imported>M. Hammer-Kruse: /* Die Bahnelemente bei elliptischer Bahn */ a) Stil: Winkel werden "zwischen" (zwei Richtungen) und nicht "von ... zu" (zwei Orten) gemessen; b) Klarstellung und Ergänzung zur Bedeutung der Lageelemente

2025-04-13T11:06:41Z

Die Bahnelemente bei elliptischer Bahn: a) Stil: Winkel werden "zwischen" (zwei Richtungen) und nicht "von ... zu" (zwei Orten) gemessen; b) Klarstellung und Ergänzung zur Bedeutung der Lageelemente

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[[Datei:BahnelementeEllipse.svg|miniatur|hochkant=1.75|Bahnelemente der elliptischen Umlaufbahn eines Himmelskörpers um einen Zentralkörper (Sonne/Erde) 
''Sechs Bahnelemente'' 
''a'': Länge der großen Halbachse 
''e'': numerische Exzentrizität 
''i'': Bahnneigung, Inklination 
Ω: Länge/Rektaszension des aufsteigenden Knotens 
''ω'': Argument der Periapsis, Periapsisabstand 
''t'': Zeitpunkt der Periapsispassage, Periapsiszeit, Epoche des Periapsisdurchgangs 
''Weitere Bezeichnungen'' 
M: Ellipsenzentrum.  
B: Brennpunkt, Zentralkörper, Sonne/Erde.  
P: Periapsis.  
A: Apoapsis.  
AP: Apsidenlinie.  
HK: Himmelskörper, Planet/Satellit.  
☋: absteigender Knoten.  
☊: aufsteigender Knoten.  
☋☊: Knotenlinie.  
♈: Frühlingspunkt.  
''ν'': wahre Anomalie.  
''r'': Abstand des Himmelskörpers HK vom Zentralkörper B]]

Als '''Bahnelemente''' werden die Parameter bezeichnet, die die Bahn und die Bewegung eines [[Astronomisches Objekt|astronomischen Objekts]] beschreiben, das den [[Keplersche Gesetze|Keplerschen Gesetzen]] im Schwerefeld eines Himmelskörpers gehorcht ([[Zweikörperproblem]]).

Sind keine [[Bahnstörung]]en zu berücksichtigen, so genügen zur vollständigen Beschreibung sechs Bahnelemente. Zwei Bahnelemente beschreiben die Gestalt der Bahn, drei Elemente beschreiben die Lage der Bahn im Raum und ein Element ist der [[Epoche (Astronomie)|Zeitpunkt]], an dem der Himmelskörper einen bestimmten Punkt auf der Bahn passiert. Die häufigste mit Elementen beschriebene Bahn ist die Ellipse.

[[Satellitenbahnelement]]e enthalten außer den 6 Elementen einer ungestörten Bewegung auf einer [[Keplerbahn|Keplerellipse]] üblicherweise weitere Parameter, mit denen [[Bahnstörung]]en berücksichtigt werden.

== Die Bahnelemente bei elliptischer Bahn ==
Zentralkörperspezifische Angaben sind, wie in der Abbildung oben, in der Reihenfolge Sonne/Erde durch Schrägstrich markiert.

=== Gestaltelemente ===
Die Beschreibung der Gestalt der [[Bahnkurve]] erfordert zwei Werte, die die Form und die Größe festlegen:

* Die [[Exzentrizität (Astronomie)|numerische Exzentrizität]] <math>\textstyle e</math>.
* Die [[große Halbachse]] <math>\textstyle a</math>.

Daraus abgeleitet werden:
* Der [[Ellipse#Halbparameter|Halbparameter]] <math>\textstyle p</math>. Mit ihm ergibt sich die [[Keplerbahn|Parameterdarstellung der Keplerbahn]]: <math>\textstyle r(\varphi) = r(p,e)</math>.
* Die [[Periapsisdistanz]] <math>\textstyle r_\text{min}</math>: Entfernung des [[Hauptscheitel]]s zum [[Brennpunkt (Ellipse)|Brennpunkt]].
* Der [[Exzentrizitätswinkel]] <math>\textstyle\Phi =\arcsin e</math>

=== Lageelemente ===
Die [[Bezugssystem|Lage]] im Raum relativ zu einem [[Astronomische Koordinatensysteme|Referenzsystem]] wird durch drei Parameter bestimmt:
* die [[Bahnneigung|Inklination]] <math>\textstyle i</math>: Das ist der Winkel zwischen der [[Bahnebene]] und der Referenzebene.
* den [[Argument des Knotens|Winkel des aufsteigenden Knotens]] (Länge/Rektaszension des Knotens) <math>\textstyle \Omega</math>: Der in der Referenzebene gemessene Winkel zwischen der Referenzebenen-Bezugsrichtung und dem aufsteigenden [[Knoten (Astronomie)|Knoten]] (an der Schnittlinie Referenzebene-Bahnebene).
Diese beiden Winkel bestimmen die Orientierung der Bahnebene.
* das [[Argument der Periapsis]] <math>\textstyle \omega</math>: Der in der Bahnebene gemessene Winkel zwischen dem aufsteigenden Knoten und der [[Apsis (Astronomie)|Periapsis]] (zentrumsnächster Punkt der Bahn auf der großen Halbachse).
Dieser Winkel bestimmt die Orientierung der Bahn in ihrer Ebene.


=== Zeitbezug ===
Der Zeitbezug legt den Zeitnullpunkt fest:
* [[Epoche (Astronomie)|Epoche]] <math>\textstyle t</math> (Zeitpunkt) des Periapsisdurchgangs des Körpers.

Abgeleitete Größen
* [[Mittlere Bewegung]] <math>\textstyle n</math>: mittlere Winkelgeschwindigkeit der [[mittlere Anomalie|mittleren Anomalie]] <math>\textstyle M</math>

=== Die Umlaufzeit als siebentes Bahnelement ===
Streng genommen gehört die Umlaufzeit <math>\textstyle P</math> als siebentes Bahnelement zu den zur allgemeinen Beschreibung des Zweikörperproblems notwendigen unabhängigen Größen. Sie wird oft nicht angegeben, da sie und die große Halbachse über das Gravitationsgesetz miteinander verknüpft sind, und die Masse des betrachteten Körpers gegenüber der des Zentralkörpers vernachlässigbar ist. Wenn die Masse des kleineren Körpers ebenfalls im Gravitationsgesetz beachtet werden muss, ist sie indirekt das siebente Bahnelement.<ref>Oliver Montenbruck: ''Grundlagen der Ephemeridenrechnung'', Sterne und Weltraum, Heidelberg 2001, ISBN 3-87973-941-2, S. 57</ref>

=== Die Angabe von Bahnelementen ===
Das 6-Tupel <math>\textstyle \begin{pmatrix}p, & e, & i, & \Omega, & \omega, & t \end{pmatrix}</math> bezeichnet man als ''klassische Bahnelemente''<ref>[[#Literatur|Guthmann]], S. 163</ref>.

Daneben gibt es auch andere Möglichkeiten, die dem jeweiligen Fall angepasst sind:
* <math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\omega, &t \end{pmatrix}</math> ist besonders für [[Komet]]en und die [[Planeten]] des Sonnensystems geeignet.
* <math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\omega, &M \end{pmatrix}</math> für den [[Pluto]] und die [[Kleinplanet]]en, wie sie der [[Astronomical Almanac]] verwendet<ref>[[#Literatur|Vollmann]], 8.1</ref>.
* <math>\textstyle \begin{pmatrix}a, &e, &i, &\Omega, &\Pi, &L \end{pmatrix}</math> gibt etwa die [[Planetentheorie]] [[VSOP 82]] auf indirektem Wege.
* <math>\textstyle \begin{pmatrix}n, &e, &i, &\Omega, &\omega, &M \end{pmatrix}</math> das System des [[NASA/NORAD Two Line Elements Format]] für [[Satellit (Raumfahrt)|künstliche Erdsatelliten]]

== Übersicht ==
{| class="wikitable zebra" style="text-align:center"
|- class=hintergrundfarbe8
! colspan="4" | Bahnelement
! colspan="2" | Verwendbarkeit
|-
! Bahnelement
! Bezug
! Symbol
! Dimension
! Ellipse
! Parabel / Hyperbel
|-
| style="text-align:left" | Numerische Exzentrizität
| Form
| ''e'', ''ε''
| 1
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Exzentrizitätswinkel
| Form
| Φ
| 1
| Ja
| Nein
|-
| style="text-align:left" | Halbparameter
| Größe
| ''p''
| Länge
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Periapsisdistanz
| Größe
| ''r''min
| Länge
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Große Halbachse
| Größe
| ''a'', ''α''
| Länge
| Ja
| Nein
|-
| style="text-align:left" | Inklination, Bahnneigung
| Lage
| ''i''
| Winkel
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Winkel des Knotens
| Lage
| Ω
| Winkel
| Ja
| teilweise {{FN|1}}
|-
| style="text-align:left" | Argument der Periapsis
| Lage
| ''ω''
| Winkel
| Ja
| Ja
|-

|-
| style="text-align:left" | Mittlere Bewegung
| Zeitverhalten
| ''μ'', ''n'', ''V''
| 1 / Zeit
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Winkelgeschwindigkeit {{FN|2}}
| Zeit-Ortverhalten
|
| Winkel / Zeit
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Mittlere Anomalie {{FN|2}}
| Bahnort
| ''M''
| Winkel
| Ja
| Nein
|-
| style="text-align:left" | Mittlere Länge {{FN|2}}
| Bahnort
| ''λ'', ''L''
| Winkel
| Ja
| Nein
|-
| style="text-align:left" | Radiusvektor {{FN|2}}
| Bahnort
| <math>\vec R </math>
| Länge
| Ja
| Ja
|-
| style="text-align:left" | Umlaufperiode
| Zeitbezug
| ''P''
| Zeit
| Ja
| Nein
|-
| style="text-align:left" | Periapsiszeit
| Zeitbezug
| ''t''
| Zeit
| Ja
| Ja
|}

{{FNBox|

{{FNZ|1|offene Bahnen haben nicht immer einen ''aufsteigenden'' Knoten}}

{{FNZ|2|zu einem bestimmten Zeitpunkt}}

}}

== Siehe auch ==
* [[Umlaufbahn]] – die geschlossene [[Keplerbahn]]

== Literatur ==
* Andreas Guthmann: ''Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung.'' BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4
* Wolfgang Vollmann: ''Wandelgestirnörter''. In: Hermann Mucke (Hrsg.): ''Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93.'' Zeiss-Planetarium der Stadt Wien und [[Österreichischer Astronomischer Verein]] 1992, S. 55–102 ([http://www.astronomisches-buero-wien.or.at/semind2.htm#sem1992 weblink, 3. Feb. 2011])
* Jean Meeus: ''Astronomical Algorithms''. Willmann-Bell, Richmond 1991, ISBN 0-943396-35-2

== Weblinks ==
* [https://www.minorplanetcenter.net Minor Planet Center] (englisch)
* [http://www.cbat.eps.harvard.edu/ Central Bureau for Astronomical Telegrams] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references/>{{Normdaten|TYP=s|GND=4326738-5}}
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]

Bahnelement - Versionsgeschichte

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