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{{Begriffsklärungshinweis|Zur Autokorrelation in der Geostatistik siehe [[Räumliche Autokorrelation]].}}

Die '''Autokorrelation''' (auch '''Kreuzautokorrelation'''<ref>auf Englisch cross-autocorrelation, [https://books.google.de/books?id=V46p_mH99m8C&lpg=PA17&dq=crossautocorrelation&hl=de&pg=PA17#v=onepage&q=crossautocorrelation&f=false Google Books]</ref>) ist ein Begriff aus der [[Stochastik]] und der [[Signalverarbeitung]] und beschreibt die [[Korrelation]] einer Funktion oder eines Signals mit sich selbst zu einem früheren Zeitpunkt. Korrelationsfunktionen werden für Folgen von [[Zufallsvariable]]n <math>x(t)</math> berechnet, die von der Zeit <math>t</math> abhängen. Diese Funktionen geben an, wie viel Ähnlichkeit die um die Zeit <math>\tau</math> verschobene Folge <math>x(t-\tau)</math> mit der ursprünglichen Folge <math>x(t)</math> hat. Da die unverschobene Folge mit sich selbst am ähnlichsten ist, hat die Autokorrelation für die unverschobene Folge <math>(\tau=0)</math> den höchsten Wert. Wenn zwischen den Gliedern der Folge eine Beziehung besteht, die mehr als zufällig ist, hat auch die Korrelation der ursprünglichen Folge mit der verschobenen Folge in der Regel einen Wert, der signifikant von Null abweicht. Man sagt dann, die Glieder der Folge sind autokorreliert.

[[Datei:Autokorrelation.png|mini|hochkant=1.5|Geschätzte Autokorrelationsfunktion der [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] der Tiefenmessungen des [[Huronsee]]s]]

Da die Folge <math>x(t)</math> mit einer verschobenen Version ihrer selbst verglichen wird, spricht man von einer Autokorrelation. Werden hingegen zwei verschiedene Folgen <math>x(t)</math> und <math>y(t-\tau)</math> verglichen, spricht man von einer [[Kreuzkorrelation]]. Mit der Autokorrelation ist es möglich, Zusammenhänge zwischen den beobachteten Ergebnissen zu verschiedenen Beobachtungszeitpunkten einer Messreihe festzustellen. Die Kreuzkorrelation gibt dagegen die Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen in Abhängigkeit von der Zeit an.

In der Signalverarbeitung geht man häufig auch von kontinuierlichen Messdaten aus. Man spricht von Autokorrelation, wenn die kontinuierliche oder zeitdiskrete Funktion (z. B. ein- oder mehrdimensionale Funktion über die Zeit oder den Ort) mit sich selbst korreliert wird, beispielsweise <math>x(t)</math> mit <math>x(t+\tau)</math>. Mit dem [[Durbin-Watson-Test]] kann anhand einer Stichprobe überprüft werden, ob eine Zeitreihe oder räumliche Daten eine Autokorrelation aufweisen.

Die Autokorrelation wird in den verschiedenen Disziplinen unterschiedlich definiert. In der Statistik wird sie für [[Stochastischer Prozess|stochastische Prozesse]] <math>X_t</math> als normierte Form der Autokovarianz berechnet, in der Signalverarbeitung als [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] des zeitabhängigen Signals <math>x(t)</math> mit sich selbst. In manchen Gebieten werden die Begriffe Autokorrelation und Autokovarianz auch synonym verwendet.

[[Datei:Correlogram example.png|mini|Beispiel eines Korrelogramms (basierend auf einer Zeitreihe mit 400 Zeitschritten eines [[Autoregressiver Prozess|autoregressiven Prozesses]] 1. Ordnung mit Korrelation zwischen zwei benachbarten Zeitschritten von <math>\phi =0{,}75</math>). Die zugehörigen 95 % [[Konfidenzintervall]]e (in schwarz um die geschätzte Autokorrelation herum gezeichnet und in rot die gleichen Intervalle um die Null herum gezeichnet). Die gestrichelte blaue Linie zeigt die tatsächliche Autokorrelationsfunktion des Prozesses.]]

In einem [[Korrelogramm]] kann die geschätzte Autokorrelation inklusive [[Konfidenzintervall]]en grafisch dargestellt werden und so schnell die [[statistische Signifikanz]] einer geschätzten Autokorrelation bewertet werden.
Alternativ kann auch der [[Portmanteau-Test]] zum Test auf Autokorrelation verwendet werden.

== Autokorrelation in der Stochastik ==
In der Stochastik beschreibt die ''Autokovarianzfunktion'' oder ''[[Kovarianzfunktion]]'' die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] zwischen den Zufallsvariablen eines reellwertigen [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesses]] <math>(X_t)_{t\in T}</math> mit zwei verschiedenen Indizes (z. B. Zeitpunkten im Fall <math>T \subseteq \R</math>).
{{Hauptartikel|Kovarianzfunktion}}
=== Definition ===
Für einen [[Reelle Zahl|reellwertigen]] stochastischen Prozess <math>(X_t)_{t \in T}</math> mit endlichen Varianzen, d. h. <math>\mathrm{Var}(X_t) < \infty </math> für alle <math>t \in T</math>, heißt die Funktion <math>\gamma\colon T \times T \to \R</math>,
: <math>\gamma(t_1,t_2)= \operatorname{Cov}(X_{t_1}, X_{t_2}) =\operatorname E[({X_{t_1}}-{\mu_{t_1}})({X_{t_2}}-{\mu_{t_2}})], \quad\text{für alle } t_1,t_2 \in T</math>
(Auto-)Kovarianzfunktion des stochastischen Prozesses.
Hierbei bezeichnet <math>\operatorname E[\cdot]</math> den [[Erwartungswert]] und <math>{\mu_t}</math> den Erwartungswert von <math>X_t</math>. Die Existenz und Endlichkeit dieser Erwartungswerte ergibt sich aus der Endlichkeit der Varianzen. Für <math>t_1 = t_2=t</math> ist die Autokovarianz identisch mit der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]], d. h. <math>\gamma(t,t) = \mathrm{Var}(X_t)</math>.

Für einen reellwertigen stochastischen Prozess mit <math>T \subseteq \R</math>, der [[Stationärer stochastischer Prozess|schwach stationär]] (stationär im weiteren Sinn) ist, sind die Größen Erwartungswert, Standardabweichung und Varianz der Zufallsvariablen <math>X_t</math> für <math>t \in T</math> nicht zeitabhängig. Die Autokovarianzen <math>\gamma(t_1,t_2)</math> sind dann nicht von der Lage der Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, sondern nur von der Zeitdifferenz <math>\tau = t_2 - t_1</math> zwischen <math>t_1</math> und <math>t_2</math> abhängig, es gilt also
: <math>
\gamma_\tau := \gamma(t,t+\tau)= \operatorname E\left[\left({X}_t-\mu\right) \left({X_{t+\tau}}-\mu\right)\right],
</math>
wobei <math>\mu = \operatorname E[X_t]</math> für alle <math>t \in T</math>.

Die Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses wird, falls dieser positive Varianzen für alle Zeitpunkte besitzt, definiert als normierte Autokovarianzfunktion:

: <math>\varrho\left(t_1,t_2\right)=\frac{\gamma\left(t_1,t_2\right)}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}} \qquad \mbox{ mit} -1\le\rho(t_1,t_2)\le+1</math>

:: Hierbei bedeuten:
{| style="margin-left:5em"
|<math>\sigma_{t_1}</math> || [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] von <math>X_{t_1}</math>
|-
|<math>\sigma_{t_2}</math> || Standardabweichung von <math>X_{t_2}</math>
|-
|<math>\rho(t_1,t_2)</math> || Autokorrelation bezogen auf die Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>
|}

In dieser Form ist die Autokorrelationsfunktion einheitenlos und auf den Bereich zwischen −1 und 1 normiert.

Für einen stationären Prozess ist die Autokovarianz nur vom Zeitunterschied <math>\tau</math> zwischen <math>t_1</math> und <math>t_2</math> abhängig. Die Standardabweichung ist dann unabhängig vom Zeitpunkt, das Produkt der Standardabweichungen im Nenner entspricht dann der von <math>t</math> unabhängigen Varianz <math>\sigma_X^2 = \operatorname{Var}(X_t) = \operatorname{Var}(X_0)</math>. Somit vereinfacht sich die Autokorrelationsfunktion für einen stationären Prozess zu:
: <math>\varrho\left(t_1,t_2\right)=\varrho_\tau=\frac{\gamma_\tau}{\sigma_X^2}=\frac{\gamma_\tau}{\gamma_0}</math>,
da <math>\gamma_0 = \sigma_X^2</math> gilt.

=== Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion ===
<math>(X_t)_{t \in T}</math> bezeichne einen reellwertigen stochastischen Prozess mit <math>T \subseteq \R</math>. Falls der Prozess [[stationär im weiteren Sinn]] ist, wird im Folgenden vom ''stationären Spezialfall'' gesprochen.
* Für die Autokorrelationsfunktion gilt
::<math> -1 \leq \varrho(s,t) \leq 1\quad \text{für alle } t \in T\;.</math>
:Die Aukorrelationsfunktion ist also – im Unterschied zur Autokovarianzfunktion – ''normiert'', in dem sie nur Werte im Intervall <math>[-1,1]</math> annehmen kann.
:Im stationären Spezialfall gilt <math>\varrho_\tau \in [-1,1]</math>.
* Es gilt
:: <math>\varrho(t,t) = 1 \quad \text{für alle } t \in T\;. </math>
:Im stationären Spezialfall gilt <math>\varrho_0 = 1</math>.
* Die Autokorrelationsfunktion hat die ''Symmetrieeigenschaft''
::<math>\varrho(s,t) = \varrho(t,s) \quad \text{für alle } s,t \in T\;. </math>
:Im stationären Spezialfall gilt <math>\varrho_\tau = \varrho_{-\tau}</math>.
* Falls <math>\mathrm{Var}(X_t) = 1</math> für alle <math>t \in T </math> gilt, ist
::<math>\varrho(s,t) = \gamma(s,t)\quad\text{für alle } s,t \in T\;,</math>
: die Konzepte der Korrelations- und der Kovarianzfunktion fallen in diesem Spezialfall also zusammen.
: Im stationären Spezialfall gilt <math>\varrho_\tau = \gamma_\tau</math>.
* Falls alle Zufallsvariablen [[standardisierte Zufallsvariable|standardisiert]] sind, also ein Prozess mit <math>\mathrm{E}[X_t]=0</math> und <math>\mathrm{Var}(X_t) = 1</math> für alle <math>t \in T </math> vorliegt, gilt
::<math>\varrho(s,t) = \mathrm{E}[X_sX_t]\quad\text{für alle } s,t \in T\;.</math>
: Im stationären Spezialfall gilt <math>\varrho_\tau = \mathrm{E}[X_tX_{t+\tau}]</math>.

=== Schätzung ===
Analog zur [[Stichprobenkovarianz]] und [[Korrelationskoeffizient#Empirischer Korrelationskoeffizient|Stichprobenkorrelation]] können auch die Stichprobenautokovarianz bzw. die Stichprobenautokorrelation bestimmt werden. Liegen die Daten <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math> vor, die als Realisierung eines (im weiteren Sinn) stationären stochastischen Prozesses <math>(X_t)_{t \in \{1,\dots,n\}}</math> aufgefasst werden können, so werden die unkorrigierten azyklischen<ref name="JuliusSmithDFT">Julius O. Smith: [https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Unbiased_Cross_Correlation.html ''Unbiased Cross_Correlation''.] In: ''Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT): With Audio Applications''. ISBN 978-0-9745607-4-8, S. 188</ref> Stichprobenautokovarianzen üblicherweise durch

: <math>\hat{\gamma}_{\tau}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-\tau} (x_{i+\tau} -\bar{x})(x_i-\bar{x}), \quad \tau=0,1,\ldots,n-1 </math>

berechnet, wobei <math>\textstyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>. Zu beachten ist hier die Konvention, die Summe durch <math>n</math> statt durch <math>n-\tau</math> zu teilen, um zu garantieren, dass die Folge der Stichprobenautokovarianzen [[Definitheit|positiv semidefinit]] ist.<ref>Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: ''Time Series: Theory and Methods''. Springer-Verlag, New York 1987, ISBN 0-387-96406-1, S. 28–29.</ref> Für <math>\tau=0</math> erhält man die unkorrigierte [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] der Daten.

Die Stichprobenautokorrelation ergibt sich dann durch

: <math>\hat{\rho}_{\tau}=\frac{\hat{\gamma}_{\tau}}{\hat{\gamma}_0} = \frac{\sum_{i=1}^{n-{\tau}} (x_{i+\tau} -\bar{x})(x_i-\bar{x})}{\sum_{i=1}^n (x_{i} -\bar{x})^2}, \quad \tau=0,1,\ldots,n-1 \;. </math>

mit <math>\hat{\rho}_0=1</math>. Die Berechnung der [[Standardfehler]] von Stichprobenautokorrelationen erfolgt meist anhand der Bartlett-Formel (siehe dazu: [[Korrelogramm]]).

Um die [[Unverzerrtheit|unverzerrte]] azyklische Stichprobenautokorrelation zu berechnen, teilt man stattdessen durch <math>n-\tau</math>:<ref name="JuliusSmithDFT" />
: <math>\hat{\gamma}_{\tau}=\frac{1}{n-\tau} \sum_{i=1}^{n-\tau} (x_{i+\tau} -\bar{x})(x_i-\bar{x}), \quad \tau=0,1,\ldots,n-1\;. </math>

Die unverzerrte azyklische Stichprobenkorrelation kann auf modernen Computern schneller im Fourierraum mithilfe der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] ausgerechnet werden (siehe auch [[Wiener-Chintschin-Theorem]]), indem das (um den Mittelwert bereinigte) Signal mit Nullen verlängert („Zero Padding“). Die angehängten Nullen bewirken, dass nicht die zyklische Stichprobenkorrelation berechnet wird (welche ein periodisches Signal annimmt), sondern die azyklische Stichprobenkorrelation:<ref name="JuliusSmithDFT" />
: <math>
\hat{\gamma}_{\tau}=\frac{1}{n-\tau} \mathrm{IDFT_\tau(DFT(Zeropad(x-\bar{x}))DFT(Zeropad(x-\bar{x})))}
</math>
=== Anwendungen ===
Genutzt wird die Autokorrelation u. a. in der [[Regressionsanalyse]] zeitlicher Daten, in der [[Zeitreihenanalyse]] und in der [[Bildverarbeitung]]. Beispielsweise werden in der Regressionsanalyse die Störgrößen, also die Abweichungen der Beobachtungswerte von der wahren Regressionsgeraden, als Folge von identisch verteilten Zufallsvariablen interpretiert. Damit die Regressionsanalyse sinnvolle Ergebnisse liefert, müssen die Störgrößen zeitlich unkorreliert sein (was z. B. mit dem [[Portmanteau-Test]] kontrolliert werden kann).
In der Zeitreihenanalyse wird die Autokorrelationsfunktion zusammen mit der [[partielle Autokorrelationsfunktion]] häufig zur Identifikation von [[ARMA-Modell]]en verwendet.

=== Verallgemeinerungen ===
Es gibt ein analoges Konzept für komplexwertige stochastische Prozesse <math>(X_t)_{t\in T}</math> mit Realisierungen <math>(x_t)_{t\in T}</math>, wobei <math>x_t \in \Complex</math> für <math>t \in T</math> gilt und <math>\Complex</math> die Menge der [[komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] bezeichnet.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Kovarianzfunktion'', S. 208–209}}</ref> Wenn der Prozess endliche Varianzen besitzt,
dann heißt die Funktion <math>\gamma \colon T\times T \to \Complex</math>,
:<math> \gamma(s,t) := \mathrm{E}[(X_s - \mathrm{E}[X_s])(X_t - \mathrm{E}[X_t])^*], \quad s,t \in T </math>
die ''Kovarianzfunktion'' des Prozesses <math>(X_t)_{t\in T}</math>. Dabei ist für eine komplexwertige Zufallsvariable <math>X = A + \mathrm{i} B</math> der Erwartungswert als <math>\mathrm{E}[X] = \mathrm{E}[A] + \mathrm{i} \mathrm{E}[B]</math> definiert und die komplexwertige Zufallsvariable <math>X^* = A - \mathrm{i} B</math> bezeichnet die konjugiert komplexe Variable zu <math>X</math>.

Wenn alle Varianzen positiv sind, ist <math>\varrho\colon T \times T \to \Complex</math>,
:<math> \varrho(s,t) := \frac{\gamma(s,t)}{\sqrt{\gamma(s,s)\gamma(t,t)}}, \quad s,t \in T </math>
die ''Korrelationsfunktion'' (oder ''Autokorrelationsfunktion'') des Prozesses.

== Autokorrelation in der Signalverarbeitung ==
{{Überarbeiten}}
[[Datei:Comparison convolution correlation de.svg|mini|hochkant=1.5|Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation]]
[[Datei:Barker7corr.svg|mini|Autokorrelation des [[Barker-Code]]s mit Länge 7.]]
=== Definition ===
{{Belege|Es fehlen Belege zur Definition der Autokorrelationsfunktion. Siehe auch Diskussion mit mehreren Hinweisen. |Dieser Abschnitt}}
Hier wird die Autokorrelationsfunktion (AKF) zur Beschreibung der Korrelation eines Signales mit sich selbst bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen <math>\tau</math> zwischen den betrachteten Funktionswerten eingesetzt.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF) |titel=Autokorrelationsfunktion (AKF) – LNTwww |werk=Autokorrelationsfunktion (AKF) |hrsg=LNTwww (Technische Universität München) |abruf=2024-07-19}}</ref> Die AKF des Signals lässt sich sowohl symmetrisch um den Nullpunkt herum definieren:

: <math>\Psi_{xx}(\tau) = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}{ \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t)x(t+\tau) dt}</math>,

als auch asymmetrisch:

: <math>\Psi_{xx}(\tau) = \lim\limits_{T \rightarrow \infty}{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)x(t+\tau) dt}</math>,

Das Ergebnis würde sich in letzterem Falle z. B. bei einer Dirac-Funktion bei <math>t = 0</math> auf Grund dessen Symmetrie unterscheiden.

In Kurzschreibweise wird für die Autokorrelation das Operatorsymbol <math>\star</math> verwendet:

: <math>(x \star x)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t)\ x(t + \tau)\,dt = x^*(-\tau) * x(\tau)</math>

mit <math>x^*</math> als die [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexe]] Funktion von <math>x</math> und dem [[Faltung (Mathematik)|Faltungsoperator]] <math>*</math>.

Die AKF entspricht der Autokovarianzfunktion für [[Mittelwertfreiheit|mittelwertfreie]], stationäre Signale. In der Praxis wird die Autokorrelationsfunktion solcher Signale in der Regel über die Autokovarianzfunktion berechnet.

Für zeitdiskrete Signale wird statt des Integrals die Summe verwendet. Mit einer diskreten Verschiebung <math>j</math> ergibt sich:

: <math>\Psi_{xx}(j) = \sum_n x_n\,x_{n-j}.</math>

In der digitalen [[Signalanalyse]] wird die Autokorrelationsfunktion in der Regel über die [[IFFT|inverse Fouriertransformation]] <math>\mathcal{F}^{-1}</math> des [[Autoleistungsspektrum]]s <math>S_{XX}(f)</math> berechnet:
: <math>
\Psi_{xx}\left(\tau\right) = \mathcal{F}^{-1}(S_{XX})
</math>
Die theoretische Grundlage dieser Berechnung ist das [[Wiener-Chintschin-Theorem]].

=== Impuls-AKF ===
Für Signale mit endlichem Energieinhalt – sogenannte [[Energiesignal]]e – erweist es sich als sinnvoll, folgende Definition zu verwenden:

: <math>\Psi_{xx}^{E}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t+\tau)dt</math>.

=== Eigenschaften der AKF ===
==== Geradheit ====
Die AKF ist eine gerade Funktion:

: <math>\Psi_{xx}(\tau) = \Psi_{xx}(-\tau)</math>.

==== Periodizitäten ====
{{Belege|Es fehlen Belege zum ''Beweis''. Siehe auch Diskussion im Abschnitt Beweis. |Dieser Abschnitt}}
Die einer periodischen AKF (<math>\Psi_{xx}(\tau) = \Psi_{xx}(\tau+nT)</math>) zugrundeliegende Funktion <math>x(t)</math> ist selbst periodisch, wie folgender Beweis zeigt:

{| style="margin-left:2em"
|-
|<math>\Psi_{xx}(nT) = {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t+nT)dt} </math>
|-
|<math>\Psi_{xx}(0) = {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t)dt} </math>
|-
|<math>\Rightarrow x(t) = x(t + nT)
</math>.
|}

Umgekehrt gilt auch für periodische Funktionen <math>x(t) = x(t + nT)</math>, dass ihre AKF <math>\Psi_{xx}(\tau)</math> periodisch ist:

{| style="margin-left:2em"
|-
|<math>\Psi_{xx}(\tau) = {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t+\tau)dt}
= {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t+nT + \tau)dt}</math>
|-
|<math>\Rightarrow \Psi_{xx}(\tau) = \Psi_{xx}(\tau + nT)</math>.
|}

Somit lässt sich schließen, dass eine Funktion und ihre AKF stets dieselbe Periodizität aufweisen:

: <math>x(t) = x(t+nT) \Leftrightarrow \Psi_{xx}(\tau) = \Psi_{xx}(\tau + nT)</math>.

Gibt es Wiederholungen im Signal, so ergeben sich Maxima der Autokorrelationsfunktion bei den Zeitverschiebungen, die der Wiederholungsdauer von Erscheinungen im Signal entsprechen. So können z. B. versteckte periodische Anteile und Echoerscheinungen in Signalen detektiert werden.

==== Maximum ====
Die AKF hat unabhängig ihrer Definition bei <math>\tau = 0</math> ihr Maximum:<ref>{{Internetquelle |url=https://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF) |titel=Autokorrelationsfunktion (AKF) – LNTwww |werk=Autokorrelationsfunktion (AKF) |hrsg=LNTwww (Technische Universität München) |abruf=2024-07-19 |kommentar=Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion}}</ref>

: <math>|\Psi_{xx}(\tau)|\leq \Psi_{xx}(0)</math>

Für die AKF wird dieser Wert als Effektivwertquadrat, für die Impuls-AKF als [[Signalenergie]] bezeichnet.

Häufig wird die Autokorrelationsfunktion auch auf den Maximalwert bei <math>\tau=0 </math> normiert angegeben:
: <math>
\rho_{xx}\left(\tau\right)=\frac{\Psi_{xx}(\tau)}{\Psi_{xx}(0)}
</math>

Der [[Absoluter Betrag|Betrag]] dieser normierten Autokorrelationsfunktion kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Man spricht dabei auch vom zeitlichen '''[[Korrelationskoeffizient|Autokorrelationskoeffizienten]]''' einer Zufallsvariablen <math>X_t</math> mit der zeitlich verschobenen Zufallsvariablen <math>X_{t+\tau} </math> .<ref name="dunn">Patrick F. Dunn: ''Measurement and Data Analysis for Engineering and Science''. McGraw-Hill, New York 2005, ISBN 0-07-282538-3</ref>

==== Abfallverhalten ====
Für große Zeiten <math>\tau \rightarrow \infty</math> und nicht selbst periodische Funktionen x gilt:
: <math>\lim \limits_{\tau \to \infty} \Psi_{xx}(\tau) = 0</math>.

=== Beispiele ===
[[Datei:Kohärenzlänge 1.png|mini|400px|Das untere Signal besitzt identischen zeitlichen Verlauf, ist aber um Δs verspätet]]
[[Datei:Interferometer-Prinzip.svg|mini|Weißlichtinterferometrie]]

==== Beispiel 1 ====
Die Funktionen im nebenstehenden Bild sind aus sinusförmigen Abschnitten einheitlicher Frequenz zusammengesetzt. An den Stoßstellen treten Phasensprünge auf. Zur Berechnung der Korrelation ''multipliziert'' man punktweise beide [[Auslenkung|Signalwerte]] und addiert die Produkte über einen längeren Zeitraum. Bei der gezeichneten Verzögerung Δs sind in den rot markierten Bereichen alle Einzelprodukte positiv oder null, in den dazwischen liegenden Bereichen meist negativ. Nur für Δs = 0 sind ''alle'' Einzelprodukte positiv, die Korrelationsfunktion erreicht ihren maximalen Wert.

Nebenbemerkung: Addiert man beide Signale, können stückweise konstruktive bzw. [[destruktive Interferenz]] auftreten.

==== Beispiel 2 ====
Bei der [[Optische Kohärenztomografie|Optischen Kohärenztomografie]] wird Licht besonders geringer Kohärenzlänge verwendet, weil die Autokorrelation nur dann ein merklich von Null abweichendes Ergebnis liefert, wenn die Länge von Messarm und Referenzarm gut übereinstimmen. Bei größerer Abweichung variieren die Ergebnisse der Autokorrelation um Null ([[Weißlichtinterferometrie]]).

=== Anwendungen in der Signalverarbeitung ===
==== Finden von Signalperioden ====
Eine häufige Anwendung der Autokorrelationsfunktion besteht darin, in (gegebenenfalls trendbereinigten) stark [[Rauschen (Physik)|verrauschten Signalen]] [[Periodizität]]en zu finden, die nicht ohne weiteres ersichtlich sind:
* Die Autokorrelationsfunktion eines periodischen Signals ist wieder ein periodisches Signal mit derselben [[Grundfrequenz|Periode]]. So ist zum Beispiel die Autokorrelationsfunktion eines [[Kosinus]]signals
:: <math> x(t)=\hat x \cos(\omega t + \varphi) </math>
: wiederum eine Kosinusfunktion mit derselben [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> (Erhaltung der Signalperiode).
:: <math> R_{xx}(\tau)=\frac{\hat x^2}{2} \cos(\omega \tau) </math>,
: Allerdings ist hierbei die [[Phase (Schwingung)|Phaseninformation]] verloren gegangen.
: Eine gleichwertige Möglichkeit des Findens der Signalperiode ist die Möglichkeit, das Fourier-Spektrum des Signals nach einer dominanten Frequenz zu untersuchen. Da die Autokorrelation die normierte Fourier-Transformierte des [[Leistungsdichtespektrum]] ist (gemäß dem [[Wiener-Khinchine-Theorem]]), sind beide Ansätze gleichwertig.

* Da [[Weißes Rauschen (Physik)|weißes Rauschen]] zu einem Zeitpunkt völlig unabhängig von weißem Rauschen zu einem anderen Zeitpunkt ist, ergibt die Autokorrelationsfunktion von weißem Rauschen einen [[Dirac-Impuls]] an der Stelle <math>\tau =0 </math>. Liegt weißes Rauschen der [[Leistungsdichte]] <math> S_0</math> für die Frequenzen <math>\omega = -\infty \ldots +\infty</math> vor, so gilt: <math> R_{xx}(\tau) = S_0 \delta(\tau)\, </math> Bei gefärbtem Rauschen, das in technischen Systemen meistens an Stelle von weißem Rauschen vorkommt, ergibt sich ebenso ein absolutes Maximum der Autokorrelationsfunktion bei <math> \tau=0 </math> und ein Abfall der Autokorrelationsfunktion für Verschiebungen <math> |\tau|>0 </math>. Die Breite dieses Maximums wird von der „Farbe“ des Rauschens bestimmt.

Bei der Analyse von Periodizitäten wird nur die Autokorrelationsfunktion für große Werte von <math>\tau</math> betrachtet und der Bereich um <math> \tau=0 </math> ignoriert, da er vor allem Information über die Stärke des Rauschsignals enthält.

==== Signal-Rausch-Verhältnis ====
Da der Wert der Autokorrelationsfunktion bei <math> \tau =0</math> dem quadratischen Mittelwert (bei Leistungssignalen) bzw. der Signalenergie (bei Energiesignalen) entspricht, kann man durch Bilden der Autokorrelationsfunktion relativ einfach das [[Signal-Rausch-Verhältnis]] abschätzen.

Dazu teilt man die Höhe des Wertes <math> \lim \limits_{\tau \to 0} R_{xx}(\tau) </math>, d. h. den Wert, den die Autokorrelationsfunktion ohne Rauschen an der Stelle 0 hätte, durch die Höhe der „Rauschspitze“. Beim Umrechnen des Signal-Rausch-Verhältnisses ''Sx / Nx'' in [[Dezibel]] muss man darauf achten, dass man <math> 10 \cdot \log\left(\tfrac{S_x}{N_x}\right) </math> und nicht <math> 20 \cdot \log\left(\tfrac{S_x}{N_x}\right) </math> verwendet. Das liegt daran, dass die Autokorrelationsfunktion an der Stelle 0 eine Leistungs- bzw. Energiegröße (quadratische Größe) und keine Feldgröße darstellt.

== Siehe auch ==
* [[Partielle Autokorrelationsfunktion]]
* [[Maximum Length Sequence]]
* [[Kreuzkorrelation]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Kovarianzfunktion'', S. 208–209}}
== Weblinks ==
* {{Internetquelle
|url=https://mathworld.wolfram.com/Autocorrelation.html
|titel=Autocorrelation
|hrsg=Wolfram MathWorld
|zugriff=2013-09-03}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]

Autokorrelation - Versionsgeschichte

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