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2022-10-13T21:05:46Z

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Der '''Satz von Pasch''' (nach [[Moritz Pasch]]) wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] gewöhnlich als [[Axiom]] verwendet:

[[Datei:Pasch.png|mini|Die Gerade ''a'' mag grün oder blau sein: Eine weitere Seite des Dreiecks muss sie treffen.]]

„Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] und ''a'' eine [[Gerade]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] ABC, die keinen dieser drei Punkte trifft. Wenn dann die Gerade ''a'' durch einen Punkt der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] AB geht, so geht sie gewiss auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.“

Anschaulich kann dies so ausgedrückt werden: „Wenn eine Gerade durch eine Seite ins Innere eines Dreiecks eintritt, so tritt sie gewiss auch wieder durch eine Seite des Dreiecks heraus.“

Pasch hat dieses Axiom 1882 formuliert. [[Euklid]] interessierte sich noch nicht für die Notwendigkeit eines solchen Axioms. [[Evidenz (Philosophie)|Evidenzen]] dieser Art wurden von ihm (und seinen Jüngern in den folgenden 2000 Jahren) ganz selbstverständlich benutzt.

Die Formulierung dieses Axioms stellt deshalb einen wichtigen Schritt dar auf dem Wege der Geometrie zu einer streng axiomatischen Theorie ([[Axiomatisierung]]). Es gehört zu den Axiomen, durch die eine ''[[Seiteneinteilung|schwache Zwischenbeziehung]]'' auf einer [[Affine Ebene|affinen Ebene]] charakterisiert werden kann. In [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] ist es eines der Axiome, die eine ''(starke) Zwischenbeziehung'' und damit eine ''Anordnung'' der Ebene beschreiben.

→ Auch das [[Axiom von Veblen-Young]] ist in der [[Mathematik|mathematischen]] Literatur als Axiom von Pasch bezeichnet worden.

== Literatur ==
* [[Jeremy Gray]]: ''Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century'', Springer 2007
* Moritz Pasch: ''Vorlesungen über neuere Geometrie'', Leipzig 1882
* Victor Pambuccian: The axiomatics of ordered geometry: I. Ordered incidence spaces. ''Expositiones Mathematicae'' 29 (2011), 24–66, {{doi|10.1016/j.exmath.2010.09.004}}.

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Axiom von Pasch - Versionsgeschichte

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