imported>Bernhard Ganter: /* Algebraische Strukturen */ Die Skalarmultiplikation ist keine innere Verknüpfung.

2024-10-05T09:00:02Z

Algebraische Strukturen: Die Skalarmultiplikation ist keine innere Verknüpfung.

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Automorphismus''' (von {{grcS|αὐτός|autos|prefix=nein}}, „selbst“, und {{lang|grc|μορφή|morphē}}, „Gestalt“, „Form“) ein [[Isomorphismus]] eines [[Mathematisches Objekt|mathematischen Objekts]] auf sich selbst.

== Von Symmetrien zu Automorphismen ==

Ein [[gleichseitiges Dreieck]] hat drei [[Achsensymmetrie|Symmetrieachsen]]:
: [[Datei:Equilateral triangle axes of symmetry.svg]]
Außerdem verfügt es über eine dreizählige [[Drehsymmetrie]].
Um die Symmetrieeigenschaft mathematisch zu fassen, betrachtet man die zugehörigen ''Symmetrieabbildungen''. Zu jeder Symmetrieachse gehört die [[Achsenspiegelung|Spiegelung]] an der Achse:
: [[Datei:Equilateral triangle vertical axis of symmetry.svg]]
Die Ziffern dienen nur dazu, die Abbildung zu beschreiben, es ist zweimal dasselbe Dreieck. Symmetrieabbildungen können nacheinander ausgeführt werden. Im folgenden Beispiel ist die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] zweier Spiegelungen eine Drehung um 120°:
: [[Datei:Equilateral triangle composition of symmetries.svg]]
Führt man zweimal dieselbe Spiegelung nacheinander aus, erhält man insgesamt die Abbildung, die nichts verändert, die [[identische Abbildung]]. Weil die Hintereinanderausführung zweier Symmetrieabbildungen stets wieder eine Symmetrieabbildung sein soll, muss auch die identische Abbildung als eine Symmetrieabbildung betrachtet werden. Eine Figur ist unsymmetrisch, wenn sie nur diese eine, triviale Symmetrieabbildung zulässt. Die Gesamtheit der Symmetrieabbildungen bildet eine [[Gruppentheorie|Gruppe]], die [[Symmetriegruppe]].

In der Mathematik betrachtet man häufig Objekte, die aus einer Grundmenge <math>G</math> und einer Zusatzstruktur <math>S</math> bestehen, und in der Regel gibt es eine kanonische Konstruktion, die aus der Zusatzstruktur <math>S</math> auf <math>G</math> und einer [[Bijektion]] <math>f \colon G \to H</math> eine Struktur <math>S_f</math> auf <math>H</math> erzeugt. Insbesondere ist das für Bijektionen <math>G \to G</math> möglich.

Auf das Symmetriebeispiel übertragen entspricht <math>G</math> der Ebene und <math>S</math> dem Dreieck. Für eine [[Kongruenzabbildung]] <math>f \colon G \to G</math> ist <math>S_f</math> das [[Bild (Mathematik)|Bilddreieck]]. Symmetrieabbildungen zeichnen sich durch <math>S = S_f</math> aus. Im abstrakten Kontext nennt man Bijektionen <math>f \colon G \to G</math>, die <math>S = S_f</math> erfüllen, Automorphismen von <math>(G,S)</math>. Diese Definition deckt die meisten Fälle ab, seien es [[Graphentheorie|Graphen]], [[Topologischer Raum|topologische Räume]] oder [[algebraische Struktur]]en wie [[Vektorraum|Vektorräume]].

Werden die Zusatzstrukturen komplizierter, kann die harmlos erscheinende Bedingung <math>S = S_f</math> Probleme bereiten: Definiert man [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en als Grundmengen mit Topologie und ''einem'' Atlas <math>A</math>, erhält man unter Umständen unter einem [[Homöomorphismus]] <math>f</math> einen kompatiblen, aber nicht identischen Atlas <math>A_f</math>. Würde man aber in der Definition einen maximalen Atlas fordern, wäre <math>A = A_f</math> für ein solches <math>f</math>.

Die [[Kategorientheorie]] löst dieses und andere Probleme dadurch, dass sie eine bereits vorhandene Definition für strukturkompatible Abbildungen voraussetzt ([[Morphismus|Morphismen]]; es muss sich nicht um tatsächliche Abbildungen handeln). Darauf aufbauend ersetzt sie die Forderung der Bijektivität (die im abstrakten Kontext nicht mehr zur Verfügung steht) durch die Existenz eines inversen Morphismus.

== Definition ==

=== Algebraische Strukturen ===

Sei <math>\left(A,(f_i)_{i\in I}\right)</math> eine [[algebraische Struktur]], also eine Menge <math>A</math> zusammen mit (inneren) [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]] <math>f_i \colon A^{d_i} \to A</math>. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(A, *)</math>, ein [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>\left(A, (+, *)\right)</math> oder ein [[Vektorraum]] <math>\left(A, (+, (\lambda_{k})_{k\in K})\right)</math> über einem Körper <math>K</math> sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Automorphismus <math>\phi \colon A \to A</math> eine [[Bijektive Funktion|bijektive Abbildung]] der [[Mengenlehre|Menge]] <math>A</math> auf sich selbst, die ein [[Homomorphismus]] ist, das heißt, es gilt

:<math>\phi\left(f_i(a_1, \dotsc, a_{d_i})\right) = f_i\left(\phi(a_1), \dotsc, \phi(a_{d_i})\right)</math>

für jedes <math>i \in I</math> und alle <math>a_1, \dotsc, a_{d_i} \in A</math>. Die Umkehrfunktion <math>\phi^{-1} \colon A \to A</math> ist dann ebenfalls ein Homomorphismus.<ref>{{Literatur |Autor=Stanley Burris |Titel=A Course in universal algebra – The millennium edition |Ort=Ontario |Datum=2012 |ISBN=978-0-9880552-0-9 |Seiten=47}}</ref>

=== Kategorientheorie ===

Sei <math>X</math> ein [[Kategorientheorie|Objekt]]. Ein [[Morphismus]] <math>f \colon X \to X</math> wird Automorphismus genannt, wenn es einen Morphismus <math>g \colon X \to X</math> mit
: <math>f \circ g = \operatorname{id}_X</math> und <math>g \circ f = \operatorname{id}_X</math>
gibt, <math>f</math> also ein beidseitiges Inverses besitzt.<ref name="Awodey11">{{Literatur |Autor=Steve Awodey |Titel=Category theory |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=2006 |ISBN=0-19-856861-4 |Seiten=11}}</ref>

Ein Automorphismus ist damit dasselbe wie<ref>{{Literatur |Autor=Serge Lang |Titel=Algebra |Auflage=Revised Third Edition |Ort=New York |Datum=2002 |ISBN=0-387-95385-X |Seiten=54}}</ref>
* ein [[Isomorphismus]], dessen Quelle und Ziel gleich sind, und
* ein [[Isomorphismus#Kategorientheorie|invertierbarer]] [[Endomorphismus]].

Für Kategorien von algebraischen Strukturen (und den zugehörigen Homomorphismen) ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

== Automorphismengruppe ==

* Wenn die Automorphismen eines Objekts <math>X</math> eine Menge bilden, bilden sie mit der Verkettung als Verknüpfung eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die mit <math>\operatorname{Aut}(X)</math> bezeichnet wird.<ref name="Awodey11" />
* Ist <math>G</math> eine Gruppe, nennt man einen Homomorphismus <math>G \to \operatorname{Aut}(X)</math> eine [[Gruppenoperation]] von <math>G</math> auf <math>X</math>.
* Ist <math>F \colon C \to D</math> ein [[kovarianter Funktor]] und <math>X</math> ein Objekt von <math>C</math>, so induziert <math>F</math> einen Gruppenhomomorphismus <math>\operatorname{Aut}(X) \to \operatorname{Aut}(F(X))</math> (für kontravariante Funktoren muss man noch mit der Inversion <math>f \mapsto f^{-1}</math> verketten). Ist eine Gruppenoperation von <math>G</math> auf <math>X</math> gegeben, so erhält man auf diesem Wege eine Operation von <math>G</math> auf <math>F(X)</math>.

== Spezielle Strukturen ==

=== Graphen ===

==== Allgemeines ====

Ein Automorphismus eines [[Graphentheorie|Graphen]] <math>G = (V,E)</math> mit Knotenmenge <math>V</math> und Kantenmenge <math>E</math> ist eine bijektive Abbildung <math>\phi \colon V \to V</math>, sodass <math>\{v_1, v_2\} \in E \iff \{\phi(v_1), \phi(v_2)\} \in E</math> für alle <math>v_1, v_2 \in V</math> gilt.

Ein Automorphismus eines Graphen induziert einen Automorphismus des [[Komplementgraph]]en.

Der [[Satz von Frucht]] besagt, dass zu jeder Gruppe <math>\Gamma</math> ein Graph <math>G</math> existiert, sodass <math>\operatorname{Aut}(G)</math> isomorph zu <math>\Gamma</math> ist.

==== Beispiel ====

Sei <math>V = \{1, 2, 3, 4\}</math> und <math>E = \{\{1, 2\}, \{3, 4\}\}</math>:
: [[Datei:Graph 1-2 3-4.svg]]
Automorphismen von <math>G = (V,E)</math> sind Permutationen von <math>V</math>, sodass die Anwendung der Permutation auf das Diagramm wieder eine Veranschaulichung desselben Graphen ergibt. Beispiel: Die Permutation <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&1&2\end{pmatrix}</math> ist ein Automorphismus, weil die Kanten nach wie vor zwischen 1 und 2 sowie zwischen 3 und 4 verlaufen:
: [[Datei:Graph 4-3 1-2.svg]]
Die Permutation <math>\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&2&4\end{pmatrix}</math> ist kein Automorphismus, weil die Kanten im neuen Bild <math>\{1, 3\}</math> und <math>\{2, 4\}</math> sind:
: [[Datei:Graph 1-3 2-4.svg]]
Die Automorphismengruppe des Graphen ist isomorph zur [[Diedergruppe]] der Ordnung <math>8</math>, sein Komplement ist ein [[Zyklische Permutation|4-Zyklus]].

=== Vektorräume ===

Ein Automorphismus eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> ist eine bijektive [[lineare Abbildung]] <math>V \to V</math>.

Für [[Dimension (Mathematik)|endlichdimensionale]] Vektorräume <math>V</math> sind Automorphismen genau diejenigen linearen Abbildungen <math>V \to V</math>, deren [[Abbildungsmatrix]] bezüglich einer beliebigen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] [[Reguläre Matrix|regulär]] ist. Die Automorphismengruppe wird häufig als [[Allgemeine lineare Gruppe|GL(V)]] notiert.<ref>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Automorphismus |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

=== Gruppen ===

==== Allgemeines ====

Ein Automorphismus einer Gruppe <math>(G, \circ)</math> ist ein bijektiver [[Gruppenhomomorphismus]] dieser Gruppe auf sich selbst, das heißt eine bijektive Abbildung <math>\phi \colon G \to G</math> mit <math>\phi(g \circ h) = \phi(g) \circ \phi(h)</math> für alle <math>g, h \in G</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Serge Lang |Titel=Algebra |Auflage=Revised Third Edition |Ort=New York |Datum=2002 |ISBN=0-387-95385-X |Seiten=10}}</ref>

Unter Automorphismen bleiben alle strukturellen Eigenschaften der Gruppenelemente sowie diesbezügliche Konstruktionen erhalten. So erhält jeder Automorphismus die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] der Elemente (d. h. <math>\operatorname{ord}(\phi(g)) = \operatorname{ord}(g)</math> für alle <math>g \in G</math>), induziert einen Automorphismus des [[Zentrum (Algebra)|Zentrums]] und bildet [[Erzeugendensystem]]e auf Erzeugendensysteme ab.

==== Innere Automorphismen ====

Ist <math>G</math> eine Gruppe und <math>h \in G</math> fest, dann ist <math>i_h \colon G \to G</math>, <math>i_h(g) = hgh^{-1}</math> ein Automorphismus von <math>G</math>, genannt [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] mit <math>h</math>. Automorphismen, die auf diesem Weg entstehen, heißen ''innere Automorphismen''. Automorphismen, die keine inneren Automorphismen sind, heißen '''äußere Automorphismen'''. Weil <math>h \mapsto i_h</math> ein Homomorphismus <math>G \to \operatorname{Aut}(G)</math> ist und <math>i_h</math> genau dann der triviale Automorphismus ist, wenn <math>h</math> im [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>G</math> liegt,<ref>{{Literatur |Autor=Serge Lang |Titel=Algebra |Auflage=Revised Third Edition |Ort=New York |Datum=2002 |ISBN=0-387-95385-X |Seiten=26}}</ref> ist die Menge <math>\operatorname{Inn}(G)</math> aller inneren Automorphismen nach dem [[Homomorphiesatz]] eine zu <math>G/Z(G)</math> isomorphe Untergruppe von <math>\operatorname{Aut}(G)</math>. Sie ist sogar ein [[Normalteiler]] in <math>\operatorname{Aut}(G)</math>, und die Faktorgruppe <math>\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)</math> wird mit <math>\operatorname{Out}(G)</math> bezeichnet. Sie heißt '''Gruppe der äußeren Automorphismen'''. Die Einschränkung auf das Zentrum liefert einen Homomorphismus <math>\operatorname{Out}(G) \to \operatorname{Aut}(Z(G))</math>.

Für [[abelsche Gruppe]]n sind alle inneren Homomorphismen trivial, und <math>\operatorname{Aut}(G) = \operatorname{Out}(G)</math>.

Für eine Untergruppe <math>H \subseteq G</math> erhält man durch Einschränkung der inneren Automorphismen einen injektiven Homomorphismus <math>N_G(H)/Z_G(H) \to \operatorname{Aut}(H)</math>. Siehe [[Normalisator]] und [[Zentralisator]].

==== Beispiele ====

* Die bijektive Abbildung <math>G \to G</math>, <math>g \mapsto g^{-1}</math>, ist genau dann ein Homomorphismus und damit ein Automorphismus, wenn <math>G</math> [[Abelsche Gruppe|abelsch]] ist.
* Die Gruppe <math>\Z</math> hat genau einen nichttrivialen Automorphismus, nämlich <math>x \mapsto -x</math>. Das folgt daraus, dass ein Automorphismus ein Erzeugendensystem auf ein Erzeugendensystem abbildet.
* Die Automorphismengruppe der [[Kleinsche Vierergruppe|kleinschen Vierergruppe]] ist isomorph zur [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_3</math>.
* Die Automorphismengruppe der Gruppe <math>(\Q,+)</math> ist <math>\Q^*</math> (durch Multiplikation).
* Der Automorphismus <math>A \mapsto (A^T)^{-1}</math> von <math>\mathrm{GL}_n(\R)</math> ist kein innerer Automorphismus, weil seine Einschränkung auf das Zentrum, die Untergruppe der Skalarmatrizen, nicht trivial ist.

==== Verwandte Themen ====

* [[Untergruppe]]n, die invariant unter allen Automorphismen sind, heißen [[charakteristische Untergruppe]]n.

=== Körper ===

Ein Automorphismus eines Körpers <math>K</math> ist eine bijektive Abbildung <math>\phi \colon K \to K</math>, die <math>\phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y)</math> und <math>\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)</math> für alle <math>x, y \in K</math> erfüllt. Ist <math>L/K</math> eine Körpererweiterung, dann nennt man diejenigen Automorphismen <math>\phi</math> von <math>L</math>, die <math>\phi(x) = x</math> für alle <math>x \in K</math> erfüllen, die <math>K</math>-Automorphismen von <math>L</math>. Sie bilden eine Gruppe, notiert <math>\mathrm{Aut}_K(L)</math> oder <math>\mathrm{Aut}(L/K)</math>. Ein Automorphismus von <math>L</math> ist genau dann ein <math>K</math>-Automorphismus, wenn er eine <math>K</math>-lineare Abbildung ist.
* Die [[Komplexe Konjugation|Konjugation]] <math>a+bi \mapsto a-bi</math> für <math>a, b \in \R</math> ist ein <math>\R</math>-Automorphismus des Körpers <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
* Die Abbildung <math>a+b \sqrt 2 \mapsto a-b \sqrt 2</math> ist für <math>a, b \in \Q</math> der einzige nichttriviale Automorphismus von <math>\Q[\sqrt 2]</math>.
* Der Körper der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> und der Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> besitzen keine nichttrivialen Automorphismen. Man bezeichnet sie deshalb auch als ''starr''.<ref name="Beutelspacher-LA-7-39">{{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=7 |Verlag=[[Vieweg+Teubner Verlag]] |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=39–42}}</ref> Wie das Beispiel <math>\Q[\sqrt 2]</math> zeigt, überträgt sich Starrheit nicht auf Unter-, Ober-, Zwischenkörper. Dass <math>\mathbb{Q}</math> starr ist, erkennt man daran, dass sich jede rationale Zahl als algebraischer Ausdruck in <math>1</math> darstellen lässt, wobei die <math>1</math> als neutrales Element der Multiplikation unter Automorphismen erhalten bleiben muss. Jeder Automorphismus auf <math>\R</math> muss entsprechend jede rationale Zahl auf sich selbst abbilden. Da er zudem die [[Vergleich (Zahlen)|Ordnung]] erhält, müssen sogar alle reellen Zahlen Fixpunkt sein.<ref>{{Literatur |Autor=Reinhard Winkler |Titel=Die reellen Zahlen sind anders |Sammelwerk=Didaktikhefte der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft |Band=41 |Datum=2008 |Online=[http://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2008%20Band%2041/VortragWinkler.pdf online] |Abruf=2014-10-13}}</ref>
* Ist <math>K</math> ein endlicher oder allgemeiner [[Perfekter Körper|perfekter]] Körper der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>p > 0</math>, dann ist <math>x \mapsto x^p</math> ein Automorphismus von <math>K</math>, der [[Frobeniusautomorphismus]].
* Ist <math>L</math> ein Körper und <math>G \subseteq \mathrm{Aut}(L)</math> eine Untermenge, dann ist <math>K = \{x \in L \mid \forall \phi \in G \colon \phi(x) = x\}</math> ein Unterkörper von <math>L</math>, genannt der Fixkörper von <math>G</math>. Ist <math>G</math> eine endliche Untergruppe, so ist <math>L/K</math> eine [[Galoiserweiterung]] vom Grad <math>[L:K] = |G|</math>. Die [[Galoistheorie]] stellt weitere Verbindungen zwischen Körpererweiterungen und Automorphismengruppen her.

=== Algebren ===

Für [[Algebra über einem Körper|Algebren]] kann man wie bei Gruppen innere Automorphismen als Konjugation mit einer Einheit definieren. Innere Automorphismen sind trivial auf dem [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]], und der [[Satz von Skolem-Noether]] besagt, dass für eine [[halbeinfache Algebra]] auch die Umkehrung gilt.

=== Funktionentheorie ===

In der [[Funktionentheorie]] sind die Morphismen die [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] und die Automorphismen die [[Konforme Abbildung|konformen Selbstabbildungen]]. Die Automorphismengruppe bspw. der offenen [[Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{E}</math> ist gegeben durch:
:<math>\operatorname{Aut}(\mathbb{E}) = \left\{\varphi \colon \mathbb{E} \to \mathbb{E} \mid \varphi(z) = \lambda \frac{z-a}{\bar{a}z-1} \colon \lambda \in \partial\mathbb{E}, a \in \mathbb{E}\right\}</math>

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Morphismus]]

Automorphismus - Versionsgeschichte

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