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2026-02-09T09:40:22Z

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<gallery widths="250" heights="200" class="float-right">
Haus-karo-axonometrie.svg|Axonometrie eines Hauses auf Karo-Papier
Axonometrie-torbogen-c.svg|Torbogen (Kreise) in Kavalierprojektion
</gallery>
Die '''Axonometrie''' ist ein Verfahren in der [[Darstellende Geometrie|darstellenden Geometrie]], um relativ einfach räumliche Objekte in einer [[Zeichenebene]] darzustellen.

Hierbei verwendet man die [[Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] wesentlicher Punkte und die Bilder der drei [[Koordinatenachse]]n in einer Zeichenebene. Das Resultat ist für jede Wahl der Bildachsen bis auf eine Skalierung eine [[Parallelprojektion]]. Im Allgemeinen ergibt sich eine schiefe (oder schräge) Parallelprojektion. Nur bei besonderer Wahl der Bildachsen und der Verzerrungsverhältnisse ergibt sich eine [[Orthogonalprojektion|orthogonale]] (oder senkrechte) Parallelprojektion, das heißt die Abbildungsstrahlen stehen senkrecht auf der Bildebene (s. [[orthogonale Axonometrie]]).

== Prinzip der Axonometrie ==
[[Datei:Axonometriedef-c.svg|500px|mini|Prinzip der Axonometrie]]
Man denkt sich die Koordinatenachsen zusammen mit dem Ursprung <math>O</math> und den Punkten
<math>E_x(1,0,0),</math> <math>E_y(0,1,0),</math> <math>E_z(0,0,1)</math> mit Hilfe paralleler Strahlen auf eine Zeichenebene projiziert. Die Einheitsstrecken
werden in der Regel verzerrt wiedergegeben. Die Verzerrungsverhältnisse werden mit <math>v_x</math>, <math>v_y</math> und <math>v_z</math> bezeichnet.
Ein Punkt <math>P(x,y,z)</math> wird nun wie folgt in das Bild mit den Koordinatenachsen eingetragen:

:Man gehe vom Nullpunkt <math>\overline{O}</math>
:um <math>x\cdot v_x</math> in <math>\overline{x}</math>-Richtung, dann
:um <math>y\cdot v_y</math> in <math>\overline{y}</math>-Richtung und schließlich
:um <math>z\cdot v_z</math> in <math>\overline{z}</math>-Richtung.

(Die Reihenfolge kann beliebig vertauscht werden.)

Da es für eine konkrete Projektionsrichtung und Lage der Bildebene sehr mühsam ist, Bildachsen und Verzerrungen zu konstruieren, wählt man einfach die Bilder der Koordinatenachsen in der Zeichenebene und definiert geeignete Verzerrungen. Die mathematische Rechtfertigung dafür ist der [[Satz von Pohlke]]: Für fast jede Wahl der Bildachsen und Verzerrungen erhält man bis auf Ähnlichkeit (Skalierung) das Bild einer Parallelprojektion. Es muss nur vorausgesetzt werden, dass die vier Bildpunkte <math>\overline{O},</math> <math>\overline{E_x},</math> <math>\overline{E_y},</math> <math>\overline{E_z}</math> nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen (so könnte ein Verzerrungsverhältnis auch <math>0</math> sein).<ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Strubecker]] |Titel=Vorlesungen über darstellende Geometrie |Auflage=2 |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1967 |DNB=458272221 |Seiten=115-121 |Online=https://people.math.harvard.edu/~knill/history/darstellend/Strubecker.pdf |Format=PDF}}</ref>

== Bildachsen und Verzerrungen ==
(Für Festlegungen im Bereich [[Technisches Zeichnen]]: siehe DIN 5 Teil 10.)

[[Datei:Axonometr-var14.svg|400px|mini|Verschiedene Verzerrungen eines Einheitswürfels<br />(Bildebene parallel zur yz-Ebene)]]
[[Datei:Axo-parameter-spez.svg|600px|mini|Parameter spezieller Axonometrien (die Militärprojektion ist ein Spezialfall der Vogelperspektive mit v<sub>z</sub>=1)]]
[[Datei:Axo-parameter-allg.svg|200px|mini|Parameter einer allgemeinen Axonometrie]]
Nur bei geeigneter Wahl von Bildachsen und Verzerrungen ist der Bildeindruck gut. Eine gute Bildwirkung erzielt man, wenn man die Bildachsen und die Verzerrungsverhältnisse so wählt, dass das Ergebnis eine senkrechte Parallelprojektion ist. Da man mit möglichst einfachen Verzerrungsverhältnissen (z. B.: 1 oder 0,5) arbeiten möchte, kann man sich bei der Wahl der Bildachsen und Verzerrungen an den Beispielen im Bild („verschiedene Verzerrungen eines Einheitswürfels“) orientieren. Hat man ''Karo-Papier'' zur Verfügung, so bietet sich die folgende Wahl für Achsen und Verzerrungen an: Zwei Koordinatenachsen fallen mit den Hauptrichtungen des Karo-Papiers zusammen, die dritte Achse verläuft in Richtung der Karo-Diagonalen (siehe Eingangsbild). Um die Konstruktion einfach zu halten, sollte man die Einheiten auf der waagrechten und senkrechten Achse zwei Kästchen und auf der Diagonalrichtung eine Kästchendiagonale als Einheit wählen. Das ergibt dann folgende Verzerrungen: <math>v_x:v_y:v_z= 1/\sqrt 2 :1:1</math> gleich ≈ 0,7:1:1.

Axonometrien mit zwei gleichen Verzerrungen heißen '''dimetrisch''', mit drei gleichen Verzerrungen '''isometrisch''', ansonsten '''trimetrisch'''.

''Festlegung:''
* <math>\alpha:</math> Winkel zwischen der <math>\overline{z}</math>-Achse und der <math>\overline{x}</math>-Achse
* <math>\beta:</math> Winkel zwischen der <math>\overline{z}</math>-Achse und der <math>\overline{y}</math>-Achse
* <math>\gamma:</math> Winkel zwischen der <math>\overline{x}</math>-Achse und der <math>\overline{y}</math>-Achse

=== Kavalierprojektion, Kabinettprojektion ===
* Bildebene parallel zur [[yz-Ebene]], d. h.
** <math>\beta=90^\circ</math> und
** <math>v_y=v_z=1</math>.
* Bemerkung: In der Literatur werden die Begriffe ''[[Kavalierperspektive]]'' und ''[[Kabinettperspektive]]'' nicht einheitlich definiert. Die obige Definition ist die allgemeinste. Oft werden weitere Beschränkungen gefordert:
** Kabinettprojektion: zusätzlich <math>\alpha=\gamma=135^\circ</math> und <math>v_x=0{,}5</math> (Dimetrie),
** Kavalierprojektion: zusätzlich <math>\alpha=\gamma=135^\circ</math> und <math>v_x=1</math> (Isometrie).

=== Vogelperspektive, Militärprojektion ===
* Bildebene parallel zur [[xy-Ebene]], d. h.
** <math>\gamma=90^\circ</math> und
** <math>v_x=v_y=1</math> (Dimetrie).
* Für die [[Militärperspektive|Militärprojektion]] gilt zusätzlich: <math>v_z=1</math> (Isometrie).

Solche Axonometrien werden bei Stadtplänen verwendet, um Maßstabgerechtigkeit (horizontal) und Anschaulichkeit von Gebäuden zu erreichen.
[[Datei:Würfel in Ingenieurperspektive.png|mini|200x200px|Würfel in Ingenieurperspektive.]]

=== {{Anker|Ingenieurprojektion}} Ingenieur-Axonometrie (Ingenieurperspektive) ===

Bei einer [[Ingenieurperspektive|Ingenieur-Axonometrie]] nach [[ISO]] 5456-3:1996(E)<ref>{{Internetquelle |url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/11503/006c88f9e0b040618800ce7a590d049f/ISO-5456-3-1996.pdf |titel=5.2 Dimetric axonometry |werk=Technical drawings – Projection methods – Part 3: Axonometric representations |hrsg=S. 3 und 4, International standard ISO 5456-3:1996(E), First edition 1996-06-15 |datum=1996-06-15 |sprache=englisch |abruf=29. September 2024}}</ref> sind die Verzerrungen:

<math>\begin{align}v_x&=0.5\\
v_y=v_z&=1\end{align}</math> (dimetrische Axonometrie)

Die Achsen sind wie folgt ausgerichtet:

<math>\begin{align}\alpha=\gamma&=132^\circ\\
\beta&=97^\circ\end{align}</math> (oder auch 7° und 42° zur Waagerechten<ref>{{Literatur | Autor=Hans Hoischen | Titel=Technisches Zeichnen. Grundlagen, Normen, Beispiele, Darstellende Geometrie | Auflage=21 | Verlag=Girardet | Ort=Düsseldorf | Datum=1986 | ISBN=3-7736-2023-3 | Seiten=252 | Fundstelle=7.6.2 Dimetrische Projektion DIN 5 Teil 2}}</ref>)

''Vorteile der Ingenieur-Axonometrie sind:''
* einfache Verzerrungen,
* fast eine senkrechte Axonometrie (gute Bildwirkung, der Skalierungsfaktor ist 1,06),
* der Umriss einer Kugel ist ein Kreis (ansonsten ist er eine Ellipse).

=== Isometrische Axonometrie ===
<div style="float:right;">[[Datei:Axo-iso-beisp.svg|300px|mini|Beispiele in Standard-Isometrie: Würfel, Quader, Haus und Kugel]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:01-Würfel isometrisch.svg|180px|mini|Würfel mit isometrischer Axonometrie]]</div>
(Man beachte die Mehrfachbedeutung des Ausdrucks [[Isometrie]] in der Mathematik.)
{{Siehe auch|Isometrie (Perspektiveart)}}
Bei der '''isometrischen Axonometrie''', kurz: '''Isometrie''', sind die Verzerrungen alle gleich. Die Winkel zwischen den Achsen-Bildern können noch frei gewählt werden.

Bei der als '''Standard-Isometrie''' bezeichneten Darstellung gilt folgendes:
* <math>v_x=v_y=v_z=1</math> (alle Achsen unverzerrt)
* <math>\alpha=\beta=\gamma=120^\circ</math>, wobei die <math>\overline{z}</math>-Achse senkrecht ist

''Die Vorteile dieser Parameterwahl sind:''
* Die Koordinaten können unverändert übernommen werden,
* Das axonometrische Bild ist eine um den Faktor <math>\sqrt{1{,}5}=1{,}225</math> skalierte [[Orthogonalprojektion]] (senkrechte Parallelprojektion). Daraus resultiert eine gute Bildwirkung und der Umriss einer Kugel ist ein Kreis.
* Zeichensysteme, wie z. B. [[xfig]], bieten ein Dreiecksraster, um das Zeichnen von Objekten mit achsenparallelen Kanten zu erleichtern.

''Die „Nachteile“ sind:''
* Ein Schönheitsfehler aufgrund der Symmetrie ist, dass zwei der 8 Eckpunkte eines achsenparallelen Würfels zusammenfallen (siehe Bild „Würfel mit isometrischer Axonometrie“).

[[Datei:Axo-beispiele.svg|500px|links|mini|Verschiedene Axonometrien eines Turmes]]
{{Absatz}}

=== Überblick über die speziellen Axonometrien ===
Bei einer allgemeinen Axonometrie können die zwei Winkel <math>0<\alpha,\beta</math> zwischen den Achsen und die Verzerrungen <math>0<v_x,v_y,v_z</math> (fast) frei gewählt werden. Damit alle drei Achsenbilder nicht auf einer Geraden liegen, muss <math>0<\alpha+\beta<360^\circ</math> sein. Diese Beschränkung für die Wahl der Winkel garantiert eine Ansicht von schräg ''oben''. Die Beschränkung <math>360<\alpha+\beta<720^\circ</math> liefert Ansichten von schräg ''unten ''. Sie vertauscht die übliche Orientierung von der x-Achse zu der y-Achse. Negative Verzerrungen würden die übliche Orientierung der Achsen verändern.

== Kreise in der Axonometrie ==
[[Datei:Axonometrie-kreise-c.svg|mini|Axonometrie: Kreise in Kavalierprojektion]]
{{Hauptartikel|Ellipse (Darstellende Geometrie)}}
Kreise werden bei Parallelprojektion im Allgemeinen auf Ellipsen abgebildet. Ein wichtiger Sonderfall: Ein Kreis, dessen Kreisebene parallel zur Bildtafel ist, wird unverzerrt abgebildet. Dies ist beispielsweise der Fall bei einer Kavalierprojektion, bei der die yz-Ebene (siehe Beispiel) unverzerrt abgebildet wird. Bei einer [[Vogelperspektive]] bleiben alle horizontalen Kreise unverzerrt. Falls ein Kreis zu einer Ellipse verzerrt wird (siehe Bild „Axonometrie: Kreise in Kavalierprojektion“), kann man einige Punkte und ein Tangentenquadrat abbilden und in das Bild des Quadrates ([[Parallelogramm]]) eine Ellipse von Hand oder mit einem Zeichenprogramm einpassen. Dabei ist zu beachten, dass die Bilder von senkrechten Kreisdurchmessern im Allgemeinen nicht die Hauptachsen der Bildellipse, sondern [[konjugierte Durchmesser]] sind. Aus diesen kann man die Hauptachsen mit Hilfe der [[Rytzsche Achsenkonstruktion|Rytzschen Achsenkonstruktion]] rekonstruieren. Anschließend lässt sich die Ellipse mit einem Zeichenprogramm oder einem [[Ellipsenzirkel]] exakt zeichnen. Falls man nur Zirkel, Lineal und ein Kurvenlineal zur Hand hat, lässt sich die Ellipse erstaunlich gut und schnell mit Hilfe der ''Scheitelkrümmungskreise'' näherungsweise zeichnen (s. [[Ellipse]] oder C. Leopold, S. 64). In der [[Orthogonale Axonometrie|orthogonalen Axonometrie]] kommt man meistens ohne die aufwändige Rytzkonstruktion aus.

== Kugeln in der Axonometrie ==
[[Datei:Kugel-vogelp.svg|mini|Vogelperspektive einer Kugel mit vz=1]]
{{Hauptartikel|Kugel (Darstellende Geometrie)}}
Der Umriss einer Kugel ist nur bei orthogonaler Axonometrie einfach ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Da sowohl die Ingenieuraxonometrie als auch die Standardisometrie skalierte Orthogonalprojektionen sind (s. oben), erscheint der Umriss einer Kugel hier auch jeweils als Kreis, allerdings skaliert. In einer beliebigen Axonometrie erscheint der Umriss einer Kugel als Ellipse, was den Betrachter irritieren mag (siehe das Bild einer Kugel in isometrischer Vogelperspektive). Deshalb sollte man Szenen mit Kugeln besser mit [[Orthogonale Axonometrie|orthogonaler Axonometrie]] oder wenigstens in Ingenieur-Axonometrie oder Standardisometrie abbilden.

== Koordinatenrechnung ==
Im Raum liege weiterhin das kartesische <math>x\text{-}y\text{-}z\text{-}</math>Koordinatensystem mit Ursprung <math>O</math> zugrunde. Die Zeichenebene sei mit einem kartesischen <math>x'\text{-}y'\text{-}</math>Koordinatensystem mit Ursprung <math>\overline O</math> versehen. Eine Axonometrie, bei der <math>\overline O</math> Bildpunkt von <math>O</math> ist, lässt sich durch die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f\colon\ \mathbb R^3 \to \mathbb R^2,</math>
: <math>
p = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto f(p) = \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}
</math>
beschreiben, die dem [[Koordinatenvektor]] <math>p \in \mathbb R^3</math> eines allgemeinen Raumpunktes <math>P</math> den Koordinatenvektor in <math>\mathbb R^2</math> des Bildpunktes <math>\overline P</math> zuordnet. Die Abbildung <math>f</math> ist [[Lineare Abbildung|linear]] und kann somit durch ihre <math>2\!\times\!3\,\text{-}</math>[[Abbildungsmatrix]] <math>A</math> dargestellt werden:
: <math>
f(p) = A\!\ p
</math>
([[Matrix-Vektor-Produkt]]). Die drei Spalten von <math>A</math> sind die Bildvektoren <math>f(e_x),f(e_y),f(e_z) \in \mathbb R^2</math> der [[Standardbasis#Standardbasis in den Standardräumen|Standardbasis]]-Vektoren
: <math>
e_x = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad e_y = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad e_z = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>
und beschreiben so die <math>\overline x\text{-},</math> <math>\overline y\text{-}</math> und <math>\overline z\text{-}</math>Bildachse. Sie liegen nicht auf einer gemeinsamen [[Ursprungsgerade]]n, d. h. die reelle <math>2\!\times\!3\,\text{-}</math>Matrix <math>A</math> hat den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] <math>2.</math> Umgekehrt erzeugt jede derartige Matrix eine Axonometrie.

=== Beispiele ===

'''1.''' Die oben eingeführten Verzerrungen <math>v_x,v_y,v_z</math> und Winkel <math>\alpha,\beta</math> führen umgehend auf die Abbildungsmatrix
: <math>
A = \begin{pmatrix}-v_x\sin\alpha& v_y\sin\beta& 0\\ v_x\cos\alpha& v_y\cos\beta& v_z\end{pmatrix};
</math>
dabei wird angenommen, dass die <math>y'\text{-}</math>Achse ebenso wie die <math>\overline z\text{-}</math>Bildachse nach oben und die <math>x'\text{-}</math>Achse nach rechts zeigt.

'''2.''' Speziell für <math>v_x = v_y = v_z = 1</math> und <math>\alpha = \beta = 120^\circ</math> ergibt sich die [[#Isometrische Axonometrie|Standard-Isometrie]] mit der Matrix
: <math>
A = \begin{pmatrix}-\frac{\sqrt3}2& \frac{\sqrt 3}{2}& 0\\-\frac12& -\frac12 &1\end{pmatrix}.
</math>
Bei ihr wird etwa die Ecke <math>p = (1,1,1)^\mathsf{T}</math> des Einheitswürfels auf <math>f(p) = A\!\ p = (0,0)^\mathsf{T}</math> abgebildet, ebenso wie die gegenüberliegende Ecke <math>(0,0,0)^\mathsf{T}</math> (mit <math>{}^\mathsf{T}</math> wird die [[Transponierung]] bezeichnet). Wie oben erwähnt, ist die Standard-Isometrie eine um den Faktor <math>\textstyle\sqrt{3/2}</math> skalierte [[orthogonale Axonometrie]].

'''3.''' Wird also die letzte Matrix mit dem Kehrwert <math>\textstyle\sqrt{2/3}</math> multipliziert, so ergibt sich die Abbildungsmatrix
: <math>
A = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}& \frac1{\sqrt2}& 0\\ -\frac1{\sqrt6}& -\frac1{\sqrt6}& \sqrt{\frac23}\end{pmatrix}
</math>
einer orthogonalen Axonometrie. Übrigens sind bei ihrer Transponierten <math>A^\mathsf{T}</math> beide Spalten
: <math>
e_x' = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}\\ \frac1{\sqrt2}\\[0.3ex] 0\end{pmatrix},\quad e_y' = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt6}\\ -\frac1{\sqrt6}\\ \sqrt{\frac23}\end{pmatrix}
</math>
[[orthonormal]], d. h. es gilt <math>e_x'\cdot e_y' = 0</math> und <math> e_x'\cdot e_x' = e_y'\cdot e_y' = 1.</math> Das charakterisiert orthogonale Axonometrien, wie sich im Folgenden beispielhaft zeigt.

[[Datei:Roland Uhl - Einheitswürfel in orthogonaler Axonometrie.svg|hochkant=1.23|rahmenlos|rechts|rand|Einheitswürfel in der 4. Axonometrie]]
'''4.''' Nun wird umgekehrt eine weitere orthogonale Axonometrie mithilfe der orthonormalen Vektoren
: <math>
e_x' = \frac17 \begin{pmatrix}6\\-3\\-2\end{pmatrix},\quad</math><math> e_y' = \frac17 \begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}
</math>
konstruiert. Diese beiden bestimmen zusammen mit <math>e_z' = e_x'\times e_y'</math> und <math>O</math> ein weiteres kartesisches Koordinatensystem im Raum. Ein allgemeiner Raumpunkt <math>P</math> hat jetzt noch einen weiteren Koordinatenvektor <math>p' = (x',y',z')^\mathsf{T}</math> neben <math>p = (x,y,z)^\mathsf{T}.</math> Dabei gilt stets <math>E\!\ p' = p</math> mit der <math>3\!\times\!3\,\text{-}</math>[[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]]-Matrix <math>E = \big(e_x'\,\big|\,e_y'\,\big|\,e_z'\big).</math> Weil diese [[Orthogonale Matrix|orthogonal]] ist, gilt <math>E^{-1} = E^\mathsf{T}</math> und folglich <math>p' = E^\mathsf{T}p.</math> Die orthogonale Axonometrie, die senkrecht auf die <math>x'\text{-}y'\text{-}</math>Ebene als Zeichenebene projiziert, entspricht dem Weglassen der untersten <math>z'\text{-}</math>Koordinate bei <math>p'.</math> Ihre Abbildungsmatrix erhält man entsprechend aus <math>E^\mathsf{T}</math> durch Weglassen der untersten Zeile:
: <math>
A = \frac17\, \begin{pmatrix}6&-3&-2\\ 3&2&6\end{pmatrix}.
</math>
Damit lassen sich Punkte in dem nebenstehenden Bild des Einheitswürfels berechnen. So wird etwa die Ecke <math>p = (1,1,1)^\mathsf{T}</math> auf <math>f(p) = A\!\ p = \big(\tfrac17,\tfrac{11}7\big){}^\mathsf{T}</math> abgebildet.

== Quellen ==
* Ulrich Graf, Martin Barner: ''Darstellende Geometrie.'' Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9.
*Fucke, Kirch, Nickel: ''Darstellende Geometrie.'' Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4
*Cornelie Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN 3-17-018489-X

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
*[http://www.3doro.de/axon.htm Normale (orthogonale) Axonometrie] mit einfachen Beispielen
*[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/dga-incl-loes.pdf ''Darstellende Geometrie für Architekten''] (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt)
* {{Webarchiv | url=http://material.htlwien10.at/wissensspeicher/Darstellende_Geometrie_und_geometrisches_Zeichnen/Projektionsarten-Axonometrie-3D.pdf | wayback=20130810144627 | text=Grundlagen und Elemente der Verkehrsmaschinentechnik}} (PDF; 493 kB) TU Dresden

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]

Axonometrie - Versionsgeschichte

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