Name
|-
! <math>\mathbb{K}^n</math>
|| <math>\mathbb{K}^n</math> || style="background-color:#B9FFC5" | ja || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}</math> || align="left" | [[Euklidischer Raum]]
|-
! <math>\ell^p_n</math>
|| <math>\ell^q_n</math> || style="background-color:#B9FFC5" | ja || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}</math> || align="left" | [[Koordinatenraum|Raum der endlichdimensionalen Vektoren]] mit der [[p-Norm|''p''-Norm]]
|-
! <math>\ell^\infty_n</math>
| <math>\ell^1_n</math> || style="background-color:#B9FFC5" | ja || style="background-color:#B9FFC5" |ja || <math>\|x\|_\infty = \max_{1\le i\le n} |x_i|</math> || align="left" | Raum der endlichdimensionalen Vektoren mit der [[Maximumsnorm]]
|-
! <math>\ell^p</math>
|| <math>\ell^q</math> || style="background-color:#B9FFC5" | ja || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^\infty |x_i|^p\right)^{1/p}</math> || align="left" | Raum der in [[Folgenraum|''p''-ter Potenz betragsweise summierbaren Folgen]]
|-
! <math>\ell^1</math>
|| <math>\ell^\infty</math> || style="background-color:#FFCBCB" |nein || style="background-color:#B9FFC5" |ja || <math>\|x\|_1 = \sum_{i=1}^\infty |x_i|</math> || align="left" | Raum der betragsweise summierbaren Folgen
|-
! <math>\ell^\infty</math>
|| <math>ba(2^{\mathbb{N}})</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || <math>\|x\|_\infty = \sup_i |x_i|</math> || align="left" | Raum der [[Folge (Mathematik)#Beschränktheit|beschränkten Folgen]]
|-
! <math>c</math>
| <math>\ell^1</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || <math>\|x\|_\infty = \sup_i |x_i|</math> || align="left" | Raum der [[Grenzwert (Folge)|konvergenten Folgen]]
|-
! <math>c_0</math>
| <math>\ell^1</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#FFCBCB" |nein || <math>\|x\|_\infty = \sup_i |x_i|</math> || align="left" | Raum der [[Nullfolge]]n; isomorph aber nicht isometrisch zu <math>c</math>
|-
! <math>bv \,</math>
| <math>\ell^1 + \mathbb{K}</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|x\|_{bv} = |x_1| + \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i|</math> || align="left" | Raum der Folgen [[Beschränkte Variation|beschränkter Variation]]
|-
! <math>bv_0</math>
| <math>\ell^1</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|x\|_{bv_0} = \sum_{i=1}^\infty|x_{i+1}-x_i|</math> || align="left" | Raum der Nullfolgen beschränkter Variation
|-
! <math>bs</math>
| <math>ba(2^{\mathbb{N}})</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#FFCBCB" |nein || <math>\|x\|_{bs} = \sup_n\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|</math> || align="left" | Raum der beschränkten Summen; isometrisch isomorph zu <math>\ell^\infty</math>
|-
! <math>cs</math>
|| <math>\ell^1</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || <math>\|x\|_{bs} = \sup_n\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|</math> || align="left" | Raum der konvergenten Summen; abgeschlossener Unterraum von <math>bs</math>; isometrisch isomorph zu <math>c</math>
|-
! <math>B(X, \Xi)</math>
|| <math>ba(\Xi)</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || <math>\|f\|_\infty = \sup_{x\in X}|f(x)|</math> || align="left" | Raum der beschränkten <math>\Xi</math>-messbaren Funktionen auf <math>X</math>
|-
! <math>C(X)</math>
|| <math>rca(\Sigma)</math> || style="background-color:#FFCBCB" |nein || style="background-color:#FFCBCB" |nein || <math>\|f\|_\infty = \sup_{x\in X}\left|f(x)\right|</math> || align="left" | Raum der stetigen Funktionen auf <math>X</math> mit der [[borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]]
|-
! <math>ba(\Xi)</math>
| ? || style="background-color:#FFCBCB" |nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|\mu\|_{ba} = \sup_{A\in\Xi} |\mu|(A)</math> || align="left" | Raum der beschränkten [[Mengenfunktion|endlich-additiven]], [[Signiertes Maß|signierten Maße]] auf <math>\Xi</math>
|-
! <math>ca(\Sigma)</math>
| ? ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|\mu\|_{ba} = \sup_{A\in\Sigma} |\mu|(A)</math> || align="left" | Raum der [[Mengenfunktion#Verträglichkeit von Addition und Vereinigung|<math>\sigma</math>-additiven]] [[Maßtheorie#Maß|Maße]]; abgeschlossener Unterraum von <math>ba(\Sigma)</math>
|-
! <math>rca(\Sigma)</math>
| ? ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|\mu\|_{ba} = \sup_{A\in\Sigma} |\mu|(A)</math> || align="left" | Raum der [[Reguläres Maß|regulären]] [[Borelmaß|Borel-Maße]]; abgeschlossener Unterraum von <math>ca(\Sigma)</math>
|-
! <math>L^p(\mu)</math>
| <math>L^q(\mu)</math> || style="background-color:#B9FFC5" | ja || style="background-color:#B9FFC5" |ja || <math>\|f\|_{L^p} = \left(\int |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}</math> || align="left" | Raum der in [[Lp-Raum|''p''-ter Potenz Lebesgue-integrierbaren]] Funktionen
|-
! <math>BV(I)</math>
| ? ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|f\|_{BV} = \lim_{x\to a^+}f(x) + V_f(I)</math> || align="left" | Raum der Funktionen beschränkter [[Variation (Mathematik)|totaler Variation]]
|-
! <math>NBV(I)</math>
| ? ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" | ja || <math>\|f\|_{BV} = V_f(I)</math> || align="left" | Raum der Funktionen beschränkter totaler Variation, deren Grenzwert bei <math>a</math> verschwindet
|-
! <math>AC(I)</math>
| <math>\mathbb{K} + L^\infty(I)</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || style="background-color:#B9FFC5" |ja || <math>\|f\|_{BV} = \lim_{x\to a^+}f(x) + V_f(I)</math> || align="left" | Raum der [[Absolut stetige Funktion|absolutstetigen Funktionen]]; isomorph zum [[Sobolev-Raum]] <math>W^{1,1}(I)</math>
|-
! <math>C^n(I)</math>
|| <math>rca(I)</math> ||style="background-color:#FFCBCB" | nein ||style="background-color:#FFCBCB" | nein || <math>\|f\|_{C^n} = \sum_{i=0}^n \sup_{x\in I} |f^{(i)}(x)|</math> || align="left" | Raum der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]]; isomorph zu <math>\R^n \oplus C(I)</math>
|}

== Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen ==
[[Datei:Abstrakte Räume qtl1.svg|miniatur|Überblick über abstrakte Räume der Mathematik. Ein Pfeil ist als Implikation zu verstehen, d. h., der Raum am Pfeilanfang ist auch ein Raum am Pfeilende.]]
Jeder [[Hilbertraum]] ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt. Nach dem [[Satz von Jordan-von Neumann]] lässt sich auf einem Banachraum genau dann ein zur Norm verträgliches Skalarprodukt definieren, wenn in ihm die [[Parallelogrammgleichung]] gilt.

Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen <math>\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> oder der Raum aller Distributionen auf <math>\mathbb{R}</math>, sind zwar vollständig, aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume. In [[Fréchet-Raum|Fréchet-Räumen]] hat man noch eine vollständige [[Metrischer Raum|Metrik]], während [[LF-Raum|LF-Räume]] vollständige [[Uniformer Raum|uniforme Vektorräume]] sind, die als Grenzfälle von Fréchet-Räumen auftauchen. Es handelt sich hierbei um spezielle Klassen [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexer Räume]] bzw. [[Topologischer Vektorraum|topologischer Vektorräume]].

Jeder normierte Raum lässt sich bis auf isometrische Isomorphie eindeutig vervollständigen, das heißt als [[Dichte Teilmenge|dichten Unterraum]] in einen Banachraum einbetten.

== Fréchet-Ableitung ==
{{Hauptartikel|Fréchet-Ableitung}}
Es ist möglich, die [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer Funktion <math>f\colon V\to W</math> zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls <math>x</math> ein Element von <math>V</math> ist, die Ableitung von <math>f</math> im Punkt <math>x</math> eine stetige lineare Abbildung ist, die <math>f</math> nahe <math>x</math> in der Ordnung des Abstandes <math>\vert h\vert</math> approximiert.

Man nennt <math>f</math> ''(Fréchet)-differenzierbar'' in <math>x</math>, falls eine stetige lineare Abbildung <math>A \colon V \to W</math> existiert, so dass
:<math>\lim_{h\to 0} {\|f(x + h) - f(x) - A(h)\| \over \|h\|} = 0</math>
gilt. Der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] wird hier über alle [[Folge (Mathematik)|Folgen]] mit nicht-Null-Element aus <math>V</math> gebildet, die gegen 0 konvergieren.
Falls der Grenzwert existiert, schreibt man <math>Df(x) = A</math> und nennt es die ([[Maurice René Fréchet|Fréchet]])-Ableitung von <math>f</math> in <math>x</math>. Weitere Verallgemeinerungen der Ableitung ergeben sich analog zur Analysis auf endlichdimensionalen Räumen. Gemeinsam für alle Ableitungsbegriffe ist aber die Frage nach der Stetigkeit der linearen Abbildung <math>Df(x)</math>

Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen <math>\R \to \R</math>, da die linearen Abbildungen von <math>\R</math> auf <math>\R</math> einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls <math>f</math> differenzierbar ist in jedem Punkt <math>x</math> aus <math>V</math>, dann ist <math>Df \colon V\to L(V, W)</math> eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen ''keine'' lineare Abbildung!) und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von <math>f</math> definiert werden. Die <math>n</math>-te Ableitung im Punkt <math>x</math> kann somit als multilineare Abbildung <math>V_n \to W</math> gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: Sind <math>f</math> und <math>g</math> zwei Abbildungen <math>V\to W</math>, die in <math>x</math> differenzierbar sind, und sind <math>r</math> und <math>s</math> Skalare aus <math>\mathbb{K}</math>, dann ist <math>rf + sg</math> differenzierbar in <math>x</math> und es gilt
:<math>D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x)</math>.

Die [[Differentialrechnung|Kettenregel]] ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig. Wenn <math>f \colon V \to W</math> eine in <math>x \in V</math> und <math>g \colon W \to X</math> eine in <math>f(x)</math> differenzierbare Funktion ist, dann ist die Komposition <math>g \circ f</math> in <math>x</math> differenzierbar und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen
:<math>D(g \circ f)(x) = D(g)(f(x)) \circ D(f)(x).</math>

Auch Richtungsableitungen können auf unendlichdimensionale Vektorräume erweitert werden, an dieser Stelle sei auf das [[Gâteaux-Differential]] verwiesen.

== Integration Banachraum-wertiger Funktionen ==
Unter bestimmten Bedingungen ist es möglich Banachraum-wertige Funktionen zu integrieren. Im zwanzigsten Jahrhundert wurden viele verschiedene Zugänge zu einer [[Integralrechnung|Integrationstheorie]] von Banachraum-wertigen Funktionen vorgestellt. Beispiele sind das [[Bochner-Integral]], das [[Birkhoff-Integral]] und das [[Pettis-Integral]]. In endlichdimensionalen Banachräumen führen diese drei verschiedenen Zugänge zur Integration letztendlich zum selben Integral. Für unendlichdimensionale Banachräume ist dies jedoch im Allgemeinen nicht mehr der Fall. Ferner kann man von gewöhnlichen Maßen zu [[Vektorielles Maß|vektoriellen Maßen]], die ihre Werte in Banachräumen annehmen, übergehen und ein Integral bezüglich solcher Maße definieren.

Banach-Räume können mittels der Bochner-Lebesgue-Norm nach [[Typ und Kotyp eines Banach-Raumes|Typ und Kotyp]] klassifiziert werden.

== Literatur ==

=== Lehrbücher ===

* {{Literatur |Autor=John B. Conway |Titel=A Course in Functional Analysis |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=2007 |Sprache=en |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=96 |ISBN=978-1-4419-3092-7 |DOI=10.1007/978-1-4757-4383-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] |Titel=Lineare Funktionalanalysis |Auflage=6., überarb. Aufl |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Jahr=2012 |ISBN=978-3-642-22260-3}}

=== Monographien ===

* {{Literatur |Autor=Bernard Beauzamy |Titel=Introduction to Banach spaces and their geometry |Verlag=Elsevier Science Pub. Co. (North-Holland) |Ort=Amsterdam, New York |Jahr=1982 |Sprache=en |ISBN=978-0-444-86416-1}}
* {{Literatur |Autor=Joe Diestel |Titel=Sequences and series in Banach spaces |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Jahr=1984 |Sprache=en |Reihe=Graduate texts in mathematics |BandReihe=92 |ISBN=978-0-387-90859-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |Titel=Linear Operators 1 – General theory |Verlag=Wiley Interscience Publ |Ort=New York |Jahr=1988 |Sprache=en |ISBN=978-0-471-60848-6}}
* {{Literatur |Autor=Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri |Titel=Classical Banach spaces |Auflage=Reprint of the 1977, 1979 ed |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Jahr=1996 |Sprache=en |Reihe=Classics in mathematics |ISBN=978-3-540-60628-4}}
* {{Literatur |Autor=Robert E. Megginson |Titel=An Introduction to Banach Space Theory |Band=183 |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=1998 |Sprache=en |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=183 |ISBN=978-1-4612-6835-2 |DOI=10.1007/978-1-4612-0603-3}}
* {{Literatur |Autor=Albrecht Pietsch |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators |Verlag=Birkhäuser Boston |Ort=Boston, MA |Jahr=2007 |Sprache=en |ISBN=978-0-8176-4367-6 |DOI=10.1007/978-0-8176-4596-0}}
* {{Literatur |Autor=Raymond A. Ryan |Titel=Introduction to Tensor Products of Banach Spaces |Verlag=Springer London |Ort=London |Jahr=2002 |Sprache=en |Reihe=Springer Monographs in Mathematics |ISBN=978-1-84996-872-0 |DOI=10.1007/978-1-4471-3903-4}}

=== Skripte ===

* Prof. Dr. A. Deitmar: ''[https://www.math.uni-tuebingen.de/user/deitmar/LEHRE/alt/2011-12/FA/FA.pdf Funktionalanalysis] (PDF, 2011/2012, 497 KB)''

=== Klassische Werke ===

* Stefan Banach: ''[[iarchive:in.ernet.dli.2015.493033|Théorie des opérations linéaires]].'' Warszawa 1932. Monografie Matematyczne; Zwei Rezensionen (1933 und 2017) siehe [http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:0005.20901&format=complete Zbl 0005.20901]
* Vgl. auch die umfangreiche Literatur in Pietsch<ref name=":0" />

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Normierter Raum|!]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Banachraum - Versionsgeschichte

imported>FerdiBf: Änderung 256990365 von Mickey k42 rückgängig gemacht; Solche scherzhaften Bezeichnungen gibt es vielerorts.