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2020-07-18T10:54:58Z

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Der Begriff '''Axiomenschema''' bezeichnet in der [[Mathematische Logik|Mathematischen Logik]] eine [[Metasprache|metasprachliche]] Konstruktionsvorschrift zur Darstellung von [[Prädikatenlogik erster Stufe|erststufigen]] [[Axiomensystem]]en, die nicht durch eine [[Endliche Menge|endliche]] [[Zahl|Anzahl]] von [[Axiom]]en angegeben werden können oder angegeben werden sollen.

Ein derartiges Axiomensystem muss nicht als eine [[Potentielle und aktuale Unendlichkeit|unendliche]] [[Menge (Mathematik)|Menge]] aufgefasst werden.
Es muss aber [[entscheidbar]] sein, ob ein gegebener Ausdruck ein Axiom des Systems ist.

== Begriff ==
Ein Axiomenschema (Plural: Axiomenschemata) wird durch eine [[Rekursion|rekursive]] [[Definition]] beschrieben.
Die zu erzeugenden Axiome werden in der Rekursionsvorschrift durch Formeln gegeben, in denen (ein oder mehrere) metasprachliche Platzhalter (Schema-Variablen) vorkommen.
Da die Schema-Variablen in vielen Fällen über Formeln (bzw. über Terme etc.) variieren, wird die Rekursion dabei auch oft über den (rekursiven) Aufbau der Formeln geführt. In der Praxis ist mitunter die eigentliche Rekursion nicht ganz treffend auch als intuitive Ersetzung etc. formuliert.

Eine Theorie, die ein endliches Axiomensystem besitzt, wird ''endlich axiomatisierbar'' genannt.
Diese Axiomensysteme werden in der Regel als eleganter empfunden, selbst wenn mitunter [[Beweis (Mathematik)|Beweise]] in ihnen weniger elegant sind.

== Beispiele ==
Bekannte Axiomenschemata sind:
* Das Induktionsschema der erststufigen Formulierung der [[Peano-Axiome]], die ein wohlbekanntes Axiomensystem für die [[Arithmetik]] der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden.
* Das [[Ersetzungsaxiom|Ersetzungsschema]] des Axiomensystems [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]] der [[Axiomatische Mengenlehre|Mengenlehre]].

Da weder das Ersetzungsschema von ZFC noch das Induktionsschema der [[Peano-Arithmetik]] durch eine endliche Anzahl von Axiomen ersetzt werden können, sind beide zugehörige Theorien nicht endlich axiomatisierbar.

== Ersetzbarkeit ==
Die ebenfalls erststufige [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre|Von-Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] (NBG) spricht generell über [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]].
Es muss in NBG angegeben werden, wenn über eine Menge und nicht allgemein über eine Klasse geredet wird.
In ZFC und NBG sind über Mengen die gleichen Aussagen beweisbar, trotzdem besitzt NBG aber ein endliches Axiomensystem.
Die Axiomenschemata von ZFC sind gewissermaßen in Formulierungen mit geeigneten Klassen verlagert worden.

Innerhalb der [[Prädikatenlogik zweiter Stufe]] sind Axiomenschemata eliminierbar, wenn die vorkommenden Schema-Variablen wesentlich Platzhalter für (ein- oder mehrstellige) [[Relation (Mathematik)|Relationen]] sind.
Die [[Logik höherer Stufe|Prädikatenlogik höherer Stufe]] erlaubt Quantifizierung über Relationen.
Allerdings gelten (''[[Sätze von Lindström|Satz von Lindström]]'') in einer Prädikatenlogik höherer Stufe, die ausdrucksfähiger als die [[Prädikatenlogik erster Stufe]] ist, nicht zugleich der [[Kompaktheitssatz (Logik)|Kompaktheitssatz]] und der [[Satz von Löwenheim-Skolem]].

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Wolfgang Rautenberg]]|Titel=Einführung in die Mathematische Logik|Auflage=3.|Verlag=[[Vieweg+Teubner Verlag|Vieweg+Teubner]]|Ort=[[Wiesbaden]]|Jahr=2008|ISBN=978-3-8348-0578-2}}
* {{Literatur|Autor=Wolfgang Rautenberg|Titel=Messen und Zählen|Kapitel=Kap. 11: Die natürlichen Zahlen|Verlag=[[Heldermann Verlag]]|Ort=[[Lemgo]]|Jahr=2007|ISBN=978-3-88538-118-1}}
* {{Literatur|Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]], Jörg Flum, Wolfgang Thomas|Titel=Einführung in die mathematische Logik|Kapitel=Kap. 13: Die Sätze von Lindström|Verlag=[[Springer Spektrum]]|Ort=Berlin|Jahr=2018|ISBN=978-3-662-58029-5}}

[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Logik]]

Axiomenschema - Versionsgeschichte

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